江蘇省無錫市第一女子中學2024屆數(shù)學高一下期末監(jiān)測試題含解析

江蘇省無錫市第一女子中學2024屆數(shù)學高一下期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．“”是“函數(shù)，有反函數(shù)”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．即非充分又非必要條件2．在中，若，，，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．63．我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤4．經(jīng)過，兩點的直線方程為（）A． B． C． D．5．在中，點滿足，則（）A． B．C． D．6．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝，則C為()A． B． C． D．7．一位媽媽記錄了孩子6至9歲的身高（單位：cm），所得數(shù)據(jù)如下表：年齡（歲）6789身高（cm）118126136144由散點圖可知，身高與年齡之間的線性回歸方程為，預測該孩子10歲時的身高為A．154 B．153 C．152 D．1518．如圖，是圓的直徑，點是半圓弧的兩個三等分點，，，則（）A． B． C． D．9．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，二面角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．已知數(shù)列的通項公式為，則72是這個數(shù)列的（）A．第7項 B．第8項 C．第9項 D．第10項二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的前n項和，則___________．12．已知，且，則________.13．已知向量，的夾角為，若，，則________.14．數(shù)列滿足：，，則______.15．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，當時，，若關于的方程有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為______.16．若數(shù)列滿足，，則的最小值為__________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．遇龍塔建于明代萬歷年間，簡體磚石結(jié)構(gòu)，屹立于永州市城北瀟水東岸，為湖南省重點文物保護單位之一．游客乘船進行觀光，到達瀟水河河面的處時測得塔頂在北偏東45°的方向上，然后向正北方向行駛后到達處，測得此塔頂在南偏東的方向上，仰角為，且，若塔底與河面在同一水平面上，求此塔的高度．18．已知，函數(shù)（其中），且圖象在軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為，并過點.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.19．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c；已知．（1）求角B的大小；（2）若外接圓的半徑為2，求面積的最大值．20．某研究機構(gòu)對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù).x681012y2356（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；（2）判斷該高三學生的記憶力x和判斷力是正相關還是負相關；并預測判斷力為4的同學的記憶力.（參考公式：）21．已知函數(shù)，，（1）求的最小正周期；（2）若，求的最大值和最小值，并寫出相應的x的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

函數(shù)，有反函數(shù)，則函數(shù)，上具有單調(diào)性，可得，即可判斷出結(jié)論．【題目詳解】函數(shù)，有反函數(shù)，則函數(shù)，上具有單調(diào)性，．是的真子集，“”是“函數(shù)，有反函數(shù)”的充分不必要條件．故選：A.【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、反函數(shù)、充分條件與必要條件的判定方法，考查推理能力與計算能力，同時考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．2、D【解題分析】

直接運用正弦定理求解即可.【題目詳解】由正弦定理可知中：，故本題選D.【題目點撥】本題考查了正弦定理的應用，考查了數(shù)學運算能力.3、D【解題分析】

直接利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.【題目詳解】因為每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前5項和為．即金錘共重15斤，故選D．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列求和公式的應用，意在考查運用所學知識解答實際問題的能力，屬于基礎題.4、C【解題分析】

根據(jù)題目條件，選擇兩點式來求直線方程.【題目詳解】由兩點式直線方程可得：化簡得：故選：C【題目點撥】本題主要考查了直線方程的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.5、D【解題分析】

因為，所以，即；故選D.6、C【解題分析】

由正弦定理先求出的值，然后求出結(jié)果【題目詳解】在中，，則故選【題目點撥】本題運用正弦定理解三角形，熟練運用公式即可求出結(jié)果，較為簡單。7、B【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，由表格可知，身高y與年齡x之間的線性回歸直線方程為，那么可知回歸方程必定過樣本中心點，即為（7,131）代入可知，=65，預測該學生10歲時的身高，將x=10代入方程中，即可知為153，故可知答案為B考點：線性回歸直線方程點評：主要是考查了線性回歸直線方程的回歸系數(shù)的運用，屬于基礎題．8、A【解題分析】

連接，證得，結(jié)合向量減法運算，求得.【題目詳解】連接，由于是半圓弧的兩個三等分點，所以，所以是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，所以.故選：A【題目點撥】本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量相等的概念，考查向量減法的運算，屬于基礎題.9、D【解題分析】

當平面ACD垂直于平面BCD時體積最大，得到答案.【題目詳解】取中點，連接當平面ACD垂直于平面BCD時等號成立.此時二面角為90°故答案選D【題目點撥】本題考查了三棱錐體積的最大值，確定高的值是解題的關鍵.10、B【解題分析】

根據(jù)數(shù)列的通項公式，令，求得的值，即可得到答案.【題目詳解】由題意，數(shù)列的通項公式為，令，即，解得或（不合題意），所以是數(shù)列的第8項，故選B.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的應用，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、17【解題分析】

根據(jù)所給的通項公式，代入求得，并由代入求得.即可求得的值.【題目詳解】數(shù)列的前n項和，則，而，，所以，則，故答案為：.【題目點撥】本題考查了數(shù)列前n項和通項公式的應用，遞推法求數(shù)列的項，屬于基礎題.12、或【解題分析】

利用正切函數(shù)的單調(diào)性及周期性，可知在區(qū)間與區(qū)間內(nèi)各有一值，從而求出?！绢}目詳解】因為函數(shù)的周期為，而且在內(nèi)單調(diào)增，所以有兩個解，一個在，一個在，由反正切函數(shù)的定義有，或?！绢}目點撥】本題主要考查正切函數(shù)的性質(zhì)及反正切函數(shù)的定義的應用。13、【解題分析】

由，展開后進行計算，得到的值，從而得到答案.【題目詳解】因為向量，的夾角為，若，，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查求向量的模長，向量的數(shù)量積運算，屬于簡單題.14、【解題分析】

可通過賦值法依次進行推導，找出數(shù)列的周期，進而求解【題目詳解】由，，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，，當故數(shù)列從開始，以3為周期故故答案為：【題目點撥】本題考查數(shù)列的遞推公式，能根據(jù)遞推公式找出數(shù)列的規(guī)律是解題的關鍵，屬于中檔題15、0＜a≤或a．【解題分析】

運用偶函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)f（x）的圖象，由5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，解得f（x）＝a或f（x），結(jié)合圖象，分析有且僅有6個不同實數(shù)根的a的情況，即可得到a的范圍．【題目詳解】函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：關于x的方程5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，解得f（x）＝a或f（x），當0≤x≤2時，f（x）∈[0，]，x＞2時，f（x）∈（，）．由，則f（x）有4個實根，由題意，只要f（x）＝a有2個實根，則由圖象可得當0＜a≤時，f（x）＝a有2個實根，當a時，f（x）＝a有2個實根．綜上可得：0＜a≤或a．故答案為0＜a≤或a．．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，考查方程和函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決的常用方法．16、【解題分析】

由題又,故考慮用累加法求通項公式,再分析的最小值.【題目詳解】,故,當且僅當時成立.又為正整數(shù),且,故考查當時.當時,當時,因為,故當時,取最小值為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查累加法,求最小值時先用基本不等式,發(fā)現(xiàn)不滿足“三相等”,故考慮與相等時的取值最近的兩個正整數(shù).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

根據(jù)正弦定理求得，然后在直角三角形中求得，即可得到答案．【題目詳解】由題意，在中，，故又，故由正弦定理得：，解得，因為，所以，所以．【題目點撥】本題主要考查了解三角形的實際應用問題，其中解答中熟練應用正弦定理和直角三角形的性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)向量的數(shù)量積得，結(jié)合，即可求解；（2）令即可求得增區(qū)間.【題目詳解】（1）由題圖象在軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為，并過點所以，解得，，解得：，所以；（2）令函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【題目點撥】此題考查根據(jù)平面向量的數(shù)量積，求函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)的頂點坐標和曲線上的點的坐標求參數(shù)，利用整體代入法求單調(diào)區(qū)間.19、（1）（2）【解題分析】

(1)利用正弦定理與余弦的差角公式運算求解即可.(2)根據(jù)正弦定理可得,再利用余弦定理與基本不等式求得再代入面積求最大值即可.【題目詳解】解：（1）在中,由正弦定理得,得,又∴.即,∴,又,∴．（2）結(jié)合（1）由正弦定理可知,由余弦定理可知,所以當且僅當時等號成立,所以,所以面積的最大值為．【題目點撥】本題主要考查了正余弦定理與三角形面積公式在解三角形中的運用.同時考查了根據(jù)基本不等式求解三角形面積的最值問題.屬于中檔題.20、（1）（2）該高三學生的記憶力x和判斷力是正相關；判斷力為4的同學的記憶力約為9【解題分析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)和公式計算回歸方程的系數(shù)，注意回歸直線過中心點，得回歸方程；（2）根據(jù)回歸系數(shù)的正負可得正相關還是負相關，令代入可得估計值．【題目詳解】（1），，，，，，故線性回歸方程為.（2）因為，故可以判斷，該高三學生的記憶力x和判斷力是正相關；由回歸直線方程預測，判斷力為4的同學的記憶力約為9.【題目點撥】本題考查求線性回歸直線方程，考查變量的相關性及回歸方程的應用．回歸方程中的系