決策中的收益損失與效用

1第四章決策中的收益、損失與成效§4.1決策問題的三要素§4.2決策準(zhǔn)那么§4.3先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么§4.4損失函數(shù)§4.5常用損失函數(shù)§4.6成效函數(shù)2§4.1決策問題的三要素決策就是對一件事要作決議.它與推斷的差別在于是否涉及后果.統(tǒng)計(jì)學(xué)家在作推斷時(shí)是按統(tǒng)計(jì)實(shí)際進(jìn)展的,很少思索結(jié)論在運(yùn)用后的損失.可決策者在運(yùn)用推斷結(jié)果時(shí)必需與得失聯(lián)絡(luò)在一同,能帶來利潤的就會用,使他蒙受損失的就不會被采用,度量得失的尺度就是損失函數(shù).貝葉斯決策:把損失函數(shù)參與貝葉斯推斷就構(gòu)成貝葉斯決策論,損失函數(shù)被稱為貝葉斯統(tǒng)計(jì)中的第四種信息.一、決策的根本概念3例1設(shè)甲乙二人進(jìn)展一種游戲,甲手中有三張牌,分別標(biāo)以.乙手中也有三張牌,分別標(biāo)以.游戲的規(guī)那么是雙方各自獨(dú)立地出牌,按下表計(jì)算甲的得分與乙的得分.甲的得分矩陣(乙的失分矩陣)

3-2014-3-4-12這是一個(gè)典型的雙人博弈(賭博)問題.不少實(shí)踐問題可歸結(jié)為雙人博弈問題.把上例中的乙方改為自然或社會,就構(gòu)成人與自然(或社會)的博弈問題.4例2某農(nóng)作物有兩個(gè)種類:產(chǎn)量高但抗旱才干弱的種類和抗旱才干強(qiáng)但產(chǎn)量低的種類.在明年雨量不知的情況下,農(nóng)民應(yīng)選播哪個(gè)種類可使每畝平均收益最大?這是人與自然界的博弈.以明年600mm雨量為界來區(qū)分雨量充足和雨量不充足寫出收益矩陣(單位:元)

1000200-2004005例3一位投資者有一筆資金要投資.有以下幾個(gè)投資供他選擇: :購買股票,根據(jù)市場情況,可凈賺5000元,但也能夠虧損10000元; :存入銀行,不論市場情況如何總可凈賺1000元.這位投資者在與金融市場博弈.未來的金融市場也有二種情況:看漲與看跌.可寫出投資者的收益矩陣50001000-100001000投資者將根據(jù)此收益矩陣決議他的資金投向何方.這種人與自然(或社會)的博弈問題稱為決策問題.6二、決策問題的三要素

1.形狀集,其中每個(gè)元素表示自然界(或社會)能夠出現(xiàn)的一種形狀,一切能夠形狀的全體組成形狀集.〔如例2中的兩種形狀：雨水充足和雨水不充足〕

2.

行動集,其中a表示人對自然界能夠采取的一個(gè)行動.留意：普通行動集有兩個(gè)以上的行動供選擇.假設(shè)有兩個(gè)行動無論對自然界的哪一個(gè)形狀出現(xiàn),總比收益高,那么就沒有存在的必要,可把它從行動集中去掉,使留在行動集中的行動總有可取之處.73.收益函數(shù)。函數(shù)值表示當(dāng)自然界處于形狀,而人們選取行動時(shí)所得到的收益大小。收益函數(shù)的值可正可負(fù)，其正表示贏利，負(fù)表示虧損，單位常用貨幣單位。收益函數(shù)的建立不是件容易的事，要對所研討的問題有全面的了解才干建立起來。收益矩陣〔例4.1.4〕8§4.2決策準(zhǔn)那么一、行動的允許性二、決策準(zhǔn)那么1.樂觀準(zhǔn)那么2.悲觀準(zhǔn)那么3.折中準(zhǔn)那么9一、行動的允許性定義：在給定的決策問題中，A中的行動a1稱為是允許的。假設(shè)在A中不存在滿足如下兩個(gè)條件的行動a2，1.對一切的θ∈Θ，有Q(θ,a2)≥Q(θ,a1)2.至少有一個(gè)θ,可使上式不等式嚴(yán)厲成立。假設(shè)這樣的a2存在的話,那么稱a1是非容許的;假設(shè)二個(gè)行動a1和a2的收益函數(shù)在Θ上處處相等,那么稱行動a1與a2是相等的。10兩點(diǎn)闡明：1.普通情況下，行動集中只存在允許行動。2.上面的討論是對收益函數(shù)而言的，但我們還可以對支付函數(shù)〔或虧損函數(shù)、本錢函數(shù)〕進(jìn)展討論，此時(shí)需求支付函數(shù)〔或虧損函數(shù)、本錢函數(shù)〕越少越好。1112二、決策準(zhǔn)那么1.樂觀準(zhǔn)那么(1)定義：樂觀準(zhǔn)那么也稱“好中求好〞決策準(zhǔn)那么，或稱“最大最大〞決策準(zhǔn)那么。這種決策準(zhǔn)那么就是充分思索能夠出現(xiàn)的最大利益，在各最大利益中選取最大者，將其對應(yīng)的方案作為最優(yōu)方案。這種決策準(zhǔn)那么的客觀根底就是所謂的天時(shí)、地利和人和，決策者感到出路樂觀，有自信心獲得每一決策方案的最正確結(jié)果。13(2)樂觀準(zhǔn)那么決策方法的普通步驟：①確定各種可行方案；②確定決策問題將面臨的各種自然形狀；③將各種方案在各種自然形狀下的收益值列于決策矩陣表中(表4-1)；④求每一方案在各自形狀下的最大收益值，將其填寫在決策矩陣表的最后一列；⑤取中的最大值，所對應(yīng)的方案為最正確決策方案。14

自然狀態(tài)行動方案θ1

θ2…θna1a2…am決策“樂觀準(zhǔn)那么〞決策矩陣表表4-115(3)“樂觀準(zhǔn)那么〞決策方法的運(yùn)用①假設(shè)某一決策問題的決策收益矩陣表如下，按樂觀準(zhǔn)那么選取最優(yōu)方案。8.728.078.258.727.398.077.198.256.966.086.138.727.24θ1θ2θ3決策a1a2a3自然形狀行動方案16②假設(shè)某一決策問題的決策損失矩陣表如

下，按樂觀準(zhǔn)那么選取最優(yōu)方案。5576611885910711612109761210θ1θ2θ3θ4決策a1a2a3a4自然形狀行動方案172.悲觀準(zhǔn)那么(1)定義：悲觀準(zhǔn)那么又稱“小中取大〞決策準(zhǔn)那么或叫“壞中求好〞決策準(zhǔn)那么。這種決策準(zhǔn)那么的客觀根據(jù)是決策的系統(tǒng)功能欠佳，情勢對決策者不利，所以，決策者沒有理由希望獲得最理想的結(jié)果。面對這種情況，決策者必需從每一方案的最害處著想，從每個(gè)方案的最壞結(jié)果中選擇一個(gè)最正確值，即在一切不利的收益中，選取一個(gè)收益最大的方案作為最優(yōu)決策方案。18(2)悲觀準(zhǔn)那么決策方法的普通步驟：假設(shè)決策矩陣為收益矩陣，那么先對每一行動選出最小的收益，再在一切選出的最小收益中選取最大值。此最大值對應(yīng)的行動就是悲觀準(zhǔn)那么下的最優(yōu)行動；假設(shè)決策矩陣為損失矩陣，那么先對每一行動選出最大的損失，再在一切選出的最大損失中選取最小值。此最小值對應(yīng)的行動就是悲觀準(zhǔn)那么下的最優(yōu)行動；19(3)“悲觀準(zhǔn)那么〞決策方法的運(yùn)用①假設(shè)某一決策問題的決策收益矩陣表如下，按悲觀準(zhǔn)那么選取最優(yōu)方案。7.197.196.086.137.398.077.198.256.966.086.138.727.24θ1θ2θ3決策a1a2a3自然形狀行動方案20②假設(shè)某一決策問題的決策損失矩陣表如

下，按悲觀準(zhǔn)那么選取最優(yōu)方案。10111012121188591078612119761211θ1θ2θ3θ4決策a1a2a3a4自然形狀行動方案213.折中準(zhǔn)那么(1)定義:折中準(zhǔn)那么又稱α系數(shù)決策準(zhǔn)那么,是對悲觀準(zhǔn)那么和樂觀準(zhǔn)那么進(jìn)展折中的一種決策準(zhǔn)那么.α是一個(gè)依決策者認(rèn)定情況樂觀還是悲觀而定的系數(shù),稱為樂觀系數(shù).假設(shè)認(rèn)定情況完全樂觀,那么α=1,假設(shè)認(rèn)定情況完全悲觀,那么α=0;普通情況下,那么0<α<1.22(2)折中準(zhǔn)那么的根本步驟第一步:確定系數(shù)α的值;第二步:對每一行動a計(jì)算:其中表示行動a的最大收益值,表示行動a的最小收益值第三步:取行動a0,使H(a0)到達(dá)最大,即此種a0就是這種準(zhǔn)那么下的最優(yōu)行動.23(3)折中準(zhǔn)那么決策方法運(yùn)用案例某工廠預(yù)備消費(fèi)一種新型童車,根據(jù)市場需求分析和估計(jì)，產(chǎn)品銷路可分為三種形狀:θ1-銷路好;θ2-銷路普通;θ3-銷路差.可供選擇的行動方案也有三種:a1,大批量消費(fèi);a2,中批量消費(fèi);a3,小批量消費(fèi).根據(jù)產(chǎn)量多少和銷售情況，工廠的盈利情況也有所不同,能夠獲利也能夠虧損,將此數(shù)值稱為損益值.獲利時(shí)稱為收益值,虧損時(shí)稱為損失值，用負(fù)號表示.現(xiàn)調(diào)查得本月的損益值見下表.試用α系數(shù)法作出決策.24新型童車損益值表

自然狀態(tài)行動方案銷路好θ1銷路一般θ2銷路差θ3大批量生產(chǎn)a13023-15中批量生產(chǎn)a225200小批量生產(chǎn)a312121225解:第一步,確定系數(shù)α的值α=0.6

第二步,計(jì)算H(a)

H(a1)=0.6[max(30,23,-15)]

+0.4[min(30,23,-15)]=12(萬元)

H(a2)=0.6[max(25,20,0)]

+0.4[min(25,20,0)]=15(萬元)

H(a3)=0.6[max(12,12,12)]

+0.4[min(12,12,12)]=12(萬元)

第三步,計(jì)算收益中的最大者

H(a0)=max(12,15,12)=15(萬元)

所以最正確方案應(yīng)為中批量消費(fèi),即為a2.26§4.3先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么一、先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么(1)定義：對給定的決策問題，假設(shè)在形狀集Θ上有一個(gè)正常的先驗(yàn)分布π(θ)，那么收益函數(shù)Q(θ,α)對π(θ)的期望與方差分別稱為先驗(yàn)期望收益和收益的先驗(yàn)方差。使先驗(yàn)平均收益達(dá)到最大的行動a'稱為先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么下的最優(yōu)行動。假設(shè)此種最優(yōu)行動不止一個(gè)，其中先驗(yàn)方差到達(dá)最小的行動稱為二階矩準(zhǔn)那么下的最優(yōu)行動。27幾點(diǎn)闡明：1.定義中的先驗(yàn)分布只能用正常先驗(yàn)分布，而不能采用廣義先驗(yàn)分布。2.假設(shè)在比較先驗(yàn)期望收益的大小時(shí)，有兩個(gè)或兩個(gè)以上的行動使先驗(yàn)期望收益到達(dá)最大，這時(shí)才需求比較先驗(yàn)方差的大小做出決策。3.運(yùn)用合理的先驗(yàn)信息，按照先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么和二階矩準(zhǔn)那么進(jìn)展決策，所得結(jié)果更加可信。28(2)案例分析例1某廠預(yù)備開發(fā)一種新產(chǎn)品，有三種方案供選擇：a1、a2和a3。估計(jì)一年后市場對該種產(chǎn)品的需求量可分為較高、普通和較低。且估計(jì)一年后市場需求量是高、中、低的客觀概率為：π(θ1)=0.6,π(θ2)=0.3,π(θ3)=0.1,同時(shí)算得收益矩陣如下。試用先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么確定最正確行動方案。29狀態(tài)方案較高θ1一般θ2較低θ3a1700250-200a2980-500-800a340090-3030先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么和其他準(zhǔn)那么的關(guān)系市場需求量Θ1高θ2中θ3低悲觀準(zhǔn)則下π1001樂觀準(zhǔn)則下π2100折中準(zhǔn)則下π30.800.2先驗(yàn)期望準(zhǔn)則下π0.60.30.131例3一賣花姑娘每天從花市按每棵5元購進(jìn)，而按每棵10元賣出，當(dāng)天假設(shè)賣不完那么剩下的花只能當(dāng)渣滓。問該姑娘每天購進(jìn)多少花？出售量(棵/日)頻數(shù)(日)頻率1440.0815110.2216100.201770.141870.141960.122050.10累計(jì)501.0032二、兩個(gè)性質(zhì)定理4.1：在先驗(yàn)分布不變的情況下，收益函數(shù)的線性變換不會改動先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么下的最優(yōu)行動。定理4.2：設(shè)Θ1為形狀集Θ的一個(gè)非空子集，假設(shè)在Θ1上的收益函數(shù)Q(θ,a)都加上一個(gè)常數(shù)c，而在Θ上的先驗(yàn)分布不變，那么在先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么下的最優(yōu)行動不變。例4(P例題4.3.4)33§4.4損失函數(shù)1.損失函數(shù)的含義這里的損失不是負(fù)的收益，也不是虧損。例如，某商店一個(gè)月的運(yùn)營收益為-1000元，即虧1000元。這是對本錢而言。我們不稱為損失，而稱其為虧損。我們講的損失是指“該賺而沒有賺到的錢〞，例如該商店本可以賺2000元，但由于某種緣由虧了1000元，那我們說該商店損失了3000元。用這種觀念認(rèn)識損失對提高決策認(rèn)識是有益處的。按上述觀念從收益函數(shù)可以很容易獲得損失函數(shù)。34例5某公司購進(jìn)某種貨物可分大批、中批和小批三種行動，記為。未來市場需求量可分為高、中、低三種形狀，記為。三個(gè)行動在不同市場的利潤(千元〕如下:這是一個(gè)收益矩陣,我們把它改寫成損失矩陣如下:由此可見,決策者在做決策時(shí),要盡量防止大損失,追求小損失甚至無損失.352.損失函數(shù)構(gòu)成決策問題的三要素:由收益函數(shù)容易獲得損失函數(shù)例6某公司購進(jìn)一批貨物投放市場,假設(shè)購進(jìn)數(shù)量低于市場需求量,每噸可賺15萬元,假設(shè)購進(jìn)數(shù)量超越市場需求量,超越部分每噸反而要虧35萬元.由此可寫出收益函數(shù)36那么立刻可得損失函數(shù):顯然,當(dāng)購進(jìn)數(shù)量等于市場需求量時(shí),收益到達(dá)最大為15.373.損失函數(shù)下的悲觀準(zhǔn)那么第一步,對每個(gè)行動,選出最大損失值,記為第二步,在一切選出的最大損失中再選出最小者,那么滿足那么稱為悲觀準(zhǔn)那么下的最優(yōu)行動.這是一種保守戰(zhàn)略.不求零損失,但愿少損失.38例7某公司購進(jìn)某種貨物可分大批、中批和小批三種行動，記為，未來市場需求量可分為高、中、低三種形狀，記為,三個(gè)行動在不同市場的收益矩陣和損失矩陣如下:試比較在Q與L下的最優(yōu)行動。思索：為什么所選行動不一樣？39例8某股票投資者對金融市場上的兩種資產(chǎn)進(jìn)展投資,其收益矩陣如Q,請協(xié)助作出適宜的決策(按悲觀準(zhǔn)那么).用Q做決策(按悲觀準(zhǔn)那么),結(jié)果為a2是最正確行動,顯然該決策不好。用L做決策(按悲觀準(zhǔn)那么),結(jié)果為a1。闡明這樣一個(gè)道理:用損失函數(shù)做決策要比用收益函數(shù)做決策更合理(P140)。404.損失函數(shù)下的先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么(1)定義:對給定的決策問題，假設(shè)在形狀集Θ上有一個(gè)正常的先驗(yàn)分布π(θ)，那么損失函數(shù)L(θ,α)對π(θ)的期望與方差分別稱為先驗(yàn)期望損失和損失的先驗(yàn)方差。使先驗(yàn)期望損失達(dá)到最小的行動a'稱為先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么下的最優(yōu)行動。假設(shè)此種最優(yōu)行動不止一個(gè)，其中先驗(yàn)方差到達(dá)最小的行動稱為二階矩準(zhǔn)那么下的最優(yōu)行動。41本卷須知:1.定義中的先驗(yàn)分布只能用正常先驗(yàn)分布，而不能采用廣義先驗(yàn)分布。2.損失的先驗(yàn)方差有