仿真模擬卷04-2022年高考數(shù)學(xué)仿真預(yù)測(cè)模擬試題（全國(guó)卷理科）（解析版）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案

寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={xeN*|x<3},集合B={2,3,4},則)

A.{2,3}B,{1,2,34}C,{0,1,2,34}D,{0,1,4}

【答案】B

【解析】

【分析】

先寫(xiě)出集合A,然后再求并集

【詳解】A={xeM|x<3}={l,2,3},B={2,3,4)

所以AU6={1,2,3,4}

故選：B

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù).Z滿足z(l+i)=|l+6i],則Z的共胡復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

試題分析：由題意1+網(wǎng)22(1-0z=l+i，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,1)，在

Z=-

1+Z-1+廠(l+i)(l-i)一

第一象限，故選A.

3.下列結(jié)論正確的是()

A.若直線/_L平面Q,直線/_L平面￡,則。//￡

B.若直線///平面a,直線/〃平面夕，則a///

C.若兩直線4、4與平面a所成的角相等，則4/〃2

D.若直線/上兩個(gè)不同的點(diǎn)A、8到平面a的距離相等，則///a

【答案】A

【解析】

試題分析：A中，垂直于同一直線的兩平面互相平行，所以直線直線/_L平面a,直線/，平

面/，則a//月，正確;B中,若直線〃/平面a,直線///平面/，則兩平面可能相交或

平行，故B錯(cuò)；C中，若兩直線4、4與平面a所成的角相等，則4、可能相交、平行或異

向，故C錯(cuò)；D中，若直線/上兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B到平面a的距離相等，則直線與平面可

能相交或者平行，故D錯(cuò)，故選A.

考點(diǎn)：空間直線與平面間的位置關(guān)系.

x-2y+l>0則z=2"+)'+2的取值范圍為(

4..已知實(shí)數(shù)＞滿足＜)

|x|-y-l<0X

212

A.0,—B.(—oo,2]U—?+°°C.

，3

D.(-00,0]u與，+8)

【答案】D

【解析】

試題分析：作出不等式組不等式的平面區(qū)域如圖所示，z=2x+y+2=2+￡±2表示的幾

xx

何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)尸((),—2)的斜率%加上2.因?yàn)锳(3,2)、C(-l,0),所以

441010

心.=一，％”=一2,所以由圖知左2—或左4一2,所以我+22—或A+2W0,即z?—或

AP3333

z<0,故選D.

5.已知命題p:—>—,命題ax2+ax+1>0>則P成立是9成立的（）

a4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

分別由命題p,q求得a的取值范圍，然后考查充分性和必要性是否成立即可.

【詳解】求解不等式,>■!■可得0<。<4,

a4

對(duì)于命題夕，當(dāng)。=0時(shí)，命題明顯成立；

a>0

當(dāng)時(shí)，有：《2，?>解得：0<a<4,

△=優(yōu)-4a<0

即命題4為真時(shí)0?a<4，

故P成立是夕成立的充分不必要條件.

故選A.

6.在二項(xiàng)式4x+的展開(kāi)式，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重

2心）

新排成一列，有理數(shù)都互不相鄰的概率為（）

1115

A.-B.-C.-D.—

64312

【答案】D

【解析】

試題分析?展開(kāi)式通項(xiàng)為1_1=。；（8）1（亍?。?。：」一工二（0<r<n）,由題意

2C\rl=C^2:+C--2-：,?=8.所以當(dāng)丫=0,1S時(shí)竺產(chǎn)為整藪，相應(yīng)的項(xiàng)為有理數(shù)，因此題二

項(xiàng)式展開(kāi)式中共有9項(xiàng)，其中有3項(xiàng)是有理數(shù)，6項(xiàng)是無(wú)理數(shù)，所求概率為產(chǎn)=或上=上.故選D.

w12

7.一個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示（單位：<加），則該

幾何體的體積為（）

A.\20cnt'4B.80cm'3C.100cm'3D.60cm'3

曾視圖

【答案】C

【解析】

試題分析：由三視圖知該幾何體是長(zhǎng)方體截去/一個(gè)角所得,

1,故選C.

V=6x5x4--x6x5x4=100(cm3)

8.某地某所高中2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.5倍，為了更好地對(duì)

比該?？忌纳龑W(xué)情況，統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考升學(xué)情況，得到如下柱圖：

40%

35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0%

一本二本藝體不上線率

0%一本二本藝體不上線率

達(dá)線率達(dá)線率達(dá)線率達(dá)線率達(dá)線率達(dá)線率

年高考數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

2()162019年高考數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

則下列結(jié)論正確的是()

A.與2016年相比，2019年一本達(dá)線人數(shù)有所減少

B.與2016年相比,2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了0.5倍

C.與2016年相比，2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同

D.與2016年相比，2019年不上線的人數(shù)有所增加

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)柱狀圖給定的信息，作差比較，即可求解.

【詳解】依題意，設(shè)2016年高考考生人數(shù)為X,則2019年高考考生人數(shù)為1.5%，

由24%―1.5x—28%-x=8%-x>0,所以A項(xiàng)不正確；

7

由(40%I5x-32%?x)+32%-x=，,所以B項(xiàng)不正確;

8

由8%」.5x—8%-x=4%-x>0,所以C項(xiàng)不正確：

由28%」.5x—32%-x=10%-x>(),所以D項(xiàng)正確.

故選：D.

9.在AABC中，8C=5,G,。分別為AABC的重心和外心，且礪?品=5,則AABC的

形狀是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.上述三種情況都有可能

【答案】B

【解析】

試題分析：設(shè)。是3C邊中點(diǎn)，則OGBC=(OD+DG)BC=DGBC

=-DABC

3

^--(AB+AC)C\C-AB)=--(AC2-AB")=5,所以一而？=_30,

66

|^B|2=|AC|2+30.|^B|2>|^C|-+25=|XC|'+|BC|\所以COSC<0,即c為鈍角,

三角形為鈍角三角形.故選B.

10.己知等差數(shù)列{%},{〃,}的前〃項(xiàng)和分別為s“,4,若對(duì)于任意的自然數(shù)〃，都有

S2〃-3a,+a.a.,、

jtt=-------,則nl—~J+——=()

T

n4〃—32(4+%)b2+bM

【答案】A

【解析】

11(4+對(duì))

生_生生%+生_

試題分析:q+%?2%[_q+2

2(i3+ij)&+%2(i[+in)4+%4+如4+414+41]1(4+如)

19

Su_2x11-3=],故選A.

,^-"4xll-3

考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的性質(zhì)；2、等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式.

11.正方體ABCO-44G。的棱長(zhǎng)為1,E,凡G分別為8C,CC，B4的中點(diǎn).則（）

A.直線。。與直線A尸垂直

B.直線4G與平面戶垂直

9

C.平面AE/截正方體所得的截面面積為大

D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)A尸與C￡不垂直，且OOJ/CG可知A不正確；根據(jù)AE,￡2四點(diǎn)共面，且

4G//。/,可知B正確；根據(jù)梯形的面積公式可求出碳面的面積，可知C正確；連CG交

EFTH，則〃不是CG的中點(diǎn)，可知。不正確.

【詳解】因?yàn)橹本€A尸與直線CG不垂直，且。DJ/CG，所以直線。。與直線AF垂直

不垂直，故A不正確；

.4B

連A2、D}F,BQ,因?yàn)镋、F為BC、CQ的中點(diǎn)，所以EF//BC、",所以

四點(diǎn)共面，因?yàn)锳G//。/,4Gz平面AM，4月匚平面4石廠，所以

AG//平面AE/L故8不正確；

9

平面AE尸截正方體所得的截面為梯形AE尸q,其面積為2（也+&）x

8-

22

故。正確；

連CG交EF于H，則”不是CG的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AE/7的距離相等，故。

不正確.

故選：C

12.已知正數(shù)X,y,Z滿足3、=2,=12"下列結(jié)論不正確的是()

A.6z>2y>3xB,—[+—2=]—C.x+y>(3+2\/2)zD.

xyz'/

xy>8z2

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)3*=2〉=12二=加>1，求得x=log3；n,y=log2m,z=logl2m,然后根據(jù)對(duì)數(shù)的

運(yùn)算法則和基本不等式判斷各選項(xiàng).

【詳解】設(shè)3"=2>=122>1，則x=log3m，y=log,m,z=log12m,

cc,266c2366

2y=2log,m=--------=-----------=---------,3x=3log,m=---------=-----------=---------.

log,,,23log,,,2log,,,8log,,,32log,,,3log,,,9

又0<log,”8<log,”9,所以2y>3x,

「八6

6z=61og12w=-------,而log,“12>k>g,“8,所以6z<2y,A錯(cuò)；

log,”12

1212,cc,c,1

則一+一="；-------+：------=log?,3+2log,,,2=logm12=-,B正確；

xylog3mlog2mz

ylog7//2+log,mZ1fxi、…-i

-------=~\----------=(log,rn+log3m)logm12=(log,m+log3m)(2log?,2+log,,,3)

zlogl2m

.、/21、°log,w2log,m

-(log2m+log3m)(--------+--------)=3+———+----——

log2mlog3mlog3mlog2m

23+2、乒聲無(wú)=3+2及，當(dāng)且僅當(dāng)警曙警即

m

'log3mlog2mlog3^log2

log2m-41log3m,這個(gè)等式不可能成立，因此等號(hào)不能取到，三？>3+20,即

x4-y>(3+2>/2)z,C正確；

因?yàn)?log,“12)2=(21og,“2+k)g,“3)2N(2j21og,“2.log,“3)2=8log,,,2log,,,3，

/1A2]i

所以1>Sx-x~,即孫>8Z2,D正確.

\zjxy

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若“3re[l,2],x+aW0”是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(-1,+8)

【解析】

【分析】

由題轉(zhuǎn)化為命題“VXG[1,2],x+a>0”為真命題，即a>-無(wú)恒成立，故可求解實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

【詳解】由題轉(zhuǎn)化為命題“Vxe[1,2],x+a>0”為真命題，即。>一工恒成立，

又y=-x0,2]上單調(diào)遞減，所以為皿=一1，故a>—L

故答案為：(-1,+8)

14.如圖，已知AA3C是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)。、E分別是邊AB、8C的中點(diǎn)，

連結(jié)。后并延長(zhǎng)到點(diǎn)尸，使得DE=2EF,則麗.配的值為_(kāi)________

【答案】g

【解析】

【分析】

先由題意，得到而=2無(wú)=3瓦，推出通=通+方=」而+,急，再由

2424

BC=AC-AB＞根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合題中條件，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镈E=2&'，點(diǎn)。、E分別是邊AB、3C的中點(diǎn)，

—3—3—

所以。/二二?！甓?4。，

24

_______I__§__

因此4k=4方+。戶=-48+巳43，

24

又就=前—通，AA8C是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

所以而辰=（;通+部）畫(huà)-畫(huà)7時(shí)+三珂-萍.通

=--^+-1-^-|Ac|-|Afi|cos60__L

-_2+4_8-8

故答案為：—

8

15.5人并排站成一行，甲乙兩人之間恰好有一人的概率是.（用數(shù)字作答）

3

【答案】-

【解析】

【分析】

利用捆綁法求出甲乙兩人之間恰好有一人的排法，再求出5人并排站成一行的排法，利用古

典概率公式計(jì)算即可.

【詳解】甲乙兩人之間恰好有一人的排法共有8。；國(guó)=36種，

5人并排站成一行的排法共有&=12（）種，

所以甲乙兩人之間恰好有一人的概率是P=—=—

12010

3

故答案為：—

16.已知函數(shù)/(x)=sin(3x+30)-2sin(x+°)cos(2x+20),其中財(cái)＜萬(wàn)，若/(x)在

上單調(diào)遞減，則。的最大值為

【答窠】2

6

【解析】

/(%)=sin[(%+夕)+(2%+2*)]-2sin(九+夕)cos(2x+2夕)=sin(工+夕),由

7T3冗7T37r7c27r

2&兀+-<x-\-(p<2knH-----,解得2EH-------(p<x<2&兀+----°,一<x<——是其子

222263

TTTTTT

2kji+——(p<—2&兀+—<(p

集，故｛26解得｛3,由于冏〈兀，故令2=?？汕蟮孟Φ淖?/p>

…3兀、2兀?5兀、

2EH-------(p>——2&兀H----->(p

236

大值為年.

6

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21為必

考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.在遞增的等比數(shù)列｛4｝中，?！?=32,%+。5=18,其中“GN*.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵記b?=a?+求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和T.

log2??+l,n

2

【答案】⑴。"=2"，⑵2"—1+匕2

2

【解析】

試題分析：⑴由%。及。+。得。進(jìn)而的夕，可得通

?5=%=3225=182=2,a5=16,

項(xiàng)公式；

(2)b?=2"T+〃利用分組求和即可，一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列.

試題解析：

⑴設(shè)數(shù)列｛q｝的公比為4,

則%?%=4?6=32,

又。2+%=18,

/.a2=29。5=16或〃2=16,%=2(舍).

.?./=&=8,即q=2.

故&=4qT=2"T(〃eN*).

(2)由(1)得，b?=2n-'+n.

?'?I,=4+濟(jì)+…+勿

=(1+2+2?+…+2"T)+(l+2+3+…

1-2"(1+?)?

-i-2-

18.已知四棱柱A8CD=AB'CZ>'中，底面ABC。為菱形，

AB=2,AA=4,NA4O=60,E為BC中點(diǎn),C'在平面ABCO上的投影〃為直線AE

與。。的交點(diǎn).

⑴求證：BDLAH-.

(2)求二面角D—33'—。的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解

【解析】

【分析】

⑴連接AC',AC,A'B,BH,先證明4cB”為平行四邊形，因此A'B_L平面

繼而證明3。平面A'B”,即得證.

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面平面CB5'的法向量，利用二面角的向量

計(jì)算公式，即得解.

【詳解】(1)

連接AC',AC,,

由于E為BC中點(diǎn)，且“C//A3,故后為A/7中點(diǎn)，.?.△CHE3△A3E，C/7=A3

故四邊形CB"4為平行四邊形，AC//BH

由于四棱柱ABCD=AB'CD'A4'//CC'且A4'=CC'

故四邊形A'C'AC為平行四邊形.ACHA'C'AC//BH

由于底面ABC。為菱形，故3￡>J_AC,B.AC//BH，：.BD上BH

由于A'C7/8H,A'C'=3"，故四邊形4cB〃為平行四邊形，所以847/HC'

故：平面A8C￡>；.A'3_L8。

乂A'Bu平面45"，BHu平面A8”，

故3。J.平面A'B“，4"u平面A'B”，

.-.BD±A'H

(2)由(1)8”,BD,兩兩垂直，以8為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

.-.3(0,(),0),C(囪,1,()),D'(5/3,1,2百),B,(瓜-1,2百)

萬(wàn)7月=(0,2,0),1TB=-1,-2歷,CB'=(0,2,-2百),CB=(-石,-1,0)

設(shè)平面￡>'83'的法向量為G=(x,y,z),

n-D'B'=2y=0

故令x=2「.z=-1,故〃=(2,0,-1)

無(wú)方方=-島-y-2島=0

設(shè)平面CBB，的法向量為m=(x,y,z),

心方=2〉-2百z=0「

故〈一r-，令y=J3.=x=-l,z=l故機(jī)=(-1,

n-CB=-y/3x-y=0

由圖像得二面角。'一88'—C為銳角，故

一一in-n3

cos<D'-BB'-C>=]cos<in,n>|=|—~—1=-

|/H||H|5

4

故sin<。'一BB'—C>=—

5

19.隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快，手機(jī)廠商之間圍繞5G用戶的爭(zhēng)奪越來(lái)越激烈，5G手機(jī)

也頻頻降價(jià)飛入尋常百姓家.某科技公司為了打開(kāi)市場(chǎng)，計(jì)劃先在公司進(jìn)行“抽獎(jiǎng)免費(fèi)送

5G手機(jī)”優(yōu)惠活動(dòng)方案的內(nèi)部測(cè)試，測(cè)試成功后將在全市進(jìn)行推廣.

(1)公司內(nèi)部測(cè)試的活動(dòng)方案設(shè)置了第i(ieN+)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的名額為3i+2，抽中的用戶退

出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充新的用戶，補(bǔ)充新用戶的名額比上一次中獎(jiǎng)用戶的名額少2個(gè).若某次抽

獎(jiǎng)，剩余全部用戶均中獎(jiǎng)，則活動(dòng)結(jié)束.參加本次內(nèi)部測(cè)試第一次抽獎(jiǎng)的有15人，甲、乙

均在其中.

①請(qǐng)求甲在第一次中獎(jiǎng)和乙在第二次中獎(jiǎng)的概率分別是多少？

②請(qǐng)求甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的分布列和期望？

(2)由于該活動(dòng)方案在公司內(nèi)部的測(cè)試非常順利，現(xiàn)將在全市進(jìn)行推廣.報(bào)名參加第一次抽

獎(jiǎng)活動(dòng)的有20萬(wàn)用戶，該公司設(shè)置了第i(ieN+)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為〃=2±CD,每

(40

次中獎(jiǎng)的用戶退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充相同人數(shù)的新用戶，抽獎(jiǎng)活動(dòng)共進(jìn)行2〃(〃eN+)次.已

知用戶丙參加了第一次抽獎(jiǎng)，并在這2〃次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中中獎(jiǎng)了，在此條件下，求證：用戶丙

參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的均值小于;.

2

【答案】(1)①甲在第一次中獎(jiǎng)的概率為,，乙在第二次中獎(jiǎng)的概率為3；②分布列見(jiàn)解

339

25

析，￡(%)=—；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

（1）①確定參與抽獎(jiǎng)人數(shù)和中獎(jiǎng)人數(shù)，可得概率，其中乙第二次中獎(jiǎng)，是在第一次不中獎(jiǎng)的

基礎(chǔ)上才能第二次抽中獎(jiǎng)，由條件概率公式計(jì)算;

②設(shè)甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為X，則x=1,2,3,注意第2次中獎(jiǎng)是在第一次未中獎(jiǎng)的條

件下才發(fā)生，同樣第3次中獎(jiǎng)是在前2次都未中獎(jiǎng)的條件下才可能發(fā)生.由條件概率公式計(jì)

算出概率得分布列，由期望公式可計(jì)算期望;

⑵丙在第奇數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為；，在第偶數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為:.“丙中獎(jiǎng)，，為事件A，則

<43、

P(A)=J—X—=1—,設(shè)丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為Y,求出丙在第2m和2m一1

(54；

次中獎(jiǎng)的概率尸（丫=2加）和p（y=2機(jī)-1）,這兩個(gè)概率相等，這樣在內(nèi)中獎(jiǎng)這個(gè)條件下可

P(y=2m-1)P(Y=2m)

得第2m-l次和第2m次中獎(jiǎng)的概率和,由期望公式計(jì)算出期

P(A)P(A)

望E（Y）,用錯(cuò)位相減法求得分子的和，得E（y）化簡(jiǎn)后可證結(jié)論.

【詳解】（1）①甲在第一次中獎(jiǎng)的概率為Pi=卷=；

10816

乙在第二次中獎(jiǎng)的概率為P2—__x__—__

151339

②設(shè)甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為X，則X=1,2,3,

5105I10

P(X=1)=—x——x1

15151339

X123

\1610

P

33939

L/s,1C16c1025

??—1x—I-2x----F3x—=—

v73393913

⑵證明：丙在第奇數(shù)次中獎(jiǎng)概率*在第偶數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為，

1x2

設(shè)丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為y,“丙中獎(jiǎng)”為事件4,則P（A）=I-

54J

則丙在第2m一1次中獎(jiǎng)的概率尸（丫=2加一1）=（|）x|

41⑶g1

在第2m次中獎(jiǎng)的概率P[Y=2m）=x—x—=—x—，

(iJ54⑸5

/o\m-l1

即p(y=2^—i)=尸(y=2^)=-x—，

、5,5

在丙中獎(jiǎng)的條件下，在第2m-l,2帆次中獎(jiǎng)的概率為乩引_，

尸⑷

則丙參加活動(dòng)次數(shù)的均值為

￡（丫）=5「；/（1+2）+|（3+4）+（|）（5+6）+…+（|（2n-l+2n）

3/3、2(a丫1

設(shè)S=3+7xg+llx|jJ+…+(4〃一1,W

嗎S=3x|+7咽

+(4n-l)(II

A-5=3+4

5

4512〃+27(3Y'-1

T2一.G

所以名（卜）

Y2V21

20.已知橢圓C：/+臺(tái)=1（。＞力〉0）的離心率為5,以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為

半徑的圓與直線缶一后y+12=0相切.

⑴求橢圓C的方程；

，⑵設(shè)A（T,0）,過(guò)點(diǎn)R（3,o）作與X軸不重合的直線/交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，連接AP,AQ

分別交直線x=g于M,N兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為加內(nèi)，試問(wèn)：仁總是否為

定值？若是，求出該定值，若不.是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)---1?--=1;(2)定值，為----.

16127

【解析】

試題分析：(1)題中有兩個(gè)條件，離心率提供一個(gè)等式￡=」，第二個(gè)原點(diǎn)到已知直線的距離等于從由

a2

此結(jié)合『=+c：結(jié)合可求得a力得標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)本小題是解析幾何中的探索性問(wèn)題，對(duì)于定值問(wèn)題,

我們引入一個(gè)參數(shù)，證明k內(nèi)與此參數(shù)無(wú)關(guān)即可.題目涉及直線『與幃圓的交點(diǎn)，因此設(shè)交點(diǎn)為

直線尸。的方程為x=，中+3(這樣設(shè)包含了斜率不存在的情形)，代入橢圓方程可

得"+]1,而，同時(shí)求出J/八'的坐標(biāo)，求得上他，最后把八+.11,代入化簡(jiǎn)，結(jié)果與出的值無(wú)關(guān),

是一個(gè)常數(shù).

p=27=4

試題解析：⑴由題意得/=b二抬，故描圓C的方程為工+二=1.

77+5、1612

、,、'c=2

a-=i*+c*、

I三上

⑵設(shè)尸國(guó)直線尸。的方程為x=叩+3,由」161213w*+41v"+18w;-21=0

Lr=wn'+3

；.M+J、=//、=_2±_,由兒PN三點(diǎn)共線可知=-2128*V,1

3療+43m?+4,i2工

同理可得V瞪一所以3=翦)面=號(hào)=與"

(Xj+41(x：+4)=(fm\+7)(>m\+7)=w*y1y:+7w(y\+y2)+49

:即、=_______=_12.

■wJ：+7w(yj+y)+497

考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直箍:與橢圓的位置關(guān)系，探索性問(wèn)題、定值問(wèn)題.

21.已知函數(shù)〃力=旄*+以，awR.

⑴設(shè)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x)，求/'(x)的最小值；

(2)設(shè)g(x)=ar"lnx+alnx+(a-l)x,當(dāng)xe(l,+8)時(shí),若〃x)Ng(x)恒成立，求a

的取值范圍.

【答案】⑴a—5：(2)(v,e].

【解析】

【分析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)/'(x)=(x+l)，+a,再對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的

關(guān)系即可求解.

⑵將不等式轉(zhuǎn)化為xev+x>(alnx)eaM，+alnx對(duì)xe(l,+8)恒成立，構(gòu)造不等式

/(x)>/(alnx),討論”的取值，令加(x)=x-alnx,利用導(dǎo)數(shù)判斷m(x)的單調(diào)性,

求出m(x)的最小值大于。即可求解.

【詳解】⑴?.?_f(x)=(x+l)e、+a,廣(x)=(x+2)e*

所以/'(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞減；在(-2,+a>)上單調(diào)遞增

所以/i'(力的最小值為了'(―2)=a

e

(2)當(dāng)XG(l,+oo)時(shí),若〃x)Ng(x)成立,

即xex+x之a(chǎn)x"Inx+aInx對(duì)xe(1,+?)恒成立，

亦即xex+x>(aInx)ea'nx+alnx對(duì)xw(l,+oo)恒成立.

即/(x)>/(alnx),

由(1)知a=l時(shí)/'(x)的最小值為1一J>0,所以〃x)在R上單調(diào)遞增.

xNxlnx在(1,+°°)上恒成立.

令〃?(x)=x-alnx,則加'(x)=l-q=^~~—.

xx

①aWl時(shí)，/(x)>0在(1,+℃)上恒成立，；.m(x)>加⑴=1>0,此時(shí)滿足已知條件，

②當(dāng)a>l時(shí)，由N(x)=O,解得x=a.

當(dāng)xe(l,a)時(shí)，m(x)<0,此時(shí)〃z(x)在(l,a)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xw(a,+oo)時(shí),m(x)>0,此時(shí)在(a,+8)上單調(diào)遞增.