高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例統(tǒng)計(jì)圖表分布的意義和作用 優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)

離散型隨機(jī)變量及其分布列基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.離散型隨機(jī)變量知識(shí)梳理隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而

稱為隨機(jī)變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以

的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表變化的變量一一列出稱為離散型隨機(jī)變量X的

，簡稱為X的分布列，有時(shí)也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列.(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①

；Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnpi≥0，i＝1,2，…，n概率分布列(1)兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為3.常見離散型隨機(jī)變量的分布列X01P1－pp其中p＝

稱為成功概率.P(X＝1)(2)超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝

，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果隨機(jī)變量X的分布列具有下表形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01…mP__________________…_________判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量.(

)(2)離散型隨機(jī)變量的分布列描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象.(

)(3)某人射擊時(shí)命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布.(

)思考辨析√√×(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名演員，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(

)(5)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.(

)(6)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)√×√

考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，那么X＝4表示的事件是A.一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)B.兩顆都是2點(diǎn)C.甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)或甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)D.以上答案都不對(duì)答案解析根據(jù)拋擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果可知，C正確.

答案解析即“X＝0”表示試驗(yàn)失敗，“X＝1”表示試驗(yàn)成功，2.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于設(shè)X的分布列為X01Pp2p

3.從標(biāo)有1～10的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機(jī)變量X可能取得的值有A.17個(gè) B.18個(gè) C.19個(gè) D.20個(gè)答案解析X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17個(gè).4.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X的分布列為答案解析X012P

0.10.60.3∵X的所有可能取值為0,1,2，∴X的分布列為X012P0.10.60.35.(教材改編)一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的、3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X＝4)的值為______.答案解析由題意知取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球、1個(gè)新球，題型分類深度剖析

題型一離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)例1

(1)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為答案解析X－101P2－3qq2則q等于解答(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求2X＋1的分布列.由分布列的性質(zhì)知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.從而2X＋1的分布列為首先列表為X012342X＋1135792X＋113579P0.20.10.10.30.3引申探究

解答1.在本例(2)的條件下，求隨機(jī)變量η＝|X－1|的分布列.由(2)知m＝0.3，列表

X01234|X－1|10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列為η0123P0.10.30.30.32.若本例(2)中條件不變，求隨機(jī)變量η＝X2的分布列.

解答依題意知η的值為0,1,4,9,16.P(η＝0)＝P(X2＝0)＝P(X＝0)＝0.2，P(η＝1)＝P(X2＝1)＝P(X＝1)＝0.1，p(η＝4)＝P(X2＝4)＝P(X＝2)＝0.1，P(η＝9)＝P(X2＝9)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝16)＝P(X2＝16)＝P(X＝4)＝0.3，η014916P0.20.10.10.30.3(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù).(2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率時(shí)，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.思維升華跟蹤訓(xùn)練1設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝

)＝ak(k＝1,2,3,4,5).(1)求a；

解答解答解答命題點(diǎn)1與排列組合有關(guān)的分布列的求法例2

(2015·重慶改編)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；

解答題型二離散型隨機(jī)變量的分布列的求法令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列.

解答X的所有可能值為0,1,2，且綜上知，X的分布列為X012P命題點(diǎn)2與互斥事件有關(guān)的分布列的求法例3

(2015·安徽改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；

解答記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A，(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列.

解答X的可能取值為200,300,400.P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)故X的分布列為X200300400P命題點(diǎn)3與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)的分布列的求法例4

(2016·蚌埠模擬)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為

，乙獲勝的概率為

，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列.

解答用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)(2)X的可能取值為2,3,4,5.＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)故X的分布列為X2345P求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個(gè)值的概率；(3)寫出X的分布列.求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí).思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2016·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考)連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點(diǎn)數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，則稱k為你的幸運(yùn)數(shù)字.(1)求你的幸運(yùn)數(shù)字為3的概率；解答設(shè)“連續(xù)拋擲3次骰子，和為6”為事件A，則它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均為2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有兩次均為1，一次為4.A1，A2，A3為互斥事件，則(2)若k＝1，則你的得分為6分；若k＝2，則你的得分為4分；若k＝3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運(yùn)數(shù)字，則記0分，求得分ξ的分布列.解答由已知得ξ的可能取值為6,4,2,0，故ξ的分布列為ξ6420P題型三超幾何分布例5

(2017·濟(jì)南質(zhì)檢)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；解答記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列.解答依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3.故ξ的分布列為ξ0123P(1)超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn)①超幾何分布是不放回抽樣問題；②隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).(2)超幾何分布的應(yīng)用條件①兩類不同的物品(或人、事)；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體.思維升華跟蹤訓(xùn)練3某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng).(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率；解答設(shè)“選出的3名同學(xué)來自互不相同的學(xué)院”為事件A，(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.解答隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.故隨機(jī)變量X的分布列是X0123P典例某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)ξ的分布列.

離散型隨機(jī)變量的分布列現(xiàn)場糾錯(cuò)系列17錯(cuò)解展示現(xiàn)場糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得(1)隨機(jī)變量的分布列，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的事件及其概率.(2)驗(yàn)證隨機(jī)變量的概率和是否為1.

返回解

P(ξ＝1)＝0.9，P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，

P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，

P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.0009，

P(ξ＝5)＝0.14＝0.0001.

∴ξ的分布列為

ξ12345P0.90.090.0090.00090.0001

返回課時(shí)作業(yè)1.(2016·太原模擬)某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為答案解析12345678910111213根據(jù)X的分布列知，所求概率為0.28＋0.29＋0.22＝0.79.則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51√2.(2016·岳陽模擬)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為答案解析X－101P1－2qq2則q等于12345678910111213√123456789101112133.(2016·鄭州模擬)已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝i)＝

(i＝1,2,3,4)，則P(2<X≤4)等于答案解析√由分布列的性質(zhì)知，則a＝5，123456789101112134.(2016·湖北孝感漢川期末)設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，則實(shí)數(shù)a的值為答案解析√123456789101112135.(2017·武漢調(diào)研)從裝有3個(gè)白球，4個(gè)紅球的箱子中，隨機(jī)取出3個(gè)球，則恰好是2個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率是答案解析√如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，123456789101112136.(2017·長沙月考)一只袋內(nèi)裝有m個(gè)白球，n－m個(gè)黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹?，設(shè)此時(shí)取出了X個(gè)白球，下列概率等于

的是答案解析A.P(X＝3) B.P(X≥2)

C.P(X≤3) D.P(X＝2)√123456789101112137.甲、乙兩隊(duì)在一次對(duì)抗賽的某一輪中有3個(gè)搶答題，比賽規(guī)定：對(duì)于每一個(gè)題，沒有搶到題的隊(duì)伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯(cuò)誤的扣1分(即得－1分)；若X是甲隊(duì)在該輪比賽獲勝時(shí)的得分(分?jǐn)?shù)高者勝)，則X的所有可能取值是_________.答案解析－1,0,1,2,312345678910111213X＝－1，甲搶到一題但答錯(cuò)了，而乙搶到了兩個(gè)題目都答錯(cuò)了，X＝0，甲沒搶到題，乙搶到題目答錯(cuò)至少2個(gè)題或甲搶到2題，但答時(shí)一對(duì)一錯(cuò)，而乙答錯(cuò)一個(gè)題目，X＝1，甲搶到1題且答對(duì)，乙搶到2題且至少答錯(cuò)1題或甲搶到3題，且1錯(cuò)2對(duì)，X＝2，甲搶到2題均答對(duì)，X＝3，甲搶到3題均答對(duì).123456789101112138.隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________.12345678910111213答案解析∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.123456789101112139.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為答案解析X01234P0.20.10.10.3m若隨機(jī)變量Y＝|X－2|，則P(Y＝2)＝________.0.512345678910111213由分布列的性質(zhì)，知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.1234567891011121310.袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.答案解析1234567891011121311.(2015·山東改編)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”

；

解答個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135