2024屆北京市石景山區(qū)第九中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆北京市石景山區(qū)第九中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．若雙曲線的中心為原點，是雙曲線的焦點，過的直線與雙曲線相交于，兩點，且的中點為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．從裝有紅球和綠球的口袋內(nèi)任取2個球(其中紅球和綠球都多于2個)，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．至少有一個紅球，至少有一個綠球B．恰有一個紅球，恰有兩個綠球C．至少有一個紅球，都是紅球D．至少有一個紅球，都是綠球4．在中，角、、所對的邊分別為、、，如果，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形5．以下有四個說法：①若、為互斥事件，則；②在中，，則；③和的最大公約數(shù)是；④周長為的扇形，其面積的最大值為；其中說法正確的個數(shù)是（）A． B．C． D．6．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若α∥β,mα,nβ，則m∥n B．若α⊥β，mα,則m⊥βC．若α⊥β,mα,nβ,則m⊥n D．若α∥β，mα，則m∥β7．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則等于（）A． B． C． D．18．已知點在正所確定的平面上，且滿足，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．9．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為()A． B．C． D．10．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，滿足，設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．34B．39C．51D．68二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等比數(shù)列中，，，則______________.12．若，則的取值范圍是________.13．如圖，在中，，，，則________.14．已知角滿足，則_____15．如圖，四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，則直線與直線所成角的余弦值為____________.16．已知向量，，則與的夾角等于_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角，，所對的邊為，，，向量與向量共線.（1）若，求的值；（2）若為邊上的一點，且，若為的角平分線，求的取值范圍.18．設(shè)平面三點、、.（1）試求向量的模；（2）若向量與的夾角為，求；（3）求向量在上的投影．19．已知，，其中.（1）求的值；（2）求的值.20．某高速公路隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構(gòu)成（如圖所示）．已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側(cè)墻面高，為，弧頂高為．（）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求圓弧所在的圓的方程．（）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少．21．已知向量，滿足：=4，=3，(Ⅰ)求·的值；(Ⅱ)求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】中，，所以.由正弦定理得：.所以.所以，即因為為的內(nèi)角，所以所以為等腰三角形.故選A.2、B【解題分析】由題可知，直線：，設(shè)，，得，又，解得，所以雙曲線方程為，故選B。3、B【解題分析】由于從口袋中任取2個球有三個事件，恰有一個紅球，恰有兩個綠球,一紅球和一綠球.所以恰有一個紅球，恰有兩個綠球是互斥而不對立的兩個事件.因而應(yīng)選B.4、C【解題分析】

結(jié)合正弦定理和三角恒等變換及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡即可求得結(jié)果【題目詳解】利用正弦定理得，化簡得，即，則或，解得或故的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：C【題目點撥】本題考查根據(jù)正弦定理和三角恒等變化，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求值，屬于中檔題5、C【解題分析】

設(shè)、為對立事件可得出命題①的正誤；利用大邊對大角定理和余弦函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷出命題②的正誤；列出和各自的約數(shù)，可找出兩個數(shù)的最大公約數(shù)，從而可判斷出命題③的正誤；設(shè)扇形的半徑為，再利用基本不等式可得出扇形面積的最大值，從而判斷出命題④的正誤.【題目詳解】對于命題①，若、為對立事件，則、互斥，則，命題①錯誤；對于命題②，由大邊對大角定理知，，且，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，命題②正確；對于命題③，的約數(shù)有、、、、、，的約數(shù)有、、、、、、、，則和的最大公約數(shù)是，命題③正確；對于命題④，設(shè)扇形的半徑為，則扇形的弧長為，扇形的面積為，由基本不等式得，當且僅當，即當時，等號成立，所以，扇形面積的最大值為，命題④錯誤.故選C.【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，涉及互斥事件的概率、三角形邊角關(guān)系、公約數(shù)以及扇形面積的最值，判斷時要結(jié)合這些知識點的基本概念來理解，考查推理能力，屬于中等題.6、D【解題分析】

在中，與平行或異面；在中，與相交、平行或；在中，與相交、平行或異面；在中，由線面平行的性質(zhì)定理得．【題目詳解】由，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，知：在中，若，，，則與平行或異面，故錯誤；在中，若，，則與相交、平行或，故錯誤；在中，若，，，則與相交、平行或異面，故錯誤；在中，若，，則由線面平行的性質(zhì)定理得，故正確．故選．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．7、D【解題分析】

根據(jù)題意,由正弦定理得，再把，，代入求解.【題目詳解】由正弦定理，得，所以．故選:D【題目點撥】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

根據(jù)向量滿足的條件確定出P點的位置，再根據(jù)三角形有相同的底邊，確定高的比即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以，即點在邊上，且，所以點到的距離等于點到距離的，故的面積與的面積之比為.選C.【題目點撥】本題主要考查了向量的線性運算，三角形的面積，屬于中檔題.9、D【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30min，那么可知先是勻速運動，圖像為直線，然后再休息，路程不變，那么可知時間持續(xù)10min，那么最后還是同樣的勻速運動，直線的斜率不變可知選D.考點：函數(shù)圖像點評：主要是考查了路程與時間的函數(shù)圖像的運用，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且滿足，得，所以，所以，設(shè)數(shù)列的公差為，則，故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解題分析】

根據(jù)已知兩項求出數(shù)列的公比，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進行求解即可．【題目詳解】∵a1＝1，a5＝4∴公比∴∴該等比數(shù)列的通項公式a3＝11＝1故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，一般利用基本量的思想，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

利用反函數(shù)的運算法則，定義及其性質(zhì)，求解即可．【題目詳解】由，得所以，又因為，所以.故答案為：【題目點撥】本題考查反余弦函數(shù)的運算法則，反函數(shù)的定義域，考查學(xué)生計算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

先將轉(zhuǎn)化為和為基底的兩組向量，然后通過數(shù)量積即可得到答案.【題目詳解】，.【題目點撥】本題主要考查向量的基本運算，數(shù)量積運算，意在考查學(xué)生的分析能力和計算能力.14、【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的三角公式，化簡求解即可．【題目詳解】解：角滿足，可得

則．

故答案為：．【題目點撥】本題考查兩角和與差的三角公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．15、.【解題分析】

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與直線所成角的余弦值．【題目詳解】解：四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，，平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，設(shè)直線與直線所成角為，則，直線與直線所成角的余弦值為．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．16、【解題分析】

由已知向量的坐標求得兩向量的模及數(shù)量積，代入數(shù)量積求夾角公式得答案．【題目詳解】∵（﹣1，），（，﹣1），∴，，則cos，∴與的夾角等于．故答案為：．【題目點撥】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了由數(shù)量積求向量的夾角，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)32；(2)【解題分析】

由兩向量坐標以及向量共線，結(jié)合正弦定理，化簡可得（1）由，，代入原式化簡，即可得到答案；（2）在和在中，利用正弦定理，化簡可得，，代入原式，化簡即可得到，利用三角形的內(nèi)角范圍結(jié)合三角函數(shù)的值域，即可求出的取值范圍．【題目詳解】向量與向量共線所以，由正弦定理得：.即，由于在中，，則，所以，由于，則.（1），.（2）因為，為的角平分線，所以，在中，，因為，所以，所以在中，，因為，所以，所以，則，因為，所以，所以，即的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查向量共線、正弦定理、二倍角公式、三角函數(shù)的值域等知識，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與求解能力，考查學(xué)生基本的計算能力，有一定綜合性．18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）計算出、的坐標，可計算出的坐標，再利用平面向量模長的坐標表示可計算出向量的模；（2）由可計算出的值；（3）由投影的定義得出向量在上的投影為可計算出結(jié)果.【題目詳解】（1）、、，，，因此，；（2）由（1）知，，，所以；（3）由（2）知向量與的夾角的余弦為，且.所以向量在上的投影為.【題目點撥】本題考查平面向量的坐標運算以及平面向量夾角的坐標表示、以及向量投影的計算，解題時要熟悉平面向量坐標的運算律以及平面向量數(shù)量積、模、夾角的坐標運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)題意，由，求解，注意角的范圍，可求得值，再根據(jù)運用兩角和正切公式，即可求解；（2）由題意，配湊組合角，運用兩角差余弦公式，即可求解.【題目詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，，（2）∵，∴，，∵，，∴，，∴.【題目點撥】本題考查三角恒等變換中的由弦求切、兩角和正切公式、兩角差余弦公式，考查配湊組合角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）3.5【解題分析】試題分析:（1）建立直角坐標系，設(shè)圓一般方程，根據(jù)三點E,F,M坐標解出參數(shù)（2）根據(jù)題意求出圓上橫坐標等于c點橫坐標的縱坐標，再根據(jù)要求在豎直方向上的高度之差至少要有得車輛通過隧道的限制高度試題解析：（1）以所在直線為軸，以所在直線為軸，以1m為單位長度建立直角坐標系，則，，，由于所求圓的