2024屆山西省長治市屯留縣第一中學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆山西省長治市屯留縣第一中學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．等比數(shù)列中，，則A．20 B．16 C．15 D．102．已知公式為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，，則前5項(xiàng)和()A．31 B．21 C．15 D．113．若線性方程組的增廣矩陣是5b1102bA．1 B．2 C．3 D．44．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為()A． B． C． D．5．若點(diǎn)在圓外，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．或6．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．7．根據(jù)下面莖葉圖提供了甲、乙兩組數(shù)據(jù)，可以求出甲、乙的中位數(shù)分別為（）A．24和29 B．26和29 C．26和32 D．31和298．“結(jié)繩計(jì)數(shù)”是遠(yuǎn)古時(shí)期人類智慧的結(jié)晶，即人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量.如圖所示的是一位農(nóng)民記錄自己采摘果實(shí)的個(gè)數(shù).在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿四進(jìn)一.根據(jù)圖示可知，農(nóng)民采摘的果實(shí)的個(gè)數(shù)是（）A．493 B．383 C．183 D．1239．已知實(shí)心鐵球的半徑為，將鐵球熔成一個(gè)底面半徑為、高為的圓柱，則()A． B． C． D．10．下列說法正確的是（）A．銳角是第一象限的角，所以第一象限的角都是銳角;B．如果向量，則；C．在中，記，，則向量與可以作為平面ABC內(nèi)的一組基底；D．若，都是單位向量，則.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一個(gè)扇形的半徑是，弧長是，則圓心角的弧度數(shù)為________.12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則______.13．我國南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術(shù)”，即的，其中分別為內(nèi)角的對(duì)邊.若，且則的面積的最大值為____．14．若圓:與圓:相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，則公共弦的長度是______.15．已知，，則______．16．若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知三棱柱（如圖所示），底面為邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（3）求三棱錐的體積.18．在三棱柱中，平面ABC，，，D，E分別為AB，中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：四邊形為平行四邊形；（Ⅲ）求證：平面平面.19．在公比不為1的等比數(shù)列中，，且依次成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：20．已知圓經(jīng)過、、三點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦的長為，求直線的傾斜角．21．在中，已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，，的面積.（1）求邊的長；（2）求的外接圓的半徑.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】試題分析：由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得：，故選擇B考點(diǎn)：等比中項(xiàng)的性質(zhì)2、A【解題分析】

由條件求出數(shù)列的公比．再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)求和公式即可得出．【題目詳解】公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則，即.所以,所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3、C【解題分析】

由題意得5×3421+【題目詳解】由題意得5×3421+解得b1則b2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線性方程組的解法，以及增廣矩陣的概念，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.4、D【解題分析】

利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可求的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，故，故選D.【題目點(diǎn)撥】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.5、C【解題分析】

先由表示圓可得，然后將點(diǎn)代入不等式即可解得答案【題目詳解】由表示圓可得，即因?yàn)辄c(diǎn)在圓外所以，即綜上：a的取值范圍是故選：C【題目點(diǎn)撥】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）在圓外（2）在圓上（3）在圓內(nèi)6、C【解題分析】要使函數(shù)有意義，需使，即，所以故選C7、B【解題分析】

根據(jù)莖葉圖，將兩組數(shù)據(jù)按大小順序排列，因?yàn)槭?2個(gè)數(shù)，所以中位數(shù)即為中間兩數(shù)的平均數(shù).【題目詳解】從莖葉圖知都有12個(gè)數(shù)，所以中位數(shù)為中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)甲中間兩個(gè)數(shù)為25，27，所以中位數(shù)是26乙中間兩個(gè)數(shù)為28，30，所以中位數(shù)是29故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了莖葉圖和中位數(shù)，平均數(shù)，還考查了數(shù)據(jù)處理的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

根據(jù)題意將四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)即可.【題目詳解】根據(jù)題干知滿四進(jìn)一,則表示四進(jìn)制數(shù),將四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù),得到故答案為:C.【題目點(diǎn)撥】本題以數(shù)學(xué)文化為載體，考查了進(jìn)位制等基礎(chǔ)知識(shí)，注意運(yùn)用四進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

根據(jù)變化前后體積相同計(jì)算得到答案.【題目詳解】故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了球體積，圓柱體積，抓住變化前后體積不變是解題的關(guān)鍵.10、C【解題分析】

可舉的角在第一象限，但不是銳角，可判斷A；考慮兩向量是否為零向量，可判斷B；由不共線，推得與不共線，可判斷C；考慮兩向量的方向可判斷D，得到答案．【題目詳解】對(duì)于A，銳角是第一象限的角，但第一象限的角不一定為銳角，比如的角在第一象限，但不是銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果兩個(gè)非零向量滿足，則，若存在零向量，結(jié)論不一定成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，記，可得與不共線，則向量與可以作為平面內(nèi)的一組基底，故C正確；對(duì)于D，若都是單位向量，且方向相同時(shí)，；若方向不相同，結(jié)論不成立，所以D錯(cuò)誤．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了命題的真假判斷，主要是向量共線和垂直的條件，著重考查了判斷能力和分析能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】

直接根據(jù)弧長公式，可得．【題目詳解】因?yàn)?，所以，解得【題目點(diǎn)撥】本題主要考查弧長公式的應(yīng)用．12、【解題分析】

對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行整理，再求其前項(xiàng)和，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)則，可得到，從而求出，得到答案.【題目詳解】所以所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，由數(shù)列的通項(xiàng)求前項(xiàng)和，數(shù)列的極限，屬于中檔題.13、【解題分析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求積”公式即可求得答案．【題目詳解】因?yàn)椋哉砜傻?，由正弦定理得因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，的面積的最大值為【題目點(diǎn)撥】本題用到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正弦公式，正弦定理等，考查學(xué)生分析問題的能力和計(jì)算整理能力．14、【解題分析】

根據(jù)兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后兩圓相減求出公共弦的直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到公共弦的距離，進(jìn)而求出公共弦長.【題目詳解】由題意，圓圓心坐標(biāo)，半徑，圓圓心坐標(biāo),半徑，因?yàn)閮蓤A相交于點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，所以是直角三角形，，所以，由兩點(diǎn)間距離公式，，所以，解得，所以圓：，兩圓方程相減，得，即，所以公共弦：，圓心到公共弦的距離，故公共弦長故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩圓公共弦的方程、圓弦長的求法和點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的分析能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

由，然后利用兩角差的正切公式可計(jì)算出的值.【題目詳解】.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解題的關(guān)鍵就是弄清所求角與已知角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】記甲、乙兩人相鄰而站為事件A甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排的所有排法有=6，則甲、乙兩人相鄰而站的戰(zhàn)法有=4種站法∴=三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析（3）【解題分析】

（1）在平面找一條直線平行即可．（2）在平面內(nèi)找兩條相交直線垂直即可．（3）三棱錐即可【題目詳解】（1）連接，因?yàn)橹崩庵?，則為矩形，則為的中點(diǎn)連接，在中，為中位線，則平面（2）連接，底面底面底面①為正邊的中點(diǎn)②由①②及平面（3）因?yàn)槿〉闹悬c(diǎn)，連接，則平面，即為高，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與平面平行，直線與平面垂直的證明，以及三棱錐的體積公式，證明直線與平面平行往往轉(zhuǎn)化成證明直線與直線平行．屬于中等題．18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）只需證明，，即可得平面；（Ⅱ）可得四邊形為平行四邊形，，，即可得四邊形為平行四邊形；（Ⅲ）易得平面，即可得平面平面.【題目詳解】（Ⅰ）∵平面，∴，又，，而，∴平面.（Ⅱ）∵、分別為、的中點(diǎn)，∴，，即四邊形為平行四邊形，∴，，∴四邊形為平行四邊形.（Ⅲ）∵，為中點(diǎn)，∴，又∵，且，∴平面，而平面，∴平面平面.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)見證明【解題分析】

（1）根據(jù)已知條件得到關(guān)于的方程組，解方程組得的值，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，，再利用裂項(xiàng)相消法求，不等式即得證.【題目詳解】（1）設(shè)公比為，，，成等差數(shù)列，可得，即，解得（舍去），或，又，解得所以.（2）故，得【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，考查裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）或.【解題分析】

（1）設(shè)出圓的一般方程，然后代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組可解得；（2）討論直線的斜率是否存在，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離和勾股定理列式可得直線的傾斜角．【題目詳解】（1）設(shè)圓的一般方程為，將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入圓的方程得，解得，所以，圓的一般方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即直線到圓心的距離為，滿足題意，此時(shí)直線的傾斜角為；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，此時(shí)，直線的傾斜角為.綜上所述，直線的傾斜角為或.【題目點(diǎn)撥】本題考查圓的方程的求解，同時(shí)也考查了利用直線截圓的弦長求直線的