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1-4求符號(hào)函數(shù)(見(jiàn)圖l-25a)和單位階躍函數(shù)(見(jiàn)圖l-25b)的
頻譜。
sgn(r)
1
0
-1
a)符號(hào)函數(shù)
圖1-25題1-4圖
a)符號(hào)函數(shù)的頻譜
+1t>0
X0=sgn⑺=<
-1t<0
仁0處可不予定義,或規(guī)定sgn(0)=0o
該信號(hào)不滿意肯定可積條件,不能直接求解,但傅里葉變
換存在。
可以借助于雙邊指數(shù)衰減信號(hào)與符號(hào)函數(shù)相乘,這樣便滿
意傅里葉變換的條件。先求此乘積信號(hào)%i(t)的頻譜,然后取
極限得出符號(hào)函數(shù)無(wú)⑺的頻譜。
e-a,t>0
Xi?)=e-"sgn(f)=<
—e"t<0
x")=sgn。)=lim玉⑺
'?—>0
X(/)=£不"Q—而篝分
^(/)=F[sgn(z)]=limX1(/)=-j-y
b)階躍函數(shù)頻譜
1r>0
0t<0
在跳變點(diǎn)仁0處函數(shù)值未定義,或規(guī)定〃(0)=1/2。
階躍信號(hào)不滿意肯定可積條件,但卻存在傅里葉變換。由
于不滿意肯定可積條件,不能直接求其傅里葉變換,可采納
如下方法求解。
解法1:采用符號(hào)函數(shù)
?(,r)、=-1+-s1gn(,r)、
U(/)=F[?(/)]=F-+-F[sgn(z)]=-^(/)+--J—=-8(f)-J—
L2」22217Tjj27TJ
結(jié)果表明,單位階躍信號(hào)MQ)的頻譜在戶0處存在一個(gè)沖
激重量,這是由于〃⑺含有直流重量,在預(yù)料之中。同時(shí),
由于M⑺不是純直流信號(hào),在仁0處有跳變,因此在頻譜中
解法2:采用沖激函數(shù)
(?/flt>OB寸
[0/<0H寸
依據(jù)傅里葉變換的積分特性
U(f)=F[f^(r)drl=—A(/)+1A(0W)=13⑺-金
JJ2TTJ22[_KJ
1-6求指數(shù)衰減信號(hào)x(f)=4sing/的頻譜
指數(shù)衰減信號(hào)
解答:
sin(6V)=:(e"R—/麗)
所以刈口5省_e-W
單邊指數(shù)衰減信號(hào)西⑺=e-a\a>0j>0)的頻譜密度函數(shù)為
Jma,jm,
XI(/)=「x(t\e-'dt=ie-e-dt=」一=1一叱
J-0°J。a+jo)a+co
依據(jù)頻移特性和疊加性得:
(0/)a—/(?+4)
X(啰)=萬(wàn)[X|(<y-%)_X](<y+例))]=:。一,一
a~+(G—4)-。~+(69+4)-
1-7設(shè)有一時(shí)間函數(shù)用)及其頻譜如圖1-27所示?,F(xiàn)乘以余
弦型振蕩C0S(W(/3O在這個(gè)關(guān)系中,函數(shù)五。叫做調(diào)制信
號(hào),余弦振蕩cosgr叫做載波。試求調(diào)幅信號(hào)/⑺cos卬的傅里
葉變換,示意畫(huà)出調(diào)幅信號(hào)及其頻譜。又問(wèn):若時(shí)將
會(huì)消失什么狀況?
圖1-27題1-7圖
解:X(t)=f(t)cos(co0t)
COS(例/)=;卜""'+)
所以x(f)=;Kt)e網(wǎng)+1f⑴e*
依據(jù)頻移特性和疊加性得:
X(7)=g尸(0-礫)+gF(0+g)
可見(jiàn)調(diào)幅信號(hào)的頻譜等于將調(diào)制信號(hào)的頻譜一分為二,各
向左右移動(dòng)載頻①0,同時(shí)譜線高度減小一半。
矩形調(diào)幅信號(hào)頻譜
若①o<①,"將發(fā)生混疊。
4-12若將高、低通網(wǎng)絡(luò)直接串聯(lián)(見(jiàn)圖4-46),問(wèn)是否能組
成帶通濾波器?請(qǐng)寫(xiě)出網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù),并分析其幅、相頻
率特性。
Ric,zzEU“⑴
o___-L—~丁___o
圖4-46題4-12圖
解:“(S)
2
T}T2S+(r,+r2+r3)5+1
T\-R\C\,T2=R2c2,T3=R1C2
九①
(
H(o)2
-r,r2?y+y(r1+r2+r3)cy+l
“、T\(O
A(G)=/2
22
^(l-r,r26y)-+[(r,+r2+r3)<y]
,、l-T,r,C92
(p{co)=arctan----------
(4+和+匯3)口
A(0)=0,以0)=兀/2;A(oo)=0,a00)=-兀/2,可以組成帶通濾
波器,如下圖所示。
8(
)P
u
p
m
s
w
&
(D
)P
U
S
B
q
d
解法1:按方波分段積分直接計(jì)算。
R"=yJ:+r)dt=yJ:x(t-r)y(t)dt
=—sin(GC)
7T
解法2:將方波y⑺綻開(kāi)成三角級(jí)數(shù),其基波與%⑺同頻相關(guān),
而三次以上諧波與不同頻不相關(guān),不必計(jì)算,所以只需
計(jì)算y⑺的基波與的相互關(guān)函數(shù)即可。
/、4r1,1u)
y(,)=——coscot——cos3cot+-cos5cot-.......
TC\35)
1cT1cT
&、??)=-L+切出=-Jsin(m)COS(m+CDT)dt
/WU/WU
=--g卜山(0+M+COT)+sin(Gf-CDt-a)T)\dt
所以
=一一sin(20f+0匯)力一J。sin(Gt)力
=---[0-Tsin(a)T)]=—sin(67r)
7rT71
解法3:直接按RM力定義式計(jì)算(參看下圖)。
勺(7)=:,加方”+工)小
]I-T衛(wèi)一丁T
=—『
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