第8課 平面解析幾何（二） 2023年新高考數(shù)學一輪復習強化小練（2019人教版）（含解析）

平面解析幾何（二）

2023年新高考數(shù)學一輪復習強化小練

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題（共48分）

1.（本題8分）（2022?全國?模擬預測（文））如圖，正方體ABCD-ABCR的棱長為

26，點。為棱AA上一點，點尸在底面ABCD上，且|PQ|=2。，點M為線段PQ的

中點，則線段CM長度的最小值是（）

C.2D.6

2.（本題8分）（2022?四川廣安?模擬預測（理））己知。為坐標原點，F(xiàn)是拋物線

>2=4》的焦點，尸為拋物線上一點，且NPO/=30。，則|尸耳=（）

A.11B.12C.13D.14

3.（本題8分）（2022?上海?模擬預測）設集合C={（x,y）（xM）2+（y-r『=4k|?ez}

①存在直線/,使得集合。中不存在點在/上，而存在點在/兩側(cè)；②存在直線/,使得

集合。中存在無數(shù)點在/上：（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

4.（本題8分）（2022?新疆?三模（理））已知雙曲線C:：-*=l（a>0,6>0）的左、右焦

點分別為環(huán)，F(xiàn)?,過點6且斜率為一3五的直線與雙曲線在第二象限交于點A,M為

45的中點，且耐一赤2=0,則雙曲線。的漸近線方程是（）

A.y=±y/3xB.y=±^—x

3

125

C.y=±—xD.y=±—x

5.（本題8分）（2019?陜西榆林?高考模擬（理））如圖所示，月,F?是雙曲線C：

?心。，…）的左、右焦點，過后的直線與C的左、右兩支分別交于A,B

兩點.若|月用：忸巴卜|AE|=3：4：5,則雙曲線的離心率為（）

A.2

B.屈

C.V13

D.6

6.（本題8分）（2022?全國?模擬預測（文））入射光線由點45,2名）出發(fā)，沿x軸反方

向射向拋物線C：丁=4》上一點尸，反射光線尸。與拋物線C交于點Q,則的值

為（）

二、填空題（共16分）

7.（本題8分）（2022?全國?模擬預測（文））設點是。C：V+y2=i上的動

點，點Q（孫％）是直線/：2x+3y-6=0上的動點，記力=4-4|+回一%|，則%?

的最小值是.

8.體題8分）（2022?四川內(nèi)江?模擬預測（文））若雙曲線/一工=1上存在兩個點關(guān)

3

于直線/：y=；x+r對稱，則實數(shù)f的取值范圍為.

三、解答題（共36分）

22

9.（本題18分）（2022?全國?模擬預測（文））已知橢圓3+2=1伍＞人＞0）的

ab~

左、右焦點分別為《，尸2,離心率為巫，A為橢圓上的動點.當點A與橢圓E的上

2

頂點重合時，|麗+蕊卜2.

(1)求E的方程；

(2)當點A為橢圓E的左頂點時，過點A的直線(斜率不為0)與橢圓的另外一個交點

為8,A8的中點為P,過點。且平行于A3的直線與直線x=4交于點。.試問：

心片心。是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由.

10.(本題18分)(2022?四川成都?模擬預測(理))平面直角坐標系中，橢圓

h鏟=1(“">0)的焦距為2n，過焦點的最短弦長為播.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)斜率為g的直線與橢圓交于4B兩點，尸為橢圓上異于48的點，求的面積

的最大值.

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)給定條件，確定點M所在的軌形跡圖，再利用該圖形的性質(zhì)即可求解作答.

【詳解】依題意，正方體ABCO-ABCIR，當點P與A不重合時，AQLAP,如圖，

因點〃為線段PQ的中點，則AM=gpQ=75,當點P與A重合時，AM=；PQ=^,

即無論點P,Q如何運動，總有AM=6,因此，點M的在以點4為球心名為半徑的球面

上，

而AG=26x石=6,所以線段GM長度的最小值是6=6一8.

故選：B

【點睛】結(jié)論點睛：球面一點與球面上的點間距離最小值等于這一點與球心距離減球半

徑；球面一點與球面上的點間距離最大值等于這一點與球心距離加球半徑，

2.C

【分析】由/POP=30?？傻弥本€0P方程，與拋物線聯(lián)立解出尸點坐標，利用|PF|=x+5

即可得出結(jié)果.

【詳解】由NP"=30?？傻弥本€。P方程為丫=￥、，

，遮A

由〃-3解得：x=12或x=0（舍）

j2=4x

7

所以，|PF|=12+/=13

故選：C.

3.B

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系一一判斷即可；

答案第1頁，共8頁

【詳解】解：若①成立，則相鄰兩圓外離，

不妨設相鄰兩圓方程為（X-幻2+3-公）2=4網(wǎng)，圓心為化&2）,半徑｛=2炳,

（x-）t-l）2+（y-（^+l）2）2=4|A:+l|,圓心為（&+1,（&+1月，半徑2二2^71],

則小+3+1）2>2（炳+師（）

當&=4時（屈了一[2（2+逐）J=82-36-16石=—>0,

即J1+（2Z+1）2>2麗+1%+1|）成立,所以結(jié)論①成立；

\tnk-k1

對于②，設直線/的方程為"如+乙則圓心依,*）到直線/的距離1=+4

\l\+m2

當A-?oo時d-咋二1>2.=「，

Jl+療

所以直線/只能與有限個圓相交，所以結(jié)論②不成立；

故選：B

4.A

【分析】依題意可得tan/A￡K=—3舊，即可求出cosN4￡f；,再由即可得

到|明|=|耳段=2,由余弦定理求出|伍即可得到加=c,再根據(jù)。2=/+廿，即可得

到“、匕的關(guān)系，即可得解;

/allsinZAFF,

【詳解】解：由L=3/7r-,即tan/A和7折r-又2的用=嬴能,且

sin2ZAF；^+cos2ZAF；^=1,

解得cosZA￡g=-）或cosNA￡E=：（舍去）,

88

由與且可為A鳥的中點,知|*|=|耳閭=2c,

答案第2頁，共8頁

".\AF^=3c,'.2a=\AF^-\AF^=c,又/=儲+從，

:.b=Ka,，漸近線方程為y=±Gx.

故選：A

5.C

【分析】不妨令|相|=3,忸閭=4,|A司=5,根據(jù)雙曲線的定義可求得a=l,

/AB5=90,再利用勾股定理可求得4c2=52,從而可求得雙曲線的離心率.

【詳解】：|A則即斗|A司=345,不妨令]理=3,忸聞=4,|A4=5,

222

|+陋|=|AF21,ZABF2=90,

又由雙曲線的定義得：|mH叫1=2”，|A6HA司=2%

.1A4|+3—4=5-|4耳|,用=3.

.11防H5司=3+3-4=2〃，\a=1.

在RtA%g中，忸用『=|跖『+1BF]|2=62+42=52,

答案第3頁，共8頁

XI^|2=4C2,.-.4c2=52,.-.c=Vi3.

???雙曲線的離心率0=￡=而.

a

故選;c

6.B

【分析】根據(jù)拋物線的光學性質(zhì)，結(jié)合拋物線的焦點弦公式求解即可

【詳解】易得P的縱坐標為26，代入丁=4.丫可得P（3,2g）.根據(jù)拋物線的光學性質(zhì)可

得，因為入射光線由點A（5,26）出發(fā)，沿x軸反方向射向拋物線，故反射光線尸。經(jīng)過拋

物線丁=好的焦點尸（1,0）,故PQ的斜率為氈=6.設網(wǎng)否,另）,。（々,必），則直線PQ的

3—1

方程為y=G（x—1）,聯(lián)立y2=4x可得3——10x+3=0,故歸。|=再+々+2=g+2=g

故選：B

【分析】設尸（8$區(qū)411。）,046<2兀，將心”轉(zhuǎn)化成探求線段PQ長最值問題求解作答.

【詳解】依題意，設P（cosasin9）,0“<27r,顯然圓C與直線/相離,

LPQ=I芭一九21+|必一%|=一%）2+（凹-%）2+2,一/回一必|

2

=7|P<?|+2|x1-x2||y1-y2|>\PQ\,當且僅當一%卜。時取“=”，

2

當1%一司=0時，％2=X=cose,y2=2--cos0,=sin<9,

.2

Sin69=—

2「確定,

陷7-sin（e+e）-2,其中銳角0由，

COS67=—7=

V13

此時|叫=2一半sin(6+夕)22-平,當且僅當sin(6?+s)=l時取

3

當|，1一%|=0時，y2=y】=sine,x2=3--sin0,x,=cos6^,

2

sin。=

3

-―X,sin（6?+0）-3,其中銳角夕由，q確定,

COS。=

答案第4頁，共8頁

此時|尸。|=3-半sin（。+0）23-半，當且僅當sin（6+協(xié)=1時取“=”，

顯然3-平＞2-半，因此，當?一引%-%|=。時，I尸QI,“而=2-半，則

=2-*^，

所以（e的最小值是2-姮.

3

故答案為：2-姮

3

【點睛】思路點睛：涉及圖形上的點變化引起的線段長度、圖形面積等問題，若點的運動

與某角的變化相關(guān)，可以設此角為自變量，借助三角函數(shù)解決.

8."4或

【分析】設對稱的兩點為A（&y）,雙天,％），直線48的方程為y=-2x+b與雙曲線聯(lián)立

可得利用根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式可求AB的中點M（x。,%）,利用判別式A＞0以

及"（七,%）在直線y=；x+f上即可求解.

【詳解】設雙曲線存在關(guān)于直線y=；x+r對稱的兩點為A（"J,3（"2），

根據(jù)對稱性可知線段A8被直線y=；x+r垂直平分，

且A8的中點在直線y=；x+r上，且原8=-2,

故可設直線AB的方程為y=-2x+b,

y=-2x+b

聯(lián)立方程2y2，整理可得4法+從+3=0,

3

%+/=4〃,y+y2=2b_2（X1+電）=-6〃，

由△=16。2-4伊+3）＞0,可得二＞1或bv-1,

^匕，%="^=_3b,

?；A8的中點加（2〃,一33在直線y=Jx+f上，

-3b=b+t9可得f=-4〃，［＞4或fvT.

故答案為：r＞4或fvT.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是利用直線A3與直線y=；x+f垂直可得直線A3的

答案第5頁，共8頁

斜率為-2,可設直線AB的方程為y=-2x+b,代入雙曲線可得關(guān)于x的一元二次方程,

利用判別式△>(),可以求出b的范圍，利用韋達定理可得的中點加(天,為)再代入

y=+f即可t與b的關(guān)系，即可求解.

9.⑴上+y2=i；

4

4+6.

13

【分析】(1)由|而+而卜2求出6,再結(jié)合離心率列式計算a即可作答.

(2)設出直線A8的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，再求出點P,。的坐標，利用斜率坐標

公式計算作答.

(1)

設橢圓E的半焦距為c,點￡(-c,0),6(c,0),而40,6),則函+而=(0,_?)，

即有2b=2,解得。=1,又離心率e，解得a=2,

aaVa22

■)

所以橢圓E的方程為三+V=1.

4

(2)

由(1)知A(-2,0),6(6,0),顯然直線A8不垂直于坐標軸，設直線A3：x=ty-2,

，工0,

由｛RM消去'并整理得"+4)匕2。，解得點釁弓,白)，則點

P(-三,白),

r+4r+4

4

直線OQ//AB,則直線。。方程為：％=點。(4,一),直線入。的斜率

4

k_1_4

^-4-73-(4-V3)r

直線0p的斜率%=[,因此,自人。=一：舄斤=一+=一喈,

所以?心。=-土域是定值?

答案第6頁，共8頁

【點睛】思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x（或y）

建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)

系.

10.(1)—+^-=1

82

⑵3指

【分析】（1）由條件列方程求。，。，c,可得橢圓方程；（2）設直線A3的方程為卜=—X+"7,

2

利用設而不求法求出△P43的面積的解析式，再求其最值.

（1）

2c=2瓜

2力2

由題意得—=41n/=8方=2,

a

a2-h2=c2

故橢圓的標準方程為《+.=1;

82

⑵

設直線A8的方程為丫=!》+根，則

■*2^>x2+2mx+2m2-4=0,,

I

y=—x+m

I2

D=16-4川>0?2<m<2,設4（辦，乂）,8區(qū)，必），

[xi+x2=-2m

2

[x{x2=2m-4

\AB\=V16-4/n2?=6?74m2,

當一2〈帆40時，

當尸到AB的距離最大時