版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領
文檔簡介
2.1的關鍵步驟——確定目標函數的下降方向.§4.1最速下降法在§2.4f(xxk處下降,搜索方向dk必須滿足不等式
f(xk)Tdk0.向量f(xkdk的內積f(xk)Tdk||f(xk)||||dk||cos, (4.1.1)其中是向量f(xk和dkdk是下降方向的充分必要條件為它與f(xk的夾角必須大于2,或者說,它與f(xk的夾角必須小于2.k僅是負的,而且絕對值越大,目標函數的下降越多. 因此,我們希望搜索方向dk是優(yōu)化問k題mind0
f(xk)Td||d||
(4.1.2)(4.1.1)易見,dkf(xk||f(xk||是優(yōu)化問題(4.1.2)的最優(yōu)解.因此,我們把dkf(xk稱為最速下降方向.§4.1.1最速下降算法降法,它是無約束最優(yōu)化算法中最簡單、最基本的算法.4.1(最速下降法)1x0n,容許誤差0k0;2:計算f(xk,若||f(xk||xk;3:令dkf(xk;步4:由線搜索確定步長因子k,譬如,取k使得f(xkdk)minf(xkdk);k 0k5xk1xkdkkk12.k交的.kdkf(xk,對一元函數(f(xkdk,精確線搜索的最優(yōu)步長因子k應滿足(k0,即kkf(xkdk)Tdk0,xk1xkdk,又dk1f(xk1,故有kk(dk)Tdk10. (4.1.3)(迭代點列呈鋸齒狀趨于最優(yōu)解).好的總體收斂性,但缺點是在實際應用中收斂速率慢.§4.1.2 最速下降法的收斂性定理4.1.1 設fC1,則最速下降法產生的點列{xk}的每個聚點均為駐點.K1x是{xk{xk}K1
limxkxdkf(xk,kK1KfC1知{f(xk)}K1
收斂,故{dk}K1K
有界,且limdkf(x3.2.2,有kK1f(x)T[f(x)]f(x)20,故有f(x0.定理4.1.2 若f(x)二階連續(xù)可微且2f(x)M則對任意給定的初始點x0n,最速下降法或有限終止,或limf(xk),或limf(xk)0.k k證不妨設對任意k都有f(xk03.2.1,有12Mf(xk)f(xk1) f(xk)212M于是kkf(x0)f(xk)f(xi)f(xi1)1
f(xi)2. i0
2Mi0由于f(xk)}為單調下降序列,故或有l(wèi)imf(xk,或有l(wèi)imf(xk)0.k k定理4.1.3 設fC1則最速下降法采用不精確線搜索得到的點列{xk}的每個聚點均為駐點.3.4.2可得.§4.1.3 最速下降法的收斂速率我們先來考察一般的正定二次函數f(x)1xTGxrTx,2其中G為n階對稱正定矩陣. 設x*是極小點,則f(x)可表示為f(x)1(xx*)TG(xx*)1(x*)TGx*,2 2f(x)1xTGx.2定理4.1.4 對極小化問題minf(x)1xTGx,其中G為n階對稱正定矩陣,,xRn 2 1 nxk1x*xkxxk1x*xkx*1nf(xk1)f(x*)
()2
1n1 n ,1n
1 n.f(xk)f(x*)
)2
n證由于f(xGx,故k k k k xk1xkdkxkf(xk)xkGxk(IG)xk,其中f[(IG)xkf[(IG)xk對任意k k k k P(t)1kt,Q(t)utuRQ(0)Q(G)IuG,由此可知,當0u0時,我們有f(xk1)f[(IG)xk]f(Q(G)xk)k Q(0)1(Q(G)xk)TG(Q(G)xk)
1 (Q(G)xk)TG(Q(G)xk).2Q(0) Q(0) 2Q2(0)設
是G的特征值,而ui(i12,n是對應得標準特征向量(兩兩1 2 n正交的單位向量).xk
nniii1
akui,代入上式,得f(xk1) 1
akQGuiTG
akQ(G)uj)2Q2(0)
ni1n
i jj1 1 (n
akQ(uiTG
akQ()uj)2Q2(0)
ni1n
i i j jj1 1 (n
akQ(uiT
akQ()uj)2Q2(0)
ni1n
i i j j jj1i i i i 2Q2(0)i1
(ak)2Q2().對Q(tut,通過令Q(11,Q(n1,我們來確定待定參數u,由此得1n,u 2 ,從而有Qt)t1n.
顯然Q(t單調增加,由Q(11,Q(n1及12,n,即得
于是,由
i i f(xk1)i i (0)i1
(ak)2Q2()
1 n2Q2(0)i1
(ak)2,i i 1n1k kiT
n kj 1 n
n n1kiT k j k21f(x
)2(iu
G(aj
)2(iu)(ajj
)2i(ai),i1
i1
i1f(xk)
2我們有f(xk1) .又由于Q2(0)1 n
,因此,對任意k,都有Q2(0)
n2f(xk1)1 n1n
f(xk). (4.1.4)由于01n1f(xk)0f()(k)f(x)1nxk0x*(k),即點列{xkx*0.(4.1.4)得到第一個估計式f(xk1)f(x*)
f(xk1) 2 1 n.f(xk)f(x*)
f(xk)
n記ekxkx*,由G的對稱正定性,對任意k,我們有(ek)Tek(ek)TGek(ek)Tek,n 1x*0(ek)TGekxk)TGxk2f(xk)k,有(ek)Tek2f(xk)(ek)Tek.n 1(4.1.4),可得
(ek1)Tek1
2f(x
2xk1x*2xk1x* n 11 n,xkx*2
(ek)Tek
2f(xk)1
.如果令1n
GG1
,即為矩陣G的條件數,則上式可寫成xk1xk1x*xkx*(1)(1).4.1.5f(x3.2.7的假設條件,若最速下降算法產生的點列{xk收斂x*R線性的.3.2.7的自然推論.§4.2牛頓法§4.2.1牛頓迭代公式f(xxkTaylor展開式的極小xk1f(x的一個更佳近似解,由此產生算法的基本迭代格式.xk2f(xkf(xxkTaylor展開式為q(k)(s)f(xk)f(xk)Ts1sT2f(xk)s,2sxxk,極小化q(ks)得sk2f(xk)1f(xk,由此得到牛頓法的基本迭代格式xk1xk2f(xk)1f(xk). (4.2.1)g(xG(x)f(x)的梯度f(x)Hessiank矩陣2f(xgk
f(xk),G
2f(xk).k注(1)牛頓法可視為橢球范數|2f(xkk
下的最速下降法. 事實上,歐氏空間Rn中一般范數||||下的方向導數定義為:tsdftsds
t0
f(xkts)f(xk)
f(xk)Tss,ss它顯然與范數||||有關.不難理解,minssRn
f(xk)Ts
的最優(yōu)解就是函數f(x在xk處對應于范數||||的最速下降方向,且這個解與所取的范數有關.G若取橢球范數||||Gk
,則對任意sRn,有T 1
(G1g
G1g sgTsksGksGkgkkks k k kgTsksGksGksGk
k kGk
GkG1g ,sGkksGkk k 這意味著G1k
為方向導數的下界. 另一方面,若取sG1gk Gk s2s
,則有gTs gTG1g (G1g)TG(G1g) G k k k k k k k k k kG1g ,s sGk Gk
s sGk
k kGk這表明方向導數能夠達到下界G1g
是關于橢球范數||||
的最速下降方向.
k kGk
k k k Gk(2)無約束最優(yōu)化問題的牛頓法也可以理解為非線性方程組的牛頓法,這是因為求解minfx的經典方法實際上是在尋找f(x的一個駐點,即求解非線性方程組f(x)0.xRn設xk是當前迭代點,若f(xk0xk是方程組的解,否則將f(xxk處線性化,得
f(x)f(xk)2f(xk)(xxk)0,將上述線性方程組的解xxk2f(xk)1f(xk作為f(x)0牛頓迭代公式(4.2.1).§4.2.2牛頓法的收斂性定理4.2.1fC2xkx*,而f(x*02f(x*)正定.若Hessian矩陣2f(xLipschitz條件,則由牛頓法產生的序列{xkx*,且具有二階收斂速率.fC2,2f(xLipschitzxkx*時,由定理1.2.1可知,存在0,使得||f(x*)f(xk
)2
f(x
k)(x*xk
||x*xk2
||2,fC2,2f(x*可逆(正定矩陣必定可逆)1.1.1x*的充分小鄰域內,2f(xM0,滿足||2f(x)1||M.xk充分靠近極小x*時,對任意k,我們有||xk1x*||||xk2f(xk)1f(xk)x*||||2f(xk)1||||f(xk)(x*xk)2f(xk)||M||f(x*)||||x*xk||2 2 M2
||x*xk
||2,M||x*xk||r1,則有2.
0(k,即迭代點列{xk收斂,k索;而牛頓法的缺點是不能保證全局收斂,當G不正定時,甚至不能保證dk是下降方向,算法需要計算Hessian矩陣,單步計算量大.k§4.2.3 阻尼牛頓法搜索過程.4.2(阻尼牛頓法)1x0Rn,容許誤差0,置k0;2gk,若gkx;k3:確定牛頓方向,從牛頓方程Gkdgk
解出dk;4:沿dk進行線搜索,使得f(xkdkminf(xkdk);k k 0k5xk1xkdk,置kk12.k4.2.2fRnRx0Rn,存在常數m0,使得f(x)L(x0{xf(x)f(x0上滿足不等式uT2f(x)umu2,uRn,k則采用精確線搜索的阻尼牛頓法產生的迭代點列{xk或者對某個kg0,或者{xk收fx*.kk證不妨設對任意kg0.由定理的條件知,f(xL(x0f(x)kL(x0f(xL(x0f(x的極小點.下面證明{xk}f(x的駐點.由f(x)L(x0)L(x0)是有界閉凸集,再由f(xk)單調下降,可知K{xkL(x0,故{xkxL(x0及子列{xk},使得K1lim
xkx. 再由f(xk)單調有界知limf(xk k
f(x,特別地,有l(wèi)im
f(xk)f(x).L(x0是有界閉集,故f(x)L(x0上一致連續(xù),且由fC2知,存在常數M0L(x0上有G(x)M,因此,對任意k,有gTdk
k)TGdk
(dk)TGdk mmdk2kkk2cos k k k ,mdk2kkk2kg dkk
g
Gdk
Mdk M由此知
k2
M
. 3.2.3,有f(xk)g2
0,從而f(x)0xf(x的駐點,它也是極小點.x0.xkx,則存在正數和一個子x0K序列{xk}K2
,使對一切kK2,有
xk
0
.注意到{xk}K2K
是有界點列,故存在收斂K子列{xk}K3
(K3K2
limlim
f(xk)f(?),32.,可得f(?)0,從而?也是f(x)?xf(x的極小點唯一矛盾,故必有{xkx.§4.3牛頓法的修正策略kG1不存在;kk k Gk k
G1g
可能不是下降方向..§4.3.1 Goldstein—Price修正方案當Gk非正定時,采用最速下降方向gk替代牛頓方向.若進一步將搜索方向與負梯度方向的角度準則結合起來,則有dk
dk,g
,dkN N kgk,
否則,這里dkG1g,這樣搜索方向dk總滿足cosdkg
.N k k k.牛頓法的局部快速收斂性質.§4.3.2 Goldfeld修正方案若Gk不正定,則用GkGkvkI來修正Gk.通過適當選取vk0,可以使Gk正定.事實上,只要將vk取得稍大于Gk的最小特征值的模即可.利用特征值的圓盤定理可以求得最小特征值的模的估計 mini min(Gk)ii(Gk)ij. i 1in
ji 用此方法可求出vkvkGk與Gk相差甚遠,這是一個缺陷.而實際求出Gk的全部特征值計算量又太大,因此,這個方法更多的是理論的價值.§4.3.3 基于GkCholesky分解的方案先作GkCholesky分解GLDL,然后令kTkGLDLT,kDdiag(d11,dnndiimaxdii,diiD為給定的小正數.k這種處理方法簡單,但有下列缺陷:當Gk不可逆或GkGkCholesky分解不存在.即使Gk的分解存在,其計算過程也可能數值不穩(wěn)定.計算過程中小的誤差會導致結果的巨大差別,同時還可能出現Gk與Gk的差別很大.§4.3.4 GillMurray修正方案Gill—Murray修正法也稱為強迫矩陣正定的Cholesky分解法,它在Gk的分解過程中進行適當修正,使dLDLT不是ii k真正的Gk,而是Gk的近似Gk.其要點在于:在分解過程中,增加了保證分解得到的因子矩陣元素一致有界的措施.在過程完成時,得到
E,k kE是非負對角矩陣.dii及因子矩陣元素一致有界,必須對Gk的元素進行調整,否則算法進行不下去,但必須指出的是,所有調整都只涉及Gk的對角元素,通常是將其增大,這就保證了即Gk與Gk僅差一個對角矩陣.可以證明,當Gk充分正定時,有GkGk.Gill—Murray修正牛頓法有如下收斂性質.設f(x)在Rnx0使L(x0xf(x)f(x0為有界閉凸集,x1L(x0,則由Gill—Murray修正牛頓法產生的點列{xk滿足:若{xk是有限點列時,它的最后一個點必為f(x的駐點;若{xk是無窮點列時,它必有聚點,且任一聚點均為f(x的駐點.§4.4 負曲率方向法§4.4.1負曲率方向負曲率方向法是修正牛頓法的又一種形式.當2f(xk到下降方向,尤其在鞍點處,即f(xk)0,而2f(xk不是半正定時,若采用負曲率方向作為搜索方向,可以使目標函數下降.f(xD上二階連續(xù)可微,若2f(xxD稱為不xddT2f(x)d0df(x)x處的負d是負曲率方向,顯然dsTf(x0dTf(x0,dT2f(x)d0,則稱向量對sdxx不是一個不定點,則滿足:sTf(x)0,dTf(x0,dT2f(x)d0的向量對(sd)x處的下降對.
sf
若2fx)0,否則,其中u是對應于2f(x的負特征值的特征向量,則向量對(sd)x處的一個下降對.由定義易見,當且僅當f(x)0且2f(x0x處不存在下降對.因此,一旦在該點不存在下降對,那么該點必滿足極小點的二階必要條件(但仍不一定是極小點).若x*是鞍點,則負曲率方向必為下降方向. 事實上,設d為負曲率方向,由f(x*d)f(x*)f(x*)Td12dT2f(x*)d(d2)2容易看出,當很小時,有f(x*d)f(x*).x為一般點,且負曲率方向d滿足dTf(x)0,則d與d均為下降方向.若dTf(x0,則ddTf(x0,則d是下降方向..而唯一難找到下降方向的情形f(x0且2f(x0時.Gill-MurrayCholesky分解與負曲率方向相結合.當Gk不正定時,采用修改Choleskygk0時,采用負曲率方向使函數值下降.Fiacco-
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024年度全國獨家總代理協(xié)議及品牌形象提升合作3篇
- 2025非全日制用工勞動合同
- 2025國家規(guī)定勞動合同范本簡易模板
- 2024三方電子商務服務銷售合作協(xié)議3篇
- 2024年度事業(yè)單位信息化項目聘用合同書封面3篇
- 2024年度二零二四財年生物科技研究與產業(yè)化合作協(xié)議3篇
- 智能景區(qū)監(jiān)控施工合同
- 水電安裝解約協(xié)議模板
- 2024年度石材工程環(huán)境保護合同
- 工業(yè)園區(qū)干掛石材施工合同
- 人工智能與生命科學融合
- 小學生憤怒情緒管理策略
- 醫(yī)務科管理制度培訓的效果評估與持續(xù)改進
- 手術器械采購投標方案(技術標)
- MSOP(測量標準作業(yè)規(guī)范)測量SOP
- 中考物理復習交流
- 拉運污水泄漏應急預案
- 八年級歷史上冊論述題匯總
- 資產評估學教程(第八版)習題及答案 喬志敏
- 體質健康成績測試全自動化計算模板
- 機械制圖習題集-附帶答案
評論
0/150
提交評論