中山紀(jì)念中學(xué)2024年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

中山紀(jì)念中學(xué)2024年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A． B． C． D．3．?dāng)?shù)列滿足，且，，則（）A． B．9 C． D．74．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于軸對稱的為（）A． B．，C． D．5．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，則的最小值為A． B． C． D．6．在四面體中，為正三角形，邊長為6，，，，則四面體的體積為（）A． B． C．24 D．7．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．8．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．10．若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．311．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．12．“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)(素數(shù))之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當(dāng)好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為橢圓在第一象限上的點(diǎn)，則的最小值為________.14．的展開式中含的系數(shù)為__________．（用數(shù)字填寫答案）15．袋中裝有兩個紅球、三個白球，四個黃球，從中任取四個球，則其中三種顏色的球均有的概率為________.16．如圖，在平行四邊形中，，,則的值為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于、兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），定點(diǎn)，求的面積19．（12分）已知函數(shù)（1）求單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，求證：20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)，），曲線：（為參數(shù)）.若曲線和相切.（1）在以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，求曲線的普通方程；（2）若點(diǎn)，為曲線上兩動點(diǎn)，且滿足，求面積的最大值.21．（12分）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為0，公差為a，；等差數(shù)列的首項(xiàng)為0，公差為b，.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M，與數(shù)表；記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為，其中，（i，j=1，2，3，…）.記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為，其中（，，）.如：，.（1）設(shè)，，請計算，，；（2）設(shè)，，試求，的表達(dá)式（用i，j表示），并證明：對于整數(shù)t，若t不屬于數(shù)表M，則t屬于數(shù)表；（3）設(shè)，，對于整數(shù)t，t不屬于數(shù)表M，求t的最大值.22．（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上任意一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿足（分別為直線的斜率），求的面積為時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

因?yàn)?，所以①不正確；因?yàn)?，所以，，所以，所以函?shù)的圖象是軸對稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因?yàn)椋?，所以函?shù)的最小值為，④正確．故選D．2、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】依題意，，故，故，故，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.3、A【解析】

先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，再根據(jù)，，可求出公差，即可求出．【詳解】數(shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，，，故為奇函數(shù)；B中，的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；D中，且，，故為偶函數(shù).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對稱．5、C【解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對稱軸是，所以，即，所以，又，所以的最小值為．故選C．6、A【解析】

推導(dǎo)出，分別取的中點(diǎn),連結(jié)，則，推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而四面體的體積為，由此能求出結(jié)果.【詳解】解：在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，，，，，，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，，，，平面，平面，，四面體的體積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.7、C【解析】

設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，得出的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角，根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角可知，.作BC中點(diǎn)Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查異面直線夾角，關(guān)鍵點(diǎn)通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.8、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.9、C【解析】

設(shè)，計算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè)，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像，，得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.10、B【解析】

根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計算即可.【詳解】解：由已知得，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．11、A【解析】

所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因?yàn)闈M足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.12、A【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有，利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知，所求概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用橢圓的參數(shù)方程，將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題，利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值，即可得到所求最小值．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，，其中，，由，，，可設(shè)，導(dǎo)數(shù)為，由，可得，可得或，由，，可得，即，可得，由可得函數(shù)遞減；由，可得函數(shù)遞增，可得時，函數(shù)取得最小值，且為，則的最小值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法，考查化簡變形能力和運(yùn)算能力，屬于難題．14、【解析】由題意得，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，則，所以得系數(shù)為．15、【解析】

基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有包含的基本事件個數(shù)m72，由此能求出其中三種顏色的球都有的概率．【詳解】解：袋中有2個紅球，3個白球和4個黃球，從中任取4個球，基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有，可能是2個紅球，1個白球和1個黃球或1個紅球，2個白球和1個黃球或1個紅球，1個白球和2個黃球，所以包含的基本事件個數(shù)m72，∴其中三種顏色的球都有的概率是p．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)ABCD是平行四邊形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．【詳解】∵AB＝2，AD＝1，∴＝1﹣4＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，相等向量和相反向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）{1，2}．【解析】

（1）求解導(dǎo)數(shù)，表示出，再利用的導(dǎo)數(shù)可求m的取值范圍；（2）表示出，結(jié)合二次函數(shù)知識求出的最小值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及基本不等式求出的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，則，由題意可知，解得；（2）由（1）可知，，所以因?yàn)檎淼茫O(shè)，則，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)椋源嬖?，使得，設(shè)，是關(guān)于開口向上的二次函數(shù)，則，設(shè)，則，令，則，所以單調(diào)遞增，因?yàn)椋源嬖?，使得，即，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，又由題意可知，所以，解得，所以正整數(shù)k的取值集合為{1，2}．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究極值問題一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問題，恒成立問題要逐步消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題求解，適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).18、（1），；（2）.【解析】

（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）先利用極坐標(biāo)求出弦長，再求高，最后求的面積．【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為：，因?yàn)榍€的普通方程為：，曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得：點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）時，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，；（2）見解析【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極值；（2）易得且，要證明，即證，即證，即對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得證；【詳解】解：（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，時，，即在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即函數(shù)在單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，在處取得極大值；，；（2）易得，要證明，即證，即證即證對恒成立，令，，則令，解得，即在上單調(diào)遞增；令，解得，即在上單調(diào)遞減；則在取得極小值，也就是最小值，從而結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．20、（1）；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)，將圓的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為普通方程，再由圓心到直線的距離等于半徑，可求得圓的普通方程，最后利用求得圓的極坐標(biāo)方程.（2）利用圓的參數(shù)方程以及輔助角公式，由此求得的面積的表達(dá)式，再由三角函數(shù)最值的求法，求得三角形面積的最大值.【詳解】（1）由題意得：，：因?yàn)榍€和相切，所以，即：；（2）設(shè)，所以所以當(dāng)時，面積最大值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，考查直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，考查利用參數(shù)的方法求三角形面積的最值，屬于中檔題.21、（1）（2）詳見解析（3）29【解析】

（1）將，代入，可求出，，可代入求，，可求結(jié)果．（2）可求，，通過反證法證明，（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．【詳解】（1）由題意知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，得，則，，得，故．（2）證明：已知．，由題意知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，得，，．得，，，．所以若，則存在，，使，若，則存在，，，使，因此，對于正整數(shù)，考慮集合，，，即，，，，，，．下面證明：集合中至少有一元素是7的倍數(shù)．反證法：假設(shè)集合中任何一個元素，都不是7的倍數(shù)，則集合