高考復習數(shù)學課件

第四節(jié)典型統(tǒng)計案例

在實際問題中，獨立性檢驗的結(jié)論一定正確嗎？提示:不一定.它得到的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學關(guān)系，得到的結(jié)論也可能是錯誤的，但我們可利用統(tǒng)計分析的結(jié)果去預測實際問題的結(jié)果.1.相關(guān)系數(shù)是度量()(A)兩個變量之間直線關(guān)系的強度(B)散點圖是否顯示有意義的模型(C)兩個變量之間是否存在因果關(guān)系(D)兩個變量之間是否存在關(guān)系【解析】選A.由相關(guān)系數(shù)的定義知.2.如圖所示，已知電路中4個開關(guān)閉合的概率是,且是互相獨立的，燈亮的概率為()(A)(B)(C)(D)【解析】選C.燈不亮的概率為故燈亮的概率為3.由一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到回歸直線y=bx+a,那么下面說法錯誤的是()(A)直線y=bx+a必經(jīng)過點()(B)直線y=bx+a至少經(jīng)過點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一個點(C)直線y=bx+a的斜率(D)直線y=bx+a和各點(x1,y1)，(x2,y2),…,(xn,yn)的偏差是該坐標平面上所有直線與這些點的偏差中最小的【解析】選B.回歸直線y=bx+a經(jīng)過樣本點的中心(),可能不經(jīng)過(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的任何一點，這些點分布在這條直線附近.4.下面是一個2×2列聯(lián)表則表中a、b處的值分別為()(A)94、96(B)52、50(C)52、54(D)54、52【解析】選C.由2×2列聯(lián)表得a=73-21=52,b=52+2=54.1.回歸分析的模型的確定(1)回歸直線只適用于我們所研究的樣本的總體，樣本的取值范圍一般不能超過回歸直線的適用范圍,否則沒有實用價值.(2)兩個變量不呈線性關(guān)系，不能直接利用回歸直線建立兩個變量的關(guān)系，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型,如我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系.令z=lny，則變換后樣本點應該分布在直線z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的周圍.2.獨立性檢驗思想的理解獨立性檢驗的基本思想類似于反證法，首先假設結(jié)論不成立，即它們之間沒有關(guān)系，也就是它們是相互獨立的，利用概率的乘法公式可推知，(ad-bc)接近于零，也就是隨機變量應該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算出來的χ2的值不是很小，通過查表P(χ2≥k0)的概率很小，又根據(jù)小概率事件根本不可能發(fā)生，由此推斷假設不成立，從而可以肯定地斷言X與Y之間有關(guān)系.1

相互獨立事件的概率【例1】甲、乙二人進行一次圍棋比賽,約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利,比賽結(jié)束.假設在一局中,甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,各局比賽結(jié)果相互獨立.已知前2局中,甲、乙各勝1局.(1)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率.【審題指導】(1)“再賽2局結(jié)束”即為甲連勝2局或乙連勝2局.(2)“甲獲勝”即為在后面的比賽中甲連勝2局，或勝1局、負1局，最后一局獲勝.【自主解答】記Ai表示事件:第i局甲獲勝,i=3,4,5,記Bj表示事件:第j局乙獲勝,j=3,4,5.(1)設“再賽2局結(jié)束這次比賽”為事件A，則A=(A3·A4)∪(B3·B4)，由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A)=P((A3·A4)∪(B3·B4))=P(A3·A4)+P(B3·B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.(2)記B表示事件:甲獲得這次比賽的勝利,因前兩局中,甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲勝2局，從而B=(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5).由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.【規(guī)律方法】1.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算.2.已知兩個事件A、B相互獨立，它們的概率分別為P(A)、P(B)，則有【變式訓練】甲、乙兩人進行射擊比賽，在一輪比賽中，甲、乙各射擊一發(fā)子彈，根據(jù)以往資料知，甲擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.6、0.3、0.1,乙擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.4、0.4、0.2.設甲、乙的射擊相互獨立.(1)求在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率;(2)求在獨立的三輪比賽中,至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率.【解析】記A1、A2分別表示甲擊中9環(huán)、10環(huán)，B1、B2分別表示乙擊中8環(huán)、9環(huán).A表示在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，B表示在三輪比賽中至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù).C1、C2分別表示三輪中恰有兩輪、三輪甲擊中環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù).(1)A=(A1B1)∪(A2B1)∪(A2B2)P(A)=P((A1B1)∪(A2B1)∪(A2B2))=P(A1B1)+P(A2B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2)=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2.(2)B=C1∪C2,P(C1)=［P(A)］2［1-P(A)］=3×0.22×(1-0.2)=0.096,P(C2)=［P(A)］3=0.23=0.008.P(B)=P(C1∪C2)=P(C1)+P(C2)=0.096+0.008=0.104.

線性回歸分析【例2】測得某國10對父子身高(單位：英寸)如下：(1)畫出散點圖，說明變量y與x的相關(guān)性；(2)如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線；(3)如果父親的身高為73英寸，估計兒子的身高.【審題指導】(1)根據(jù)散點圖判斷相關(guān)性.(2)根據(jù)已知數(shù)據(jù)和提示的公式數(shù)據(jù)求解.(3)求回歸直線y=bx+a,最后進行預測估計.【自主解答】(1)散點圖如圖所示:觀察散點圖中點的分布可以看出:這些點在一條直線的附近分布，所以變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)設回歸直線為y=bx+a.由b=≈0.4646.故所求的回歸直線為y=0.4646x+35.9747.(3)當x=73時，y=0.4646×73+35.9747≈69.9(英寸).所以當父親身高為73英寸時，估計兒子的身高約為69.9英寸.【規(guī)律方法】在解決具體問題時，要先進行相關(guān)性檢驗，通過檢驗確認兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若它們之間有相關(guān)關(guān)系，再求回歸直線.【變式訓練】某企業(yè)的某種產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：(1)試確定回歸直線；(2)指出產(chǎn)量每增加1000件時，單位成本下降多少？(3)假定產(chǎn)量為6000件時，單位成本是多少？單位成本為70元/件時，產(chǎn)量應為多少件？【解析】(1)設x表示每月產(chǎn)量(單位：千件)，y表示單位成本(單位：元/件)，作散點圖.由圖知y與x間呈線性相關(guān)關(guān)系，設回歸直線為y=bx+a.由公式可求得b≈-1.818,a=77.364,∴回歸直線為y=-1.818x+77.364.(2)由回歸直線知，每增加1000件產(chǎn)量，單位成本下降1.818元.(3)當x=6時,y=-1.818×6+77.364=66.456;當y=70時，70=-1.818x+77.364,得x≈4.051千件.∴產(chǎn)量為6000件時，單位成本是66.456元/件，單位成本是70元/件時，產(chǎn)量約為4051件.

獨立性檢驗【例3】某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在［29.94，30.06)內(nèi)的零件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表：(1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”？【審題指導】求出優(yōu)質(zhì)品率的估計值，填寫列聯(lián)表，求出χ2做出判斷.【自主解答】(1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為=72%；乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為=64%.(2)所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.【規(guī)律方法】1.獨立性檢驗的步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.(2)根據(jù)公式計算χ2.(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計推斷.2.另外，還可利用圖形來判斷兩個變量之間是否有關(guān)系，可以畫出等高條形圖，從圖形上只可以粗略地估計兩個分類變量的關(guān)系，可以結(jié)合所求數(shù)值來進行比較，作圖時應注意單位統(tǒng)一，圖形準確.【變式訓練】某班主任對全班50名學生學習積極性和對待班級工作的態(tài)度進行了調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：試運用獨立性檢驗的思想方法分析：學生的學習積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)系？說明理由.【解析】由題意可得∵χ2>10.828,故在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為學生的學習積極性與對待班級工作的態(tài)度有關(guān)系.【例】下表是某年美國舊轎車價格的調(diào)查資料，以x表示轎車的使用年數(shù)，y表示相應的年均價格，求y關(guān)于x的回歸直線.【審題指導】作出散點圖看是否是線性相關(guān)關(guān)系.若不是，可設出模型擬合，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系，再進行回歸分析.【規(guī)范解答】作出散點圖如圖所示.可以發(fā)現(xiàn)，各點并不是基本處于一條直線附近，因此，y與x之間應是非線性相關(guān)關(guān)系，與已學函數(shù)圖象比較，用y=ebx+a來刻畫題中模型更為合理，令z=lny，則z=bx+a,題中數(shù)據(jù)變成如下表所示：相應的散點圖如圖所示，從圖中可以看出，變換后的樣本點分布在一條直線附近，因此可以用回歸直線擬合.由散點圖可以看出x與z之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)得b≈-0.298,a≈8.165,所以z=-0.298x+8.165，最后回代z=lny,即y=e-0.298x+8.165為所求.【規(guī)律方法】對于非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式.這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與學過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖象作出比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞孔儞Q，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題，使之得到解決.【變式備選】某種書每冊的成本費y(元)與印刷冊數(shù)x(千冊)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下：檢驗每本書的成本費y與印刷冊數(shù)的倒數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如有，求出y對x的回歸直線(或曲線).【解析】首先作變量變換，令u=，題目所給數(shù)據(jù)變成如下表所示的10對數(shù)據(jù)：然后作散點圖如圖.由散點圖可以看出u與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系.由公式得a≈1.125,b≈8.973,所以y=1.125+8.973u,最后回代u=,可得y=1.125+,這就是題目要求的y對x的回歸曲線.

獨立性檢驗解答題的答題技巧【典例】(14分)(2010·新課標全國卷改編)為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：(1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)(2)的討論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由.【審題指導】先根據(jù)數(shù)據(jù)求出比例，再利用公式求出χ2,并作出判斷和分析.【規(guī)范解答】(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計值為=14%.………4分(2)……………8分由于9.967>6.635，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).……10分(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層，故采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好.……14分【失分警示】1.此題在解決時易因為數(shù)據(jù)較多而且較大在求χ2的值時容易出錯，而作出錯誤的判斷導致失分.2.關(guān)于獨立性檢驗的題目還應注意：在求得χ2≤2.706應判斷為沒有充分證據(jù)顯示X與Y有關(guān)系，而不能作為小于90%的量化值來判斷，否則會導致失分.【變式訓練】在調(diào)查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，利用獨立性檢驗的方法來判斷患色盲與性別是否有關(guān)？【解析】本題應首先作出調(diào)查數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表，利用獨立性檢驗作出判斷.根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的2×2列聯(lián)表：根據(jù)2×2列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)可以有a=38,b=442,c=6,d=514,a+b=480,c+d=520,a+c=44,b+d=956,n=1000,∴所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為患色盲與性別有關(guān)系.1.(2011·銀川模擬)下列說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變；②設有一個回歸直線y=3-5x,變量x增加1個單位時，y平均增加5個單位；③回歸直線y=bx+a必過();④曲線上的點與該點的坐標之間具有相關(guān)關(guān)系；⑤在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得χ2=13.079，則在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為兩個變量間有關(guān)系.其中錯誤的個數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】選C.①正確，設的方差為,數(shù)據(jù)xi的方差為si,則=si,與加什么樣的常數(shù)無關(guān);②錯誤,變量x增加1個單位則y平均減少5個單位；③正確；④錯誤，曲線上的點與該點的坐標之間不具有相關(guān)關(guān)系；⑤錯誤，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為兩個變量間有關(guān)系.2.(2011·徐州模擬)在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是()①若χ2≥6.635，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺??；②從獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吸煙與患肺病有關(guān)系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺?。虎蹚慕y(tǒng)計量中得知在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤.(A)①(B)①③(C)③(D)②【解析】選C.①推斷在100個吸煙的人中必有99人患肺病，說法錯誤，排除A、B，②某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病說法錯誤，②錯.③正確，故選C.3.(2010·遼寧高考改編)為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的試驗結(jié)果.(皰疹面積單位：mm2)表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表(1)完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大??；(2)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.【解析】(1)從頻率分布直方圖中可以看出注射藥物A后皮膚皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后皮膚皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù).(2)表3：由于χ2>10.828，所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.一、選擇題(每小題4分，共20分)1.下列關(guān)系屬線性負相關(guān)的是()(A)父母的身高與子女身高的關(guān)系(B)農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系(C)吸煙與健康的關(guān)系(D)數(shù)學成績與物理成績的關(guān)系【解析】選C.A、B、D都是正相關(guān)的.而C中吸煙與健康是負相關(guān)的.2.設有兩個獨立事件A和B同時不發(fā)生的概率是p,A發(fā)生B不發(fā)生與A不發(fā)生B發(fā)生的概率相同,則事件A發(fā)生的概率為()(A)2p(B)(C)1-(D)1-【解析】選C.據(jù)題意設事件A發(fā)生的概率為a,事件B發(fā)生的概率為b,則有由②知a=b,代入①即得a=1-.3.下面是2×2列聯(lián)表:則表中a,b的值分別為()(A)94，72(B)52，50(C)52，74(D)74，52【解析】選C.∵a+21=73,∴a=52.又a+22=b,∴b=74.4.實驗測得四組(x,y)的值為(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，則y與x之間的回歸直線為()(A)y=x+1(B)y=x+2(C)y=2x+1(D)y=x-1【解題提示】回歸直線過樣本點的中心()，可求出驗證.【解析】選A.∴y=x+1過點()5.(2011·南昌模擬)若由一個2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得χ2=4.103，那么在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認為兩個變量有關(guān)系()(A)0.05(B)0.025(C)0.01(D)0.001【解析】選A.χ2=4.103＞3.841,所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為兩個變量有關(guān)系.二、填空題(每小題4分，共12分)6.如圖所示，有5組(x,y)數(shù)據(jù)，去掉一組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，去掉的這組數(shù)據(jù)為_____.【解析】A、B、C、E近似在一條直線上.答案:D(3，10)7.甲、乙兩個袋中均裝有紅、白兩種顏色的小球.這些小球除顏色外完全相同，其中甲袋裝有4個紅球、2個白球，乙袋裝有1個紅球、5個白球.現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各隨機抽取出一個球，則取出的兩球都是紅球的概率為______(答案用分數(shù)表示).【解析】從甲中所取球為紅球的概率為,從乙袋中所取球為紅球的概率為，所以所求概率為.答案:8.(2011·寧波十校聯(lián)考)已知x,y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出如下擬合直線：①y=x+1、②y=2x-1、③、④，則根據(jù)最小二乘法的思想得擬合程度最好的直線是______(填序號).【解析】由題意知∴選③.答案:③三、解答題(每小題9分，共18分)9.對某校學生進行心理障礙測試得到如下列聯(lián)表：試說明在這三種心理障礙中哪一種與性別關(guān)系最大？【解題提示】利用公式分別求出三個隨機變量，然后根據(jù)臨界值做出判斷.【解析】對于上述三種心理障礙分別構(gòu)造三個隨機變量由表中數(shù)據(jù)可得所以沒有充分證據(jù)支持結(jié)論焦慮與性別有關(guān)，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為說謊與性別有關(guān)，沒有充分證據(jù)支持結(jié)論懶惰與性別有關(guān).故說謊與性別關(guān)系最大.10.假設關(guān)于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計資料：