高等數(shù)學(xué)(上)課后習(xí)題答案與提示

課后習(xí)題答案與提示

習(xí)題1.1

1.(I)(―8,—2]U[2,+8)；(2)(―8,—1)U(—l/)U(l,+8)；

⑶[-1,7]；(4)[2,3)U(3,5);

(5)(-oo,0)U(0,3)；(6)[-1,2).

2.(1)不同：(2)不同；(3)相同；(4)不同.

3./(0)=2,/(-1)=技/(-)=一+1,3(a+>)=j4+(a+//)2.

a\a\

1V2V2

5.9(71?=彳，火4:)=.，火一71:)=.，。(-2)=0.

oL424，

2

2h

6.V^7r(R2--)h.

0.25t2,0<t<2,

7.S=<1+(r-2),2<t<9,

8+Q—9)-0.25Q—9了，9<r<11.

習(xí)題1.2

1.(1)偶函數(shù)：(2)奇函數(shù)；(3)非奇非偶；

(4)奇函數(shù)；(5)奇函數(shù)；(6)偶函數(shù).

5.(1)周期函數(shù)，周期/=萬；(2)不是周期函數(shù)；

(3)周期函數(shù)，周期/=1；(4)周期函數(shù)，周期/=2〃；

TT

(5)周期函數(shù)，周期/=—.

2

習(xí)題1.3

I.尹S(x)]=x4M什(x)]=2°'，，例力⑴]=4'M*(x)]=2(?,.

2.(1)[-1,1];(2)U/2〃肛(2〃+1加/;(3)[-a,1-?J；

neZ

若ae(0,-),則D=[a,1-a];

一1，?

1,x<0,e,Ixl<1,

3./[g(x)]=<0,x=0,g"(x)]=T,1x1=1,

-1,x>0;e-1,1xl>1.

c(a-bx2)

4.fM(xw0).

(a2-b2)x

5.

(1)y=cosw,u=5x;(2)y=u3,u-sinx;

I

(3)y=u^,u=2-3x\(4)y=,w=sinv,v=3x;

(5)y=ali,M=1-x;(6)y-Inw,u=arctanv,v=4，卬=1+/.

1-x

6.(1)y=-(2)y=log2--;

1+xl-x

1.x-\

I+arcsin----

⑶丁…—2;(4)y=-----------

1.X-L

1-arcsin

2

7.14.4美元.

習(xí)題1.4

1.(1)y=sin(2arctanx)xe(-00,+oo).

(2)y=InsinxxG(0,y).

2./(x)=1-2x2;/(cos；)=l-2cos29

3./(T)=q,/(—=,/(~=/(0)=0,/(}=

/(4)=p/(i)=f-

4.g(-l)=〃,g*-葛,g(-；)=^5g3)=f^g(f=2,

g淳)=g，g⑴=o.

26

5.；"(x)+/(—)］為偶函數(shù)，3"(》)-/(-x)］為奇函數(shù)

6.(1)y=y/u,u=Inv,v=w2,w=sinx;

(2)y=sinw,u=e\v=x2;

2'n

(3)y-u,u=cosv,v=3x+—;

(4)y=arctanu,u=y/v,v--~~-.

x+l

習(xí)題2.1

1.(1)1；(2)1：(3)沒有極限；(4)0.

3.不對.

4.不一定.如｛(—1)葉發(fā)散，但有界.

習(xí)題2.2

2.(1)略；(2)/(0-0)=-1,/(0+0)=1；(3)lim/(x)不存在.

Xf0

XX

3.(l)lim-=1;(2)lim—不存在.

X—°IXI

習(xí)題2.3

1.(1)無窮小(2)無窮小；(3)無窮小；(4)無窮大；

(5)無窮?。?6)無窮大.

3.(1)0;(2)0.

4.(1)3;(2)4.

習(xí)題2.4

1

1.(1)0；(2)-8；(3)0；(4)

2,

(3)2。；

(5)2x；(6)0；(7)-：；(8)

22

(9)-2；(10)2.

2.(1)1；(2)0；(3)2；(4)(5)-

5；2

3.(1)不正確；(2)不正確；(3)不正確.

4.k=-3.

6.(1)y=-2為水平漸近線，x=0為鉛直漸近線;

(2)x=—1為鉛直漸近線，y=」x—1為斜漸近線.

2

習(xí)題2.5

1.(1)3；(2)2；(3)0(4)一；(5)x.

2

工

2.(1)-；(2)e3；(3)(4).

e

4.(2)2.

5.c=ln3.

6.(1)0.125%；(2)15cm.

習(xí)題2.6

1.(1)同階，不等價(jià)；(2)同階，不等價(jià)；(3)等價(jià).

2.(1)一階；(2)二階.

3

4.(1)-；(2)0(加<“時(shí)，1("Z=〃時(shí))，8(加>〃時(shí))：

(5)0；(6)3;

習(xí)題2.7

1.(1)/(x)在［0,2］上連續(xù);

(2)/(幻在(-00,-1)與(一1,+00)內(nèi)連續(xù)，x=—l為跳躍間斷點(diǎn).

2.(1)x=2為可去間斷點(diǎn)，x=3為無窮間斷點(diǎn)；

(2)x=0為震蕩間斷點(diǎn)；

(3)x=0為跳躍間斷點(diǎn)；

TT

(4)%=0和工=攵乃+,為可去間斷點(diǎn)，x=0)為無窮間斷點(diǎn).

0,0<x<1,

/(x)=<|,X=l,X=1為跳躍間斷點(diǎn).

3.

1,X>1.

4.a=1,b=e.

5.(1)-ln2；(2)-2；(3)0；(4)1；(5)cosa；(6)—.

4

(7)1；(8)1；(9)e；(10)e；(11)1；(12)1.

習(xí)題3.1

dT

1.?

dt

2.26g/cm,6XQ+2(g/cm).

4.⑴"Go)；（2）-f\x0）；⑶:(0)：（4）2尸（x°）.

5.(1)-20；(2)—=.

2y/x

2-j16y

6.(1)(2)(3)10x9；z(4)—x5.

325

7.(2,4),(一3.39

8.連續(xù)但不可導(dǎo).

2

9.a-2x0;h=-x0.

V31z7T.V3?乃、

11.y-=—(x--);y---=-2(x--).

22323

cosx,x<0,

12./（X）=

1,x>0.

13.2ag(a).

15.(1)1.8cm；(2)10m/s；(3)8/71/5.

習(xí)題3.2

1.(1)exsinx+excosx+7sinx+1Ox；

(2)(6x+2)sinx+(3x2+2x-l)cosx；

(3)2xe'Inx+x，"Inx+xe"-cosx+xsinx+16x；

xcosx-(2+sinx)

(4)

x2

1+x+Inx

(5)

(1+x)2

sinx-1

(6)

(x+cosx)2

"(x—2)

⑺

x3

(8)2xInxcosx+xcosx+x1Inxsinx;

71

(9)

2vl-x2(arcsinx)2

(10)—+secxtanx.

x

2.(1)/(o)=-6,f'5)=屋-7;

327

(2):(0)=弓,:(2)=，

2515

⑶/令爭嚀+2.

3

3.3米/秒，秒.

2

4.(1)3(1—x+/)2(2x—1)；(2)cotx；(3)-3cosx(4-3x)

x

2arccosx/八e

(4)-sin2x；(5)_.(6)?

71-x2l+e-'

1

(7)-6x2e-2x-(8)

7i+x2

_3」1.

5.(1)x(3-x2)2；(2)e3(--sin2x+2cos2x)；

n、1x13xsin3x+cos3x

(3)<-----,(4)2，

x2y/x2-1X

+1

(5)secx；(6)

三x+G

2—

(7)-CSCx；(8)—x-1(l+ln2x)3Inx；

arccoty[x

(9).(10)cos“7x(mcosxcosmx-nsinxsinmx)

26(1+x)

14X

(11)(12)------arctan—.

xlnxlnlnx4+x22

6.(1)3%2—■6x+2；(2)5+—；(3)sinx-cosx；

2Vx3

2ah(5)2x——J.

(4)(6)

(a+bx)(a-bx)3(1+/)(1+x)2

7.(1)2寸，)；(2)e"叫e"'(")+_f(x)/(e')］；

(3)-2/(sin—)?cos—?(4)sin2j/z(sin2x)+2xcosx2f\sinx2).

XXX

7F

8.-+1（提示：利用導(dǎo)數(shù)定義求）.

4

x<0,

10.r。)=I

x>0.

習(xí)題3.3

1.當(dāng)a=1時(shí)，Jy=18,dy=11；當(dāng)4=0.1時(shí)，Jy=1.161,dy=l.l；

當(dāng)4r=0.01時(shí)，zly=0.110601,Jy=0.11.

2.dy=2dx?

3.

(a)Jy>0,dy>0,Ay-dy>0;(b)Jy>0,dy>0,Ay-dy<0;

(c)Ay<0,dy<0,Ay—dy<0;(d)Ay<0,dy<0,Ay-dy>0.

jr_3

4.(1)(——-+——)dx；(2)(2xsinx+x2cosx)dx：(3)(x2+1)2dx;

XX

2x1(6)----^-^rdx\

(4)-----dx；(5)i-/dx；

J/1+九

⑺-.1+ln—⑻2(e2，-e-2')dx.

x(1-Inx)

5.(1)3x+C;(2)2x2+C;(3)In11+xI+C;

(4)—e~'+C;(5)2,y[x+C;(6)-tan3x4-C;

23

(7)2xy[x(ex2+e*);(8)：..

2vsin2x

6.(1)0.4848;(2)0.770;⑶0.10025;(4)0.05.

7.0.03355g.

8.A=5.8081(m2);8.=0.0241(m2);公=0.4%.

A

9.3%.

習(xí)題3.4

y-v+o'+y

1.(1)/=—p^；(2)[=)…；(3)y，=(x+y)2；

\-xeyx-ey

2

(4)V=;⑸yl^2(xy-e')

x-\-ycosy-x

⑹)；,=1-y(y-x)2cos(孫)

l+x(y-x)2cos(xy)

2.

3.(In2—V)dx.

4.V3x+4y-8A/3=0.

5.(l)y=；(2)=5x4(a+3x)2(a-2x)(a2+2ax-12x2);

xy\nx-x

(4)y=(l+-)([ln(l+l)--

XX1

(5)yf=sinxcosA(cosxcotx-sinxInsinx);

(6)y'=—yjxsinxy/l-ex[—+cotx---------].

2x2(1-/)

6.(1)也=-叱；⑵>=c°s-sinf；

dxdxsinr+cosz

7.(1)切線方程為2jL:+y-2=0,法線方程為岳一分一1=0；

(2)切線方程為4x+3y-l2a=0,法線方程為3x-4y+6a=0.

8.40004(cm3/s).

9.1(m/5).

10.--(fn/min).

11.0.64(cm/min).

習(xí)題3.5

1.(1)6--V；(2)x3(9+201nx)；

X

(3)2e~x2(2x2-1)；(4)/cos"(l—"tan")；

(5)2xex(3+2x2)；(6)2sec2xtanx；

(7)2cosx-xsinx；(8)---------rr；

(1+1)%

(9)6'M2*J2.(io)3x(1-x2y2+(1-x2)2arcsinx-(l+2x2).

(x+1)

2.120xll3.

")+2V'd)

3.(1)y"=e"，(e，)+e2""(e，)；(2)y〃=

X

⑶y=if^；

(4)y"=f"(x)f'[fW]+[f'(x)]2f"[f(x)].

6.(1)y(20)=220e2((x2+20X+95)；

(2)y<20)=(x2+l)sinx-40xcosx-380sinx；

(3)產(chǎn)T(-吟嗡

n,nl-3-5---(2n-3)

(4)/=(-Dn+\/

Tx八

1

7.(1)e”(x+〃)；⑵〃![fd-］--；-----------

(1—X嚴(yán)

11?(n-2)!

⑶(一1)"〃！[］；⑷(-1)"(n>2)；

(x-2),,+1(x-l)n+1xn~'

(2/1-1)!!jr

⑸(6)2"''sin[2x+(n-l)y].

?+1

(l-2x)2

e2y(siny+2cosy+xey)

8.(1)-c°s(x+y)⑵

[l+sin(x+y)]3(cosy+xe))3

6x2y(y2+\)2-4x6y(y2-1)

⑶重⑷

(y2+i)3

d2y13cos/

9.(1)A

dx2asin，dx3a2sin51

d2y_3產(chǎn)+1

⑵事』+~

dx24-dx38r

d2y_1+Jd3yt4-1

(3)

dx24rdx58"

10.2.

習(xí)題4.1

5.方程/'(x)=0在區(qū)間(1,2),(2,3),(3,4)內(nèi)各有一實(shí)根.

習(xí)題4.2

1.(x+1)5-3(x+1)4+2(x+1)3+(x+1)2.

2.\[x=24—(x-4)—(x-4)-H---(x-4)3-----------------,(0<8<]).

464512:

4!」6[4+0(x-4)]2

3.Inx-ln2+—(x-2)-^-(x-2)2H---(x-2)3-------F

2233.23

(-I)"-1—i-(x-2)n+o((x-2)").

n-2

4.-=-[l+(x+l)+(x+l)2+--+(x+l)n]+(-l),,+l―史R——r.(O<e<l).

%[-i+e(x+i)]"*2

,13sin(6r)[sin2(6r)+2]..

5.tanx-x+—x3-{-------------------x44,(0<^<1).

33cos§(公)

6.X￡X=X+H--???H----------x"+o(x").

2/(〃-1)/

7.Ve?1.645.

8.(1)3.10724；艮|<1.88x10-5；

⑵s%18°土0.3090；網(wǎng)viaitr4.

2

9.(1)(2)(3)6.

26

習(xí)題4.3

]_

1.(1)h(2)-1；(3)cosa；(4)

4：

1ma"'-

(5)(6)(7)1；(8)1；

1+7Cnan~'

2

(9)1;(10)(11)+oo；(12)In2

2：

1a

(13)1；(14)—；(15)e1；(16)1.

2

3.連續(xù).

習(xí)題4.4

1.單調(diào)減少.

2.(1)在區(qū)間（一8,-1］」3,+OO）內(nèi)單調(diào)增加，在［-1,3］單調(diào)減少：

(2)在區(qū)間［2,+oo）內(nèi)單調(diào)增加，在（0,2］單調(diào)減少；

在區(qū)間（-co,01,（0,^］,［l,+oo）內(nèi)單調(diào)減少，在［g,1］上單調(diào)增加：

(3)

(4)在（-00,+8）上單調(diào)增加；

在區(qū)間（-8,單調(diào)減少,［_L,+oo）單調(diào)增加；

(5)

22

在區(qū)間（一^^^^入伍葉吧）內(nèi)單調(diào)增加，在［go,單調(diào)減少：

(6)

(7)在［0,〃］上單調(diào)增加，在［〃,+oo）內(nèi)單調(diào)減少；

714八44

(8)在區(qū)間［一,［—）,2乃］上單調(diào)增加，在［0,一］，［匹一4］上單調(diào)減少.

3333

當(dāng)時(shí)沒有實(shí)根：當(dāng)OVQV"1■時(shí)有兩個(gè)實(shí)根;當(dāng)。='時(shí)只有x=e一個(gè)實(shí)根.

ee

5.(1)極大值y(-l)=17,極小值y(3)=-47；(2)極小值y(0)=0：

(3)極大值y(—)=；（4）無極值:

e

極大值yQk兀+?）=~^2kjr+-5萬

(5)4，極小值y（2匕r+―）

42

(kEZ)；

81

(6)極大值y（0）=4，極小值y（-2）=-（7）極大值y（e）=e，

極大值y(l)=￡-gin2.

(8)

7.a=2,函數(shù)/（x）在％處取得極大值/（y）=.

習(xí)題4.5

5205內(nèi)是凸的，在+00)內(nèi)是凹的:

1.(I)拐點(diǎn)，在—00—

3方3

2

，在(一oo,2］內(nèi)是凸的，在〔2,+oo)內(nèi)是凹的;

拐點(diǎn)2,2

e

(3)拐點(diǎn)(0,0),在(-oo,0］內(nèi)是凸的，在［0,+8)內(nèi)是凹的；

(4)拐點(diǎn)(i1,In2),在(―oo,—l］,［l,4-oo)內(nèi)是凸的，在［—1,1］內(nèi)是凹的;

，在(一8,g內(nèi)是凹的，在+8］內(nèi)是凸的;

(5)拐點(diǎn)2

2)

7

1311

拐點(diǎn)±，在-00-,+8內(nèi)是凸的，在［一內(nèi)是凹

(6)W'Z

忑」I耳7

的.

士也aea

2.(1)(1,±4)；(2)

32

6.k/

5.一%,7.(X0，/(%))是拐點(diǎn).

228

習(xí)題4.6

1.(1)最大值y(4)=80,最小值丁(一1)二一5；(2)最大值y(2))=2萬+1,最小

值y(0)=1：

(3)最大值y(：)=：,最小值y(-5)=-5+.

2.函數(shù)在x=1取得最大值/(I)=-29.

函數(shù)在X=1取得最大值/(I)=1

3.

4.長為10米，寬為5米.

V,

5.r=1——,h23—時(shí)，油罐表面積最小.這時(shí)，底直徑與高的比1:1.

\171\271

6.底寬X=?2.366/n.

4+〃

R

7.TF

223

8.(加+廬戶米.

9.1800元.

習(xí)題4.7

1.K=2.2.K=2,p=—,

23。sin2%

rviIn2)373

4.處曲率半徑有最小值5.約1246N.7.約

,2

45400N.

8.e—3)2+(〃+2)2=8.

習(xí)題4.8

1.0.18<^<0.19.2.-0.20<^<-0.19.

3.0.32<^<0.33.4.2.50<^<2.51.

習(xí)題5.1

2

2.(1)b—a；(2)——；(3)0；(4)0.

2

3.(1)6<J4(x2+l)/x<51；(2)1We記.

5.(1)[x2dx>[x3dx：(2)fx2dx<[x3dx；(3)fexdx>[(1+x)dx.

JoJoJiJIJOJO

6.—6.

8.(1)f'x4dx；(2)

JoJo1+/

9.[59,74].

習(xí)題5.2

,715

1.(1)-1;(2)-；(3)-.

33

2./(x)=x-l.

.41

3.(1)-(sinx+cosx)；(2)2xtanx；(3)2xex-----產(chǎn)e*.

2Vx

dycosx2

4.—=-------.

dxey

1

5.(1)—；(2)2.

2e

6.x=0是極小值點(diǎn).

習(xí)題5.3

2--

2.(1)---x2+C；(2)——2%2+4x+C；

33

X21

(3)cx+In1尤1+C；(4)----3x+3In1x1H----FC；

2x

23cx3

(5)—x+x+3arctanx+C；(6)----x+arctanx+C；

33

2593015'9-25'「

(7)arctanx+ln1x1+C；(8)

21n3In3+In52In5

(9)—(x—sinx)+C；(10)—tanxH—x+C.

22

_____1_

3.(1)—(2x+l)9+C；⑵)+c.

182(1+/

i21c-2x+l

(3)—(1+廠)2+C;⑷—e+c；

32

1.1iX+1

(5)-ln3x+C；(6)—In----+c；

32x+3

21.2.-+-A/9-4X2+C

(7)(arctanVx)+C；⑻—arcsin—

234

xsin2x「

(9)-+------+c；(10)In1tanx1+C；

24

1.52.71.

(11)—sin'x——sinx+—sinx+C；

579

1513c

(12)-tanx+-tanx+C.

53

4.(1)"2^/x—2ln(l+Vx)+C；⑵6(V7-arctanVx)+C；

113

萬+c；

3

〃?xxn2-

(6)—arcsin-----Na—x+C；

2a2

色+⑻一亞E+c；

⑺a

Xax

.X-

⑼x~—9—3arccos----FC；(10)arcsinx------/+C；

IxI14-717?

(11)arcsin^^+C；(12)—ln(2x+J4x2+9)+(7.

V52

5.(1)xsinx+cosx+C；(2)(x2-2x+2)ex+C；

2

xJJ]

(3)----------xsin2x——cos2x+C；(4)xarctanx——ln(l+x2)+C；

4482

1212

(5)xInx-xC；(6)—Inx-----x~+C；

24

1-i1//T7_-

(7)—xarccosxH—(1—x)—7T-x~+C；

393

(8)—(cosx4~sinx)+C；(9)(x—1)ln(l++Vx------FC；

22

(10)—[sin(lnx)-cos(lnx)]+C；(11)++C；

2

(12)-/4(36-l)+C.

6.(1)—5InIx—2I+6InIx—31+C；

2ii

(2)—In11+2xI—ln(l+)H—arctunx+C；

555

1.1

(3)InIx-11——ln(x+1)-arctanx+-----+C；

2x2+1

4131

(4)——InIx+114--Inlx-21+-----------+C；

993(x-2)

?jx

(5)—InIx~+2x+31——arctan-尸+C；

2V2V2

4arctan+C

(6)—In——--------FC⑺

20(x10+2)V2V2x

八1oxx1,x,

(8)—f=arctan(9)一tan~—Ftan—i—ItnItan—I+C；

V542222

]Xxx

(10)—InI2tan—11+C；(11)tan—21nIcos—I+C；

2222

(12)Inlx+sinxI+C.

習(xí)題5.4

V3.1

(1)記⑵—?(3)—；(4)3In3；

3，3

K1

⑸2(1--)：(6)V3-1(7—(8)一

412T:6

22八嶼

(9)—;(1。)(H)1；(12)---ln2；

33584

9

71-

(13)2；(14)1；(15)-；(16)-----2.

o4

|(cosl-l).

2.

3

3.(1)0；(2)8；(3)0；(4)—7T

8

1

tanl-l.-+—?

222

習(xí)題5.5

1.矩形法:0.71876,0.66876；梯形法:0.69376；拋物線法:0.69313.

2.I-x0.52360；7TX3.1416.

3.約為203.25千克.

習(xí)題5.6

1.(1)發(fā)散；⑵1;(3)1；(4)2；(5),

a~+b~

(6)發(fā)散；(7)3(1+啦)；⑻2；(9)—；(10)發(fā)散

4

3.當(dāng)女＜1時(shí)，廣義積分收斂于S-；當(dāng)上21時(shí)，廣義積分發(fā)散.

l-k

習(xí)題6.2

,八、1小9小32〃、253

1.(1)-;(2)—；(3)—；(4)-------,

62312

3

2.一一ln2.

2

3.3加2.

InV325

4.(1)--------------;(2)7OT；(3)-7T.

324

82

5R?—ci?

3

6.2(萬-百).

”,125、252,,

7.(1)——;(2)—；(4)—bh.

643

[32

8.(1)—7m.；(2)n；(3)-一-m'；(4)64加

2105

9.3306.42厘米3.

7iR2h

10.

2