算法設(shè)計(jì)和分析第6章

第6章分支限界法1學(xué)習(xí)要點(diǎn)理解分支限界法的剪枝搜索策略。掌握分支限界法的算法框架（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法通過(guò)應(yīng)用范例學(xué)習(xí)分支限界法的設(shè)計(jì)策略。（1）單源最短路徑問(wèn)題（2）裝載問(wèn)題；（3）布線問(wèn)題（4）0-1背包問(wèn)題；（5）最大團(tuán)問(wèn)題；（6）旅行售貨員問(wèn)題（7）電路板排列問(wèn)題（8）批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題26.1 分支限界法的基本思想分支限界法與回溯法（1）求解目標(biāo)：回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹(shù)中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出使某一目標(biāo)函數(shù)值極大或極小的解,在某種意義下的最優(yōu)解。

（2）搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)。

36.1 分支限界法的基本思想此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。

在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。46.1 分支限界法的基本思想常見(jiàn)的兩種分支限界法（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法將活節(jié)點(diǎn)表組織成一個(gè)隊(duì)列，按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。

（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法將活節(jié)點(diǎn)表組織成一個(gè)優(yōu)先隊(duì)列，按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)來(lái)選擇當(dāng)前的擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。5優(yōu)先隊(duì)列一般分為兩種：最大優(yōu)先隊(duì)列和最小優(yōu)先隊(duì)列，節(jié)點(diǎn)優(yōu)先級(jí)常用一個(gè)與該結(jié)點(diǎn)相關(guān)的數(shù)值p來(lái)表示。在算法實(shí)現(xiàn)時(shí)通常用最大堆來(lái)實(shí)現(xiàn)最大優(yōu)先隊(duì)列，用最大堆的deletemax運(yùn)算抽取堆中下一個(gè)結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)，體現(xiàn)最大費(fèi)用優(yōu)先的原則。相應(yīng)地，用最小堆來(lái)實(shí)現(xiàn)最小優(yōu)先隊(duì)列，用最小堆的deletemin運(yùn)算抽取堆中下一個(gè)結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)，體現(xiàn)最小費(fèi)用優(yōu)先的原則。例1：考慮n=3時(shí)0-1背包問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例：w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30.其解空間樹(shù)是圖5-1中的子集樹(shù)。下面考慮用隊(duì)列法和優(yōu)先隊(duì)列法來(lái)求解。6類似于回溯法，我們可以用剪枝函數(shù)來(lái)加速搜索。請(qǐng)考察下例。例2：4城市旅行售貨員問(wèn)題。解此問(wèn)題的隊(duì)列式分支界限法以排列樹(shù)中節(jié)點(diǎn)B作為初始擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。同樣可用隊(duì)列式和優(yōu)先隊(duì)列式（最小堆）來(lái)解決。4123430610205476.2 單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述下面以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明單源最短路徑問(wèn)題：在下面所給的有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。問(wèn)題：求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。

86.2 單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法求解有向圖G的單源最短路徑問(wèn)題時(shí)產(chǎn)生的解空間樹(shù)。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。96.2 單源最短路徑問(wèn)題2.算法思想考慮用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用極小堆來(lái)存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開(kāi)始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過(guò)程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。106.2 單源最短路徑問(wèn)題3.剪枝策略在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)。在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹(shù)中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)剪去。116.2 單源最短路徑問(wèn)題Template<classType>ClassGraph{friendvoidmain(void);public:voidShortestPaths(int);private:

intn,//圖G的頂點(diǎn)數(shù)*prev;//前驅(qū)頂點(diǎn)數(shù)組

Type**c,//圖G的鄰接矩陣*dist;//最短距離數(shù)組}Template<classType>ClassMinHeapNode{friendGraph<Type>;public:operatorint()const{returnlength;}private:

inti;//頂點(diǎn)編號(hào)

Typelength;//當(dāng)前路長(zhǎng)}12Template<classType>VoidGraph<Type>::ShortestPaths(intv){//定義最小堆的容量為1000

Minheap<MinHeapNode<Type>>H(1000);//定義源為初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

MinHeapNode<Type>E;E.i=v;E.length=0dist[v]=0;

while(true){for(intj=1;j<=n;j++)if((c[E.i][j]<inf)&&(E.length+c[E.i][j]<dist[j])){//頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束

dist[j]=E.length+c[E.i][j];

prev[j]=E.i;//加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列

MinHeapNode<Type>N;N.i=j;N.length=dist[j];H.Insert(N);}try{H.DeleteMin(E);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)}

catch(OutOfBounds){break;}//優(yōu)先隊(duì)列空}頂點(diǎn)I和j間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從原點(diǎn)到j(luò)的路徑長(zhǎng)136.3裝載問(wèn)題1.問(wèn)題描述有一批共個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問(wèn)題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。

容易證明：如果一個(gè)給定裝載問(wèn)題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。

(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。

142.隊(duì)列式分支限界法在具體搜索解空間樹(shù)時(shí)，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄?；罱Y(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都用一個(gè)-1作為尾部標(biāo)記，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開(kāi)始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。15

while(true){//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

if(Ew+w[i]<=c)//x[i]=1

EnQueue(Q,Ew+w[i],bestw,i,n);//右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的

EnQueue(Q,Ew,bestw,i,n);//x[i]=0Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

if(Ew==-1){//同層結(jié)點(diǎn)尾部

if(Q.IsEmpty())returnbestw;Q.Add(-1);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

i++;}//進(jìn)入下一層}}Template<classType>VoidEnQueue(Queue<Type>&Q,Typewt,Type&bestw,inti,intn){//將活結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列Q中

if(i==n){//可行葉結(jié)點(diǎn)

if(wt>bestw)bestw=wt;}elseQ.Add(wt);//非葉結(jié)點(diǎn)}Template<classType>TypeMaxLoading(Typew[],Typec,intn){//隊(duì)列式分支限界法，返回最優(yōu)載重量

Queue<Type>Q;//活節(jié)點(diǎn)隊(duì)列

Q.Add(-1);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

inti=1;//當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所處的層

TypeEw=0，//擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量

bestw=0;//當(dāng)前最優(yōu)載重量163.算法的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)表示將此集裝箱裝上船，右子樹(shù)表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+r

bestw時(shí)，可將其右子樹(shù)剪去，因?yàn)榇藭r(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。另外，為了確保右子樹(shù)成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹(shù)的時(shí)候更新bestw的值。17Template<classType>TypeMaxLoading(Typew[],Typec,intn){//隊(duì)列式分支限界法，返回最優(yōu)載重量

Queue<Type>Q;//活節(jié)點(diǎn)隊(duì)列

Q.Add(-1);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

inti=1;//當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所處的層

TypeEw=0，//擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量

bestw=0,//當(dāng)前最優(yōu)載重量

r=0;//剩余集裝箱重量

for(intj=2;j<=n;j++)r+=w[i];While(true){//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

Typewt=Ew+w[i];//左兒子結(jié)點(diǎn)的重量

if(wt<=c){//可行結(jié)點(diǎn)

if(wt>bestw)bestw=wt;//加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列

if(i<n)Q.Add(wt);}//檢查右兒子結(jié)點(diǎn)

if(Ew+r>bestw&&i<n)Q.Add(Ew);//可能含最優(yōu)解

Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

if(Ew==-1){//同層結(jié)點(diǎn)尾部

if(Q.IsEmpty())returnbestw;Q.Add(-1);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

i++;r-=w[i];}

}}184.構(gòu)造最優(yōu)解為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應(yīng)的最優(yōu)解，算法必須存儲(chǔ)相應(yīng)子集樹(shù)中從活結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑。為此目的，可在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處設(shè)置指向其父結(jié)點(diǎn)的指針，并設(shè)置左、右兒子標(biāo)志。

Template<classType>classQnode{friendvoidEnQueue(Queue<Qnode<type>*>&,type,int,int,Type,Qnode<Type>*,

Qnode<Type>*&,int*,bool);friendTypeMaxloading(Type*,Type,int,int*);private:

QNode*parent;//指向父結(jié)點(diǎn)的指針

boolLChild;//左兒子標(biāo)志

Typeweight;//結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量}19TypeMaxLoading(Typew[],Typec,intn,intbestx){//隊(duì)列式分支限界法，返回最優(yōu)載重量

Queue<Qnode<Type>>Q;//活節(jié)點(diǎn)隊(duì)列

Q.Add(0);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

inti=1;//當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所處的層

TypeEw=0，//擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量

bestw=0;//當(dāng)前最優(yōu)載重量

r=0;for(intj=2;j<=n;j++)r+=w[i];

Qnode<Type>*E=0,bestE;//當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

while(true){//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

Typewt=Ew+w[i]；

if(wt<=c)//可行結(jié)點(diǎn)

EnQueue(Q,wt,i,n,bestw,E,bestE,bestx,true);if(Ew+r>bestw)//右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的

EnQueue(Q,Ew,i,n,bestw,E,bestE,bestx,false);Q.Delete(E);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

if(!E){//同層結(jié)點(diǎn)尾部

if(Q.IsEmpty())break;Q.Add(0);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

Q.Delete(E);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

i++;r-=w[i];}

Ew=E->weight;}

//構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解

for(intj=n-1;j>0;j--){

bestx[j]=bestE->LChild;

bestE=bestE->parent;}}Template<classType>voidEnQueue(Queue<Qnode<type>*>&Q,typewt,inti,intn,Typebestw,

Qnode<Type>*E,

Qnode<Type>*&bestE,intbestx[],

boolch);{//將活結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列Q中

if(i==n){//可行葉結(jié)點(diǎn)

if(wt>bestw){//當(dāng)前最優(yōu)載重量bestw=wt;bestE=E;

bestx[n]=ch;}return;}//非葉結(jié)點(diǎn)

Qnode<Type>*b;b=newQnode<Type>;b->weight=wt;b->parent=E;b->Lchild=ch;Q.Add(b);}206.3裝載問(wèn)題5.優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解裝載問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹(shù)中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過(guò)它的優(yōu)先級(jí)。子集樹(shù)中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。

21Template<classtype>ClassHeapNode{friendvoidAddLiveNode(MaxHeap<HeapNode<type>>&,bbnode*,type,bool,int);friendintMaxLoading(int*,int,int,int*);public:operatortype()const{returnuweight;}private:

bbnode*ptr;//指向活節(jié)點(diǎn)在子集樹(shù)中相應(yīng)結(jié)點(diǎn)的指針

typeuweight;//活節(jié)點(diǎn)優(yōu)先級(jí)

intlevel;//活節(jié)點(diǎn)在子集樹(shù)中所處的層序號(hào)}Classbbnode{friendvoidAddLiveNode(MaxHeap<HeapNode<type>>&,bbnode*,type,bool,int);friendintMaxLoading(int*,int,int,int*);private:

bbnode*parent;//指向父結(jié)點(diǎn)的指針

boolLchild;//左兒子結(jié)點(diǎn)標(biāo)志}voidAddLiveNode(MaxHeap<HeapNode<type>>&H,bbnode*E,typewt,boolch,intlev){//將活節(jié)點(diǎn)加入到表示活節(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列的最大堆H中

bbnode*b=newbbnode;b->parent=E;b->Lchild=ch;

HeapNode<type>N;N.uweight=wt;N.level=lev;N.ptr=b;H.Insert(N);}22TypeMaxLoading(typew[],typec,intn,intbestx[]){

MaxHeap<Heapnode<type>>H(1000);type*r=newtype[n+1];r[n]=0;for(intj=n-1;j>0;j--)r[j]=r[j+1]+w[j+1];//初始化

inti=1;//當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所處的層

bbnode*E=0;//當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)

typeEw=0;//擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量//搜索自己空間樹(shù)

while(i!=n+1){//非葉結(jié)點(diǎn)

if(Ew+w[i]<=c){//左兒子結(jié)點(diǎn)為可行結(jié)點(diǎn)

AddLiveNode(H,E,Ew+w[i]+r[i],true,i+1);//右兒子結(jié)點(diǎn)

AddLiveNode(H,E,Ew+r[i],false,i+1);

//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

HeapNode<type>N;H.DeleteMax(N);//非空

i=N.level;E=N.ptr;

Ew=N.uweight–r[i-1];}//構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解

for(j=n;j>0;j--){best[j]=E->Lchild;//booltoint

E=E->parent;}returnEw;}236.4布線問(wèn)題印刷電路板將布線區(qū)域化分成n*m個(gè)方格陣列。精確的電路布線問(wèn)題要求確定連接方格a的中點(diǎn)到方格b的中點(diǎn)的最短布線方案。為了避免相交，已布了線的方格做了封鎖標(biāo)記。ab(b)延直線或直角布線(a)布線區(qū)域32211a21232344345b45241.算法思想解此問(wèn)題的隊(duì)列式分支限界法從起始位置a開(kāi)始將它作為第一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。與該擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰并且可達(dá)的方格成為可行結(jié)點(diǎn)被加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，并且將這些方格標(biāo)記為1，即從起始方格a到這些方格的距離為1。接著，算法從活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并將與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰且未標(biāo)記過(guò)的方格標(biāo)記為2，并存入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列。這個(gè)過(guò)程一直繼續(xù)到算法搜索到目標(biāo)方格b或活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空時(shí)為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。

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boolFindPath(Positionstart,Positionfinish,int&

PathLen,Position*&path){//找到最短布線路徑則返回true，否則返回falseif((start.row==finish.row)&&(start.col==finish.col)){

PathLen=0;returntrue;//start=finish

}//設(shè)置方格陣列“圍墻”

for(inti=0;i<=m+1;i++)grid[0][i]=grid[n+1][i]=1;//頂部和底部

for(inti=0;i<=n+1;i++)grid[i][0]=grid[i][m+1]=1;//左翼和右翼//初始化相對(duì)位移

Positionoffset[4];offset[0].row=0;offset[0].col=1;//右

offset[1].row=1;offset[1].col=0;//下

offset[2].row=0;offset[2].col=-1;//左

offset[3].row=-1;offset[3].col=0;//上

intNumOfNbrs=4;//相鄰方格數(shù)

Positionhere,nbr;

here.row=start.row;here.col=start.col;

grid[start.row][start.col]=2;

LinkedQueue<Position>Q;do{//標(biāo)記可達(dá)相鄰方格

for(inti=0;i<NumOfNbrs;i++){

nbr.row=here.row+offset[i].row;

nbr.col=here.col+offset[i].col;if(grid[nbr.row][nbr.col]==0){//該方格未標(biāo)記

grid[nbr.row][nbr.col]=grid[here.row][here.col]+1;if((nbr.row==finish.row)&&(nbr.col==finish.col))break;//完成布線

Q.Add(nbr);}}if((nbr.row==finish.row)&&(nbr.col==finish.col)break;//完成布線

if(Q.IsEmpty())returnfalse;//無(wú)解

Q.Delete(here);}while(true);//構(gòu)造最短布線路徑

PathLen=grid[finish.row][finish.col]–2;path=newPosition[PathLen];//從目標(biāo)位置finish開(kāi)始回溯

here=finish;for(intj=PathLen–1;j>=0;j--){path[j]=here;for(i=0;i<NumOfNbrs;i++){

nbr.row=here.row+offset[i].row;

nbr.col=here.col+offset[i].col;if(grid[nbr.row][nbr.col])==j+2)break;}here=nbr;//向前移動(dòng)}returntrue;}266.50-1背包問(wèn)題算法的思想首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。在下面描述的優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問(wèn)題的最優(yōu)值。27282930313233346.6最大團(tuán)問(wèn)題給定無(wú)向圖G=(V，E)。如果U

V，且對(duì)任意u，v

U有(u，v)

E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。下圖G中，子集{1，2}是G的大小為2的完全子圖。這個(gè)完全子圖不是團(tuán)，因?yàn)樗籊的更大的完全子圖{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大團(tuán)。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大團(tuán)。

1.問(wèn)題描述356.6最大團(tuán)問(wèn)題2.上界函數(shù)用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹(shù)中所處的層次；用cliqueSize+n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。

在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，upperSize實(shí)際上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)。算法總是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個(gè)擴(kuò)展元素。

366.6最大團(tuán)問(wèn)題3.算法思想子集樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。

算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其它頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，將它加入到子集樹(shù)中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。接著繼續(xù)考察當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)upperSize>bestn時(shí)，右子樹(shù)中可能含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集樹(shù)中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。376.6最大團(tuán)問(wèn)題3.算法思想算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹(shù)中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。對(duì)于子集樹(shù)中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSize＝cliqueSize。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中剩余結(jié)點(diǎn)的upperSize值均不超過(guò)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個(gè)最優(yōu)解。

383940416.7旅行售貨員問(wèn)題1.問(wèn)題描述某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。旅行售貨員問(wèn)題的解空間可以組織成一棵樹(shù)，從樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問(wèn)題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。

426.7旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述算法開(kāi)始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。

算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹(shù)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處理：436.7旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述1、首先考慮s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹(shù)中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。2、當(dāng)s<n-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)x[s+1:n-1]中選取的頂點(diǎn)x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcost<bestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。

446.7旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹(shù)的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s=n-1時(shí)，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的lcost值不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。算法結(jié)束時(shí)返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。

454647484950516.8電路板排列問(wèn)題算法描述算法開(kāi)始時(shí)，將排列樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)置為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在do-while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中取出具有最小cd值的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。首先考慮s=n-1的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹(shù)中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。x表示相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的電路板排列。計(jì)算出與x相應(yīng)的密度并在必要時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)值和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解。當(dāng)s<n-1時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)node，計(jì)算出其相應(yīng)的密度node.cd。當(dāng)node.cd<bestd時(shí)，將該兒子結(jié)點(diǎn)N插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。526.8電路板排列問(wèn)題算法描述do{//結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展

if(E.s==n-1){//僅一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)

intld=0;//最后一塊電路板的密度

for(intj=1;j<=m;j++)ld+=B[E.x[n]][j];if(ld<bestd){//密度更小的電路板排列

delete[]bestx;

bestx=E.x;

bestd=max(ld,E.cd);}S=n-1的情況，計(jì)算出此時(shí)的密度和bestd進(jìn)行比較。536.8電路板排列問(wèn)題算法描述else{//產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)

for(inti=E.s+1;i<=n;i++){

BoardNodeN;N.now=newint[m+1];for(intj=1;j<=m;j++)//新插入的電路板

N.now[j]=E.now[j]+B[E.x[i]][j];546.8電路板排列問(wèn)題intld=0;//新插入電路板的密度

for(intj=1;j<=m;j++)if(N.now[j]>0&&total[j]!=N.now[j])ld++;N.cd=max(ld,E.cd);if(N.cd<bestd){//可能產(chǎn)生更好的葉結(jié)點(diǎn)

N.x=newint[n+1];N.s=E.s+1;for(intj=1;j<=n;j++)N.x[j]=E.x[j];N.x[N.s