數(shù)字邏輯設(shè)計(jì)第四章

第4章組合邏輯設(shè)計(jì)原理邏輯代數(shù)基礎(chǔ)組合電路分析組合電路綜合數(shù)字邏輯設(shè)計(jì)及應(yīng)用1基本概念邏輯電路分為兩大類：組合邏輯電路（combinationallogiccircuit）時(shí)序邏輯電路（sequentiallogiccircuit）任何時(shí)刻的輸出僅取決與當(dāng)時(shí)的輸入任一時(shí)刻的輸出不僅取決與當(dāng)時(shí)的輸入，還取決于過去的輸入序列電路特點(diǎn)：無反饋回路、無記憶元件24.1開關(guān)代數(shù)(兩值代數(shù)系統(tǒng))1、公理若X

1,則X=0若X

0,則X=1

0’=11’=00·0=01+1=11·1=10+0=00·1=1·0=01+0=0+1=1F=0+1·(0+1·0’)’=0+1·1’=032、單變量開關(guān)代數(shù)定理自等律：X+0=XX·1=X0-1律：X+1=1X·0=0還原律：(X’)’=X同一律：X+X=XX·X=X互補(bǔ)律：X+X’=1X·X’=0變量和常量的關(guān)系變量和其自身的關(guān)系43、二變量或三變量開關(guān)代數(shù)定理與普通代數(shù)相似的關(guān)系交換律

A·B=B·AA+B=B+A結(jié)合律

A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·(B+C)=A·B+A·CA+B·C=(A+B)·(A+C)5幾點(diǎn)注意不存在變量的指數(shù)A·A·A

A3允許提取公因子AB+AC=A(B+C)沒有定義除法

ifAB=BC

A=C??沒有定義減法

ifA+B=A+CB=C??A=1,B=0,C=0AB=BC=0,A

CA=1,B=0,C=1錯(cuò)！錯(cuò)！6一些特殊的關(guān)系吸收律X+X·Y=XX·(X+Y)=X組合律X·Y+X·Y’=X(X+Y)·(X+Y’)=X添加律（一致性定理）X·Y+X’·Z+Y·Z=X·Y+X’·Z(X+Y)·(X’+Z)·(Y+Z)=(X+Y)·(X’+Z)7對(duì)上述的公式、定理要熟記，做到舉一反三(X+Y)+(X+Y)’=1A+A’=1X·Y+X·Y’=X(A’+B)·(A·(B’+C))+(A’+B)·(A·(B’+C))’=(A’+B)代入定理：在含有變量X的邏輯等式中，如果將式中所有出現(xiàn)X的地方都用另一個(gè)函數(shù)F來代替，則等式仍然成立。8證明：X·Y+X’·Z+Y·Z=X·Y+X’·ZY·Z=1·Y·Z

=(X+X’)·Y·ZX·Y+X’·Z+(X+X’)·Y·Z=X·Y+X’·Z+X·Y·Z+X’·Y·Z=X·Y·(1+Z)+X’·Z·(1+Y)=X·Y+X’·Z94、n變量定理廣義同一律X+X+…+X=XX·X·…·X=X香農(nóng)展開定理10證明：

A·D+A’·C+C·D+A·B’·C·D=A·D+A’·C=A·(1·D+1’·C+C·D+1·B’·C·D)+A’·(0·D+0’·C+C·D+0·B’·C·D)=A·(D+C·D+B’·C·D)+A’·(C+C·D)=A·D·(1+C+B’·C)+A’·C·(1+D)=A·D+A’·C114、n變量定理摩根定理——反演定理(A·B)’=A’+B’(A+B)’=A’·B’12反演規(guī)則：與或，01，變量取反遵循原來的運(yùn)算優(yōu)先次序不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變例1：寫出下面函數(shù)的反函數(shù)F1=A·(B+C)+C·DF2=(A·B)’+C·D·E’合理地運(yùn)用反演定理能夠?qū)⒁恍﹩栴}簡化例2：證明(A·B+A’·C)’=A·B’+A’·C’13合理地運(yùn)用反演定理能夠?qū)⒁恍﹩栴}簡化證明：AB+AC=AB+ACAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)AA+AC+AB+BCAC+ABAC+AB+BC145、對(duì)偶性對(duì)偶規(guī)則與或；01變換時(shí)不能破壞原來的運(yùn)算順序（優(yōu)先級(jí)）對(duì)偶原理若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等例：寫出下面函數(shù)的對(duì)偶函數(shù)F1=A+B·(C+D)F2=(A’·(B+C’)+(C+D)’)’X+X·Y=XX·(X+Y)=XFD(X1,X2,…,Xn

,+,·,’)=F(X1,X2,…,Xn

,·,+,’)155、對(duì)偶性證明公式：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)AB+AC16對(duì)偶和反演對(duì)偶：FD(X1,X2,…,Xn

,+,·,’)=F(X1,X2,…,Xn

,·,+,’)反演：[F(X1,X2,…,Xn

,+,·)]’=F(X1’

,X2’,…,Xn’

,·,+)[F(X1,X2,…,Xn)]’=FD(X1’

,X2’,…,Xn’

)正邏輯約定和負(fù)邏輯約定互為對(duì)偶關(guān)系17正邏輯約定和負(fù)邏輯約定互為對(duì)偶關(guān)系G1ABFABFLLLLHLHLLHHH電氣功能表ABF000010100111正邏輯約定ABF111101011000負(fù)邏輯約定正邏輯：F=A·B負(fù)邏輯：F=A+B18舉重裁判電路Y=F(A,B,C)=A·(B+C)&≥1ABCY邏輯函數(shù)邏輯圖主裁判A,副裁判B,C1表通過,0表不通過指示燈Y:1表成功,0表不成功00000111000001010011100101110111ABCY真值表邏輯函數(shù)及其表示方法19邏輯表達(dá)式真值表Y=A+B’·C+A’·B·C’0000010100111001011101

11ABCB’·CA’·B·C’Y110000000111111000000100“積之和”表達(dá)式“與-或”式20邏輯表達(dá)式真值表Y=(B’+C)·(A’+B+C’)000001010011100101110111ABCB’+CA’+B+C’Y001111110111111111110000“和之積”表達(dá)式“或-與”式21真值表

邏輯表達(dá)式A’·B·C00000010010001111000101111011110ABCF真值表A·B’·CA·B·C’F=A’·B·C+A·B’·C+A·B·C’0

反變量1

原變量乘積項(xiàng)：“積之和”表達(dá)式“與-或”式22真值表

邏輯表達(dá)式11101111G00000010010001111000101011001110ABCF真值表(A’·B·C)’=A+B’+C’F=A’·B·CG=(A+B’+C’)0

原變量1

反變量23真值表

邏輯表達(dá)式00010011010001111000101111011111ABCF真值表A+B’+CA’+B+CF=(A+B’+C)·(A’+B+C)0

原變量1

反變量求和項(xiàng)“和之積”表達(dá)式“或-與”式246、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示法最小項(xiàng)——n變量最小項(xiàng)是具有n個(gè)因子的標(biāo)準(zhǔn)乘積項(xiàng)n變量函數(shù)具有2n個(gè)最小項(xiàng)全體最小項(xiàng)之和為1任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0A’·B’·C’A’·B’·CA’·B·C’A’·B·CA·B’·C’A·B’·CA·B·C’A·B·C乘積項(xiàng)256、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示法最大項(xiàng)——n變量最大項(xiàng)是具有n個(gè)因子的標(biāo)準(zhǔn)求和項(xiàng)n變量函數(shù)具有2n個(gè)最大項(xiàng)全體最大項(xiàng)之積為0任意兩個(gè)最大項(xiàng)的和為1A+B+CA+B+C’A+B’+CA+B’+C’A’+B+CA’+B+C’A’+B’+CA’+B’+C’求和項(xiàng)26A’·B’·C’A’·B’·CA’·B·C’A’·B·CA·B’·C’A·B’·CA·B·C’A·B·C最小項(xiàng)m0m1m2m3m4m5m6m700000011010201131004101511061117ABC編號(hào)A+B+CA+B+C’A+B’+CA+B’+C’A’+B+CA’+B+C’A’+B’+CA’+B’+C’M0M1M2M3M4M5M6M7最大項(xiàng)27最大項(xiàng)與最小項(xiàng)之間的關(guān)系①、

Mi=mi’；mi=Mi’；③、一個(gè)n變量函數(shù)，既可用最小項(xiàng)之和表示，也可用最大項(xiàng)之積表示。兩者下標(biāo)互補(bǔ)。②、某邏輯函數(shù)F，若用P項(xiàng)最小項(xiàng)之和表示，則其反函數(shù)F’可用P項(xiàng)最大項(xiàng)之積表示，兩者標(biāo)號(hào)完全一致。2811101001G00000010010001111000101111011110ABCF(A’·B·C)’=A+B’+C’(A·B’·C)’=A’+B+C’(A·B·C’)’=A’+B’+C標(biāo)號(hào)互補(bǔ)2900000010010101101001101011001111ABCF課堂練習(xí)：分別寫出下面邏輯函數(shù)的

最小項(xiàng)之和最大項(xiàng)之積的表示。306、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示法真值表乘積項(xiàng)、求和項(xiàng)“積之和”表達(dá)式“和之積”表達(dá)式n變量最小項(xiàng)n變量最大項(xiàng)——最小項(xiàng)之和——最大項(xiàng)之積標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)積31用標(biāo)準(zhǔn)和的形式表示函數(shù)：F(A,B,C)=A·B+A’·C利用基本公式A+A’=1缺什么補(bǔ)什么F(A,B,C)=A·B+A’·C

=A·B·(C+C’)+A’·C·(B+B’)=A·B·C+A·B·C’+A’·B·C+A’·B’·C111110011001=

A,B,C(1,3,6,7)32G(A,B,C)=(A+B)·(A’+C)

=(A+B+C·C’)·(A’+C+B·B’)注意分配率=(A+B+C)·(A+B+C’)·(A’+B+C)·(A’+B’+C)000001100110=

A,B,C(0,1,4,6)33補(bǔ)充：同或、異或異或——當(dāng)兩個(gè)輸入相異時(shí)，結(jié)果為1。同或——當(dāng)兩個(gè)輸入相同時(shí)，結(jié)果為1。F=A

B=A’·B+A·B’F=A⊙B=A·B+A’·B’ABF000011101110異或ABF001010100111同或A

B=(A⊙B)’34基本公式——異或交換律：A

B=B

A結(jié)合律：A(BC)=(AB)C分配律：A·(BC)=(A·B)(A·C)因果互換關(guān)系

A

B=C

A

C=B

B

C=AA

B

C

D=0

0

A

B

C=D35基本公式——異或變量和常量的關(guān)系

AA=0AA’=1A0=AA1=A’多變量異或運(yùn)算——結(jié)果取決于變量為1的個(gè)數(shù)A0

A1…An=

1變量為1的個(gè)數(shù)是奇數(shù)0變量為1的個(gè)數(shù)是偶數(shù)36基本公式——同或交換律：A⊙B=B⊙A結(jié)合律：A⊙(B⊙C)=(A⊙B)⊙C不滿足分配律：A(B⊙C)≠AB⊙AC因果互換關(guān)系A(chǔ)⊙B=C

A⊙C=B

B⊙C=A37基本公式——同或變量和常量的關(guān)系A(chǔ)⊙A=1A⊙A’=0A⊙1=AA⊙0=A’多變量同或運(yùn)算——結(jié)果取決于變量為0的個(gè)數(shù)A0⊙A1⊙…⊙An=

1變量為0的個(gè)數(shù)是偶數(shù)0變量為0的個(gè)數(shù)是奇數(shù)38異或和同或的關(guān)系偶數(shù)個(gè)變量的同或和異或——互反

A

B=(A⊙B)’A

B

C

D=(A⊙B⊙C⊙D)’奇數(shù)個(gè)變量的同或和異或——相等

A

B

C=A⊙B⊙CA

B’=A⊙BA

B=A⊙B’394.2組合電路分析給出組合電路的邏輯圖，分析電路的功能——通過獲得邏輯函數(shù)的形式來分析ABFA’B’(A’·B’)’(A·B)’F=[(A’·B’)’·(A·B)’]’=A’·B’+A·B=A

B404.2組合電路分析分析步驟：由輸入到輸出逐級(jí)寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式對(duì)輸出邏輯函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡（列真值表或畫波形圖）判斷邏輯功能41化簡邏輯函數(shù)什么是最簡公式法化簡卡諾圖化簡項(xiàng)數(shù)最少每項(xiàng)中的變量數(shù)最少42公式法化簡并項(xiàng)法：利用A·B+A·B’=A·(B+B’)=A吸收法：利用A+A·B=A·(1+B)=A消項(xiàng)法：利用A·B+A’·C+B·C=A·B+A’·C消因子法：利用A+A’·B=A+B配項(xiàng)法：利用A+A=AA+A’=143公式法化簡——并項(xiàng)法=B’+C·D=A=B·(C’+C)利用A·B+A·B’=AF1=A·(B·C’·D)’+A·B·C’DF2=A·B’+A·C·D+A’·B’+A’·C·DF3=B·C’·D+B·C·D’+B·C·D+B·C’·D’=A·[(B·C’·D)’+B·C’·D]=B·(C’·D+C·D’+C·D+C’·D’)=B44[X’·Y’]’=X+Y公式法化簡——吸收法利用A+A·B=AF1=(A’·B+C)·A·B·D+A·D=A·D·[1+B·(…)]F2=A·B+A·B·C’+A·B·D+A·B·C·D’=A·B·(1+C’+D+C·D’)=A·B？？？？？F3=A+[A’·(B·C)’]’·[A’+(B’·C’+D’)’]+B·C[A’·(B·C)’]’=A+B·C=A+(A+B·C)·[…]+B·C=A+BC=A·D45公式法化簡——消項(xiàng)法利用：A·B+A’·C+B·C=A·B+A’·CY1=A·C+A·B’+B’·C’=A·C+B’·C’Y2=A·B’·C·D’+(A’+B)·E+C·D’·EA’+B=[(A’+B)’]’=(A·B’)’=(A·B’)·C·D’+(A·B’)’·E+C·D’·E=(A·B’)·C·D’+(A·B’)’·EY3=A·B’+B·C’+C·D’+D·A’+A·C’+A’·C=A·B’+B·C’+C·D’+D·A’46公式法化簡——消因子法利用A+A’·B=A+BY1=A·B’·C’·D+(A·B’·C’)’=D+(A·B’·C’)’Y2=A+A’·C·D+A’·B·C’=A+A’·(C·D+B·C’)=A+C·D+B·C’Y3=A·C+A’·D+C’·D=A·C+(A’+C’)·D=A·C+(A·C)’·D=A·C+D=A’+B+C+D47公式法化簡——配項(xiàng)法利用A+A=A;A+A’=1Y1=A’·B·C’+A’·B·C+A·B·C=A’·B·C’+A’·B·C+A’·B·C+A·B·C=A’·B+B·CY2=A·B’+A’·B+B·C’+B’·C=A·B’+A’·B·(C+C’)+B·C’+B’·C·(A+A’)=A·B’+A’·B·C+A’·B·C’+B·C’+A·B’·C+A’·B’·C=A·B’+A’·C+B·C’48卡諾圖表示邏輯函數(shù)YX0101021302641375——真值表的圖形表示ZXY0001111001YZWX0000011110011110041215139371526141081149卡諾圖表示邏輯函數(shù)00010010010001111000101111011110ABCFF=

(A,B,C)(0,3,5,6)10100101CAB0001111001例：填寫下面兩個(gè)函數(shù)的卡諾圖F1=

(A,B,C)

(1,3,5,7)

F2(A,B,C)=A·C’+B·C·D’+B50卡諾圖的特點(diǎn)邏輯相鄰性：相鄰兩方格只有一個(gè)因子互為反變量合并最小項(xiàng)兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰可消去一個(gè)因子四個(gè)最小項(xiàng)相鄰可消去兩個(gè)因子八個(gè)最小項(xiàng)相鄰可消去三個(gè)因子2n個(gè)最小項(xiàng)相鄰可消去n個(gè)因子51兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰可消去一個(gè)因子111111ZXY0001111001YZWX000001111001111011111111X·Y·Z’+X·Y·Z=X·YX’·Y’·Z+X·Y’·Z=Y’·Z52ABCD000111100001111011111111111111ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ABD+ABD=BD四個(gè)最小項(xiàng)相鄰可消去兩個(gè)因子ZXY00011110011

1

1

11

1

1

153ABCD00

01

11

10000111101111111111110000AD’八個(gè)最小項(xiàng)相鄰可消去三個(gè)因子F1=A·B·C+A·B·D+A·C’·D+C’·D’+A·B’·C+A’·C·D’54卡諾圖化簡化簡函數(shù)：F2=

(A,B,C,D)(0,2,3,5,7,8,10,11,13)ABCD0001111000011110A’·B·DB·C’·DB’·CB’·D’1111111111、填圖2、圈組3、讀圖，得到結(jié)果F2=A’·B·D+B·C’·D+B’·C+B’·D’55卡諾圖化簡步驟填寫卡諾圖可以先將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式圈組：找出可以合并的最小項(xiàng)組(圈)數(shù)最少、每組(圈)包含的方塊數(shù)最多方格可重復(fù)使用，但至少有一個(gè)未被其它組圈過讀圖：寫出化簡后的乘積項(xiàng)消掉既能為0也能為1的變量保留始終為0或1的變量乘積項(xiàng)：0

反變量1

原變量56化簡：F=

A,B,C,D(0,1,2,3,4,5,7,14,15)CDAB00

01

11

10000111101111111111、填圖2、圈組3、讀圖F(A,B,C,D)=A’·B’+A’·C’+A’·D+A·B·C57CDAB00

01

11

100001111011111111111CDAB00

01

11

100001111011111111111化簡結(jié)果不一定唯一（但代價(jià)相同）58CDAB00

01

11

1000011110111111CDAB00

01

11

1000011110111111注意：不要重疊至少有一個(gè)1未被圈過59CDAB00

01

11

10000111100000000簡化“和之積”表達(dá)式0

原變量1

反變量A’+BA’+CF=(A+B’+C’+D)·(A’+C)·(A’+B)60“無關(guān)”輸入組合有時(shí)組合電路的輸出和某些輸入組合無關(guān)F=

A,B,C,D(1,2,3,5,7)+d(10,11,12,13,14,15)CDAB00

01

11

1000011110dddddd11111F=A’·D+B’·CA’·DB’·Cd集（d-set）61多輸出函數(shù)的最小化F1=

A,B,C(0,1,3)F2=

A,B,C(3,6,7)CAB00011110011

1

1

CAB0001111001

1

1

1

F1=A’·B’+A’·CF2=A·B+B·C62CAB00011110011

1

1

CAB0001111001

1

1

1

CAB00011110011

1

1

CAB0001111001

1

1

1

F1=A’·B’+A’·CF2=A·B+B·CF1=A’·B’+

A’·B·CF2=A·B+

A’·B·C634.3組合電路的綜合根據(jù)給出的實(shí)際問題，求出實(shí)現(xiàn)這一邏輯功能的電路。進(jìn)行邏輯抽象，得到真值表或邏輯函數(shù)式選擇器件的類型邏輯化簡或變換成適當(dāng)?shù)男问诫娐诽幚?，得到電路圖64正常工作狀態(tài)故障狀態(tài)1、進(jìn)行邏輯抽象：輸入變量：紅R黃Y綠G三盞燈的狀態(tài)燈亮為1，不亮為0輸出變量：故障信號(hào)F

正常工作為0，發(fā)生故障為1例：設(shè)計(jì)一個(gè)監(jiān)視交通信號(hào)燈工作狀態(tài)的邏輯電路65正常工作狀態(tài)1、進(jìn)行邏輯抽象：輸入變量：紅R黃Y綠G三盞燈的狀態(tài)燈亮為1，不亮為0輸出變量：故障信號(hào)F

正常工作為0，發(fā)生故障為1例：設(shè)計(jì)一個(gè)監(jiān)視交通信號(hào)燈工作狀態(tài)的邏輯電路000001010011100101110111RYGF真值表1111166000001010011100101110111RYGF真值表111111、邏輯抽象2、用門電路設(shè)計(jì)寫出邏輯函數(shù)式并化簡F=R’·Y’·G’+R·Y+R·G+Y·GR’·Y’·G’R·YR·GY·GGRY00011110011

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1673、電路處理F=R’·Y’·G’+R·Y+R·G+Y·G68問題描述4.3組合電路的綜合邏輯抽象選定器件類型函數(shù)化簡電路處理將函數(shù)式變