太理水利工程計算及設(shè)計第六章 數(shù)值積分

第六章數(shù)值積分第一節(jié)矩陣公式與梯形公式第二節(jié)辛甫生求積公式本章內(nèi)容積分計算存在的問題函數(shù)關(guān)系是用列表數(shù)據(jù)或曲線給出；函數(shù)的表達(dá)式已知，原函數(shù)的確定比較困難；原函數(shù)難以用初等函數(shù)表示出來。在計算機(jī)上，通常利用函數(shù)的若干個離散值，以代數(shù)運算近似計算積分值，這類近似算法稱為數(shù)值積分法。數(shù)值積分的基本思想

試圖用一個簡單又易于積分的函數(shù)逼近f(x)，以計算積分I(f)。（2）在小區(qū)間[xi,xi+1]上使用求積公式計算Ii(f)計算過程

（1）等分求積區(qū)間將[a,b]分為n等分[xi,xi+1](i=1,2,…,n），其中a=x1<x2<x3<…<xn+1=b。分割步長h=（b-a)/n，因此，xi=x1+(i-1)h，i=2,3,…,n+1，對應(yīng)的函數(shù)值f(a)=f(x1),f(x2),…,f(xn+1)=f(b)。（3）取和值作為整個區(qū)間上的積分近似值。

求積公式和復(fù)化求積公式通常把為每個Ii(f)建立的計算公式簡稱為求積公式，而把對I(f)建立的求積公式稱為復(fù)化求積公式。第一節(jié)矩形公式與梯形公式一、矩形公式

x1

w1

x2

w2

x3

w3

x4

w4

x5

x

y

f(x)用分段階梯函數(shù)逼近被積函數(shù)f(x)。復(fù)化矩形公式這里h=(b-a)/n，n是區(qū)間[a,b]的等分?jǐn)?shù)。矩形求積公式（7-2）二、梯形公式

y

x1

x2

x3

x4

x

y1

y2

y3

y4

f(x)用分段線性函數(shù)逼近被積函數(shù)f(x)。復(fù)化梯形公式這里h=(b-a)/n，n是區(qū)間[a,b]的等分?jǐn)?shù)。梯形求積公式（7-4）三、誤差分析矩形求積公式假定f(x)在[xi,xi+1]上有五階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，將f(x)在區(qū)間中點wi上按泰勒級數(shù)展開，則有在區(qū)間[xi，xi+1]上積分這個級數(shù)，但由于（7-5）所以上式表明，當(dāng)h很小時，矩形求積公式在區(qū)間[xi,xi+1]上引起的誤差為再加上一些量值更小的項。（7-6）梯形求積公式以x=xi和x=xi+1代入泰勒級數(shù)式（7-5），則得到因此（7-9）將式（7-9）代入式（7-6），得到（7-10）上式表明，當(dāng)h很小時，梯形求積公式在區(qū)間[xi,xi+1]上引起的誤差為再加上一些量值更小的項。（7-6）（7-9）復(fù)化公式的誤差總的誤差是各個區(qū)間段上誤差的和。令則且矩形梯形（7-13）復(fù)化矩形公式R(f)的截斷誤差為根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，必有ξ∈[a,b]，使考慮到nh=b-a，故有同理，復(fù)化梯形公式T(f)的截斷誤差為誤差的階是O(h2)端點校正的梯形公式將誤差項-2E包括在求積公式T(f)中，而舍去更高階的誤差項（即-4F等），可得到一種顯著改善了的梯形公式，即然而故有（7-17）稱式（7-17）為具有端點校正的梯形公式。誤差的階是O(h4)例1試用梯形公式求的值，然后計入端點校正。計算時取n=3。（7-4）解:根據(jù)題意應(yīng)用公式（7-4）計算其中故有實際上端點校正為端點校正后的積分值為誤差僅為0.003431，積分結(jié)果得到明顯改善。對于僅在相等間隔的離散點上有已知值的函數(shù)，矩形公式及梯形公式也是適用的。對于自變量間隔不等距的離散數(shù)據(jù)，應(yīng)先用插值或擬合的方法得到這些數(shù)據(jù)的近似表達(dá)式，然后再利用這個表達(dá)式求其數(shù)值積分函數(shù)關(guān)系以列表數(shù)據(jù)形式給出例2試由表7-1中的試驗數(shù)據(jù)計算積分的近似值。x0.992.103.224.405.707.128.018.379.329.98f(x)4.905.704.207.048.317.825.977.016.684.79

解將數(shù)據(jù)點畫在圖上，根據(jù)數(shù)據(jù)點的變化選用二次多項式擬合曲線。多項式模型為用第六章第三節(jié)討論的方法，得到故第二節(jié)辛甫生求積公式一、原理對矩形公式和梯形公式作適當(dāng)?shù)木€性組合，消去較大的誤差項E，得到具有更高階誤差的求積公式。復(fù)化矩形公式復(fù)化梯形公式誤差其中（7-20）（7-21）這就是辛甫生公式。記則把wi=(xi+xi+1)/2也看成是已知的分割點，相當(dāng)于把求積區(qū)間[a,b]分成2n等分，其步長h=(b-a)/2n。辛甫生公式可表示為（7-22）還可用通過三點的分段拋物線插值函數(shù)P(x)代替f(x)，直接得到辛甫生公式（7-22），所以辛甫生公式又稱為拋物線求積公式。二、誤差誤差的階為O(h4)辛甫生公式對不超過三次的曲線f(x)的積分，在不考慮舍入誤差的情況下，是完全精確的。為減少計算工作量，優(yōu)化程序設(shè)計，式（7-22）可改寫為