專題3.1 不等式及其基本性質(zhì)（重點題專項講練）（浙教版）（解析版）

專題3.1不等式及其基本性質(zhì)【典例1】利用不等式的性質(zhì)，將下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）x+5＞﹣2；（2）4x＜36；（3）-12x（4）﹣4x+2＜10；（5）3x﹣1≥32（6）1+2x3＞x﹣【思路點撥】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)（不等式兩邊同時減去同一個數(shù)，不等號方向不變）解決此題．（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)（不等式兩邊同時除以一個正數(shù)，不等號方向不變）解決此題．（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)（不等式兩邊同時乘以一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變）解決此題．（4）根據(jù)不等式的性質(zhì)（不等式兩邊同時減去同一個數(shù)，不等號方向不變；不等式兩邊同時除以一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變）解決此題．（5）根據(jù)不等式的性質(zhì)（不等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或式子，不等號方向不變；不等式兩邊同時乘以或除以一個正數(shù)，不等號方向不變）解決此題．（6）根據(jù)不等式的性質(zhì)（不等式兩邊同時乘以一個正數(shù)，不等號方向不變；不等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或式子，不等號方向不變；不等式兩邊同時除以一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變）解決此題．【解題過程】解：（1）x+5＞﹣2，不等式的兩邊都減去5得：x＞﹣7；（2）4x＜36，不等式的兩邊都除以4得：x＜9；（3）-12x不等式的兩邊都乘以﹣2得：x≤﹣6；（4）﹣4x+2＜10，﹣4x＜10﹣2，﹣4x＜8，x＞﹣2；（5）3x﹣1≥323x-32x32x≥1x≥2（6）1+2x3＞x﹣1+2x＞3x﹣3，2x﹣3x＞﹣3﹣1，﹣x＞﹣4，x＜4．1．（2021春?大埔縣期末）據(jù)氣象臺預(yù)報，2020年5月某日大埔最高氣溫27℃，最低氣溫21℃，則當(dāng)天氣溫t（℃）的變化范圍是（）A．t＞21 B．t≤27 C．21＜t＜27 D．21≤t≤27【思路點撥】根據(jù)最高氣溫、最低氣溫，可得答案．【解題過程】解：2020年5月某日大埔最高氣溫27℃，最低氣溫21℃，得21≤t≤27．故選：D．2．（2021春?東城區(qū)校級期末）下面給出了6個式子：①3＞0；②4+3y＞0；③x＝3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【思路點撥】依據(jù)不等式的定義來判斷即可，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關(guān)系的式子是不等式．【解題過程】解：由題可得：①3＞0；②4+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0是不等式，故不等式有4個．故選：C．3．（2021秋?柯橋區(qū)期末）若x＞y，則下列各式中，一定成立的是（）A．x﹣2＞y﹣2 B．x+2＜y+2 C．﹣2x＞﹣2y D．13x＜【思路點撥】利用不等式的性質(zhì)判斷即可．【解題過程】解：A．因為x＞y，所以x﹣2＞y﹣2，原變形正確，故此選項符合題意；B．因為x＞y，所以x+2＞y+2，原變形錯誤，故此選項不符合題意；C．因為x＞y，所以﹣2x＜﹣2y，原變形錯誤，故此選項不符合題意；D．因為x＞y，所以13故選：A．4．（2020?南安市校級自主招生）若x+5＞0，則（）A．x+3＜0 B．x﹣3＜0 C．x5＜-1 D．﹣2【思路點撥】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．【解題過程】解：∵x+5＞0，∴x＞﹣5，∴x+3＞﹣2，A錯誤；x﹣3＞﹣8，B錯誤；x5＞-1﹣2x＜10，即﹣2x＜16，D正確，故選：D．5．（2022?鄭州模擬）若a＞b＞0，c＞d＞0，則下列式子不一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣c＞b﹣d B．cb＞da C．a(chǎn)c＞bc D【思路點撥】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)：①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變進(jìn)行分析即可．【解題過程】解：A．當(dāng)a＝2，b＝1，c＝4，d＝3時，a﹣c＝b﹣d，故本選項符合題意；B．若a＞b＞0，c＞d＞0，則cbC．若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bc，故本選項不合題意；D．若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd，故本選項不合題意；故選：A．6．（2021春?伊川縣期末）某飲料瓶上有這樣的字樣：保質(zhì)期18個月，如果用x（單位：月）表示該飲料出廠后到飲用時的月數(shù)，那么x應(yīng)該在什么范圍內(nèi)表示該飲料還可以飲用？【思路點撥】將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題列出不等關(guān)系式即可．【解題過程】解：一般飲料和食品應(yīng)在保質(zhì)期內(nèi)，即不超過保質(zhì)期的時間內(nèi)食用，那么該飲料的保質(zhì)期可以用不等式表示為：0≤x≤18．故答案是：0≤x≤18．7．（2021春?曲陽縣期末）學(xué)校組織同學(xué)們春游，租用45座和30座兩種型號的客車，若租用45座客車x輛，租用30座客車y輛，則不等式“45x+30y≥500”表示的實際意義是．【思路點撥】主要依據(jù)不等式的定義：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關(guān)系的式子是不等式來判斷．【解題過程】解：不等式“45x+30y≥500”表示的實際意義是租用x輛45座的客車和y輛30座的客車總的載客量不少于500人．故答案為：租用x輛45座的客車和y輛30座的客車總的載客量不少于500人．8．（2021春?饒平縣校級期末）用“＞”或“＜”填空：若a＜b＜0，則-a5-b5；1a1b；2a﹣12b﹣1；a【思路點撥】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及有理數(shù)大小比較方法逐一判斷即可．【解題過程】解：∵a＜b＜0，∴-a1a2a﹣1＜2b﹣1（不等式兩邊同時乘2，得2a＜2b；不等式兩邊同時減去1，可得2a﹣1＜2b﹣1）；a＞a+b（兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。还蚀鸢笧椋海?；＞；＜；＞．9．（2021?椒江區(qū)校級開學(xué)）請在空格里填上合適的內(nèi)容：下列判斷中，①若a＞b，則﹣2a＜﹣2b+1；②若a＞b＞0，則a2＞b2；③若a＞b，則1a＜1b；④若ac2≤bc2，則a＜b；⑤若a＞b，則ac2【思路點撥】根據(jù)不等式性質(zhì)逐個判斷即可．【解題過程】解：①若a＞b，則﹣2a＜﹣2b＜﹣2b+1，故①正確；②若a＞b＞0，則a2＞b2，故②正確；③若a＞b，則1a＜1b不正確，比如a＝1，b＝﹣1時，④若ac2≤bc2，則a＜b不正確，只有c≠0時才成立，故④不正確；⑤若a＞b，因c2+1＞0，所以ac2+1故答案為：①②⑤．10．（2021春?大埔縣期末）下列結(jié)論正確的有（填序號）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果【思路點撥】根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．可得答案．【解題過程】解：①∵c＜d，∴﹣c＞﹣d，∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣d，故①正確．②當(dāng)b＜0時，ab故②錯．③若a＝2，b＝﹣1，滿足a＞b，但1a故③錯．④∵ac∴c2＞0，∴a＜b，故④正確．故答案為：①④．11．（2021秋?姑蘇區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化為x＜1a-1，試化簡|1﹣a|﹣|a﹣2|，正確的結(jié)果是【思路點撥】根據(jù)題目的已知可得a﹣1＜0，然后再化簡每一個絕對值進(jìn)行計算即可．【解題過程】解：由題意得：a﹣1＜0，∴a＜1，∴1﹣a＞0，a﹣2＜0，∴|1﹣a|﹣|a﹣2|＝1﹣a﹣（2﹣a）＝1﹣a﹣2+a＝﹣1，故答案為：﹣1．12．（2021秋?余杭區(qū)月考）比較大小，用“＞”或“＜”填空：（1）若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，則ab．（2）若a，b為實數(shù)，則4+3a2﹣2b+b23a2﹣2b+1．【思路點撥】（1）由不等式的性質(zhì)可得a﹣b＜0，即可求解；（2）可將兩代數(shù)式利用作差比較求解即可．【解題過程】解：（1）∵x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，∴a﹣b＜0，∴a＜b，故答案為＜；（2）4+3a2﹣2b+b2﹣（3a2﹣2b+1）＝4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1＝b2+3＞0，∴4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．故答案為＞．13．（2020?浙江自主招生）若a，b，c，d為整數(shù)，且a＜3b，b＜5c，c＜7d，d＜30，則a的最大值為．【思路點撥】根據(jù)已知可知當(dāng)b，c，d取得最大值時，a才能取得最大值，根據(jù)d＜30可得d的最大值是29，依次即可求得c，b，a的最大值．【解題過程】解：∵d＜30，a，b，c，d為整數(shù)，∴當(dāng)d的最大值是29；當(dāng)d＝29時，c＜203；則c的最大值是202．當(dāng)c＝202時，b＜5c＝1010．則b的最大值是1009，當(dāng)b＝1009時，a＜3b＝3027，則a的最大值是3026．故答案為：3026．14．（2021春?鼓樓區(qū)校級期中）已知實數(shù)a，b，c，滿足a+b＝8，c﹣a＝10．若a≥﹣2b，則a+b+c的最大值為．【思路點撥】由c﹣a＝10得c＝a+10，與a+b＝8相加得a+b+c＝a+18，由a+b＝8及a≥﹣2b，可得a的最大值為16，從而得出a+b+c的最大值．【解題過程】解：由c﹣a＝10得c＝a+10，由a+b＝8得a+b+c＝a+18，∵a+b＝8及a≥﹣2b，∴a≤16，∴a的最大值為16，∴a+b+c的最大值＝18+16＝34．故答案為：34．15．（2020?丹陽市模擬）已知：6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，則a﹣3b+c的最小值為．【思路點撥】首先根據(jù)6a＝3b+12＝2c，分別用b表示出a、c；然后根據(jù)b≥0，c≤9，求出a﹣3b+c的最小值為多少即可．【解題過程】解：∵6a＝3b+12＝2c，∴a＝0.5b+2，c＝1.5b+6，∴a﹣3b+c＝（0.5b+2）﹣3b+（1.5b+6）＝﹣b+8∵b≥0，c≤9，∴3b+12≤18，∴b≤2，∴﹣b+8≥﹣2+8＝6，∴a﹣3b+c的最小值是6．故答案為：6．16．用適當(dāng)?shù)姆柋硎鞠铝嘘P(guān)系：（1）x的13與x的2（2）一枚炮彈的殺傷半徑不小于300米；（3）三件上衣與四條長褲的總價錢不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身體不比小剛輕．【思路點撥】（1）非正數(shù)用“≤”表示；（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”來表示；（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；（5）不比小剛輕，就是與小剛一樣重或者比小剛重．用“≥”表示．【解題過程】解：（1）13x+2x≤0（2）設(shè)炮彈的殺傷半徑為r，則應(yīng)有r≥300；（3）設(shè)每件上衣為a元，每條長褲是b元，應(yīng)有3a+4b≤268；（4）用P表示明天下雨的可能性，則有P≥70%；（5）設(shè)小明的體重為a千克，小剛的體重為b千克，則應(yīng)有a≥b．17．（2021春?漳平市月考）根據(jù)不等式的性質(zhì)，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9；（2）6x＜5x﹣3；（3）15（4）-2【思路點撥】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)（不等式兩邊同時減去同一個數(shù)，不等號方向不變）解決此題．（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)（不等式兩邊同時減去同一個數(shù)或式子，不等號方向不變）解決此題．（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)（不等式兩邊同乘一個正數(shù)，不等號方向不變）解決此題．（4）根據(jù)不等式的性質(zhì)（不等式兩邊同時乘或除一個正數(shù)，不等號方向不變；不等式兩邊同乘或除一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變）解決此題．【解題過程】解：（1）∵x+7＞9，∴x＞2．（2）∵6x＜5x﹣3，∴6x﹣5x＜﹣3．∴x＜﹣3．（3）∵15∴15∴x＜2．（4）∵-2∴﹣2x＞﹣3．∴x＜318．（2021春?萬柏林區(qū)校級月考）利用不等式的性質(zhì)，解答下列問題．（1）①如果a﹣b＜0，那么ab；②如果a﹣b＝0，那么ab；③如果a﹣b＞0，那么ab；（2）比較2a與a的大?。?）若a＞b，c＞d．①比較a+c與b+d的大??；②比較a﹣d與b﹣c的大?。舅悸伏c撥】（1）分別根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可；（2）分a＞0，a＝0，a＜0三種情況討論；（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【解題過程】解：（1）①如果a﹣b＜0，那么a＜b；②如果a﹣b＝0，那么a＝b；③如果a﹣b＞0，那么a＞b；故答案為：＜；＝；＞；（2）當(dāng)a＝0時，2a＝a；a＞0時，a+a＞a+0，即2a＞a；a＜0時，a+a＜a+0，即2a＜a；（3）①∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d；②∵a＞b，c＞d，∴a﹣d＞b﹣c．19．（2021春?饒平縣校級期末）已知4x﹣y＝6，x-12y＜2，求【思路點撥】由已知條件得到y(tǒng)＝4x﹣6，則將x-12y＜2轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式x-12（4x﹣【解題過程】解：∵4x﹣y＝6，∴y＝4x﹣6，∵x-12y＜∴x-12（4x﹣6）＜解得：x＞1，即x的取值范圍是x＞1．20．（2020?浙江自主招生）實數(shù)a，