2024屆江西省玉山一中數(shù)學高一第二學期期末考試試題含解析

2024屆江西省玉山一中數(shù)學高一第二學期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若且，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．2．等差數(shù)列中，則（）A．8 B．6 C．4 D．33．已知向量若與平行，則實數(shù)的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．24．在中，角的對邊分別為，若，則的最小值是（）A．5 B．8 C．7 D．65．設等比數(shù)列的公比，前項和為，則（）A． B． C． D．6．從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動，則甲被選中的概率為（）A． B． C． D．7．設正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比（）A． B． C． D．8．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈：A．281盞 B．9盞 C．6盞 D．3盞9．已知兩點，，若點是圓上的動點，則△面積的最小值是A． B．6 C．8 D．10．已知數(shù)列an滿足a1=1，aA．32021-18 B．32020二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為直線，為平面，下列四個命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的序號是______．12．已知直線分別與x軸、y軸交于A，B兩點，則等于________.13．已知1，，，，4成等比數(shù)列，則______.14．已知正實數(shù)x，y滿足2x+y=2，則xy的最大值為______.15．在上，滿足的的取值范圍是______.16．已知函數(shù)f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列和中，數(shù)列的前n項和為,若點在函數(shù)的圖象上，點在函數(shù)的圖象上．設數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）求數(shù)列的最大值.18．某地合作農(nóng)場的果園進入盛果期，果農(nóng)利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道銷售蘋果，蘋果單果直徑不同則單價不同，為了更好的銷售，現(xiàn)從該合作農(nóng)場果園的蘋果樹上隨機摘下了50個蘋果測量其直徑，經(jīng)統(tǒng)計，其單果直徑分布在區(qū)間內(nèi)（單位：)，統(tǒng)計的莖葉圖如圖所示：（Ⅰ)按分層抽樣的方法從單果直徑落在，的蘋果中隨機抽取6個，則從，的蘋果中各抽取幾個？（Ⅱ)從（Ⅰ)中選出的6個蘋果中隨機抽取2個，求這兩個蘋果單果直徑均在內(nèi)的概率；（Ⅲ)以此莖葉圖中單果直徑出現(xiàn)的頻率代表概率，若該合作農(nóng)場的果園有20萬個蘋果約5萬千克待出售，某電商提出兩種收購方案：方案：所有蘋果均以5.5元/千克收購；方案：按蘋果單果直徑大小分3類裝箱收購，每箱裝25個蘋果，定價收購方式為：單果直徑在內(nèi)按35元/箱收購，在內(nèi)按45元/箱收購，在內(nèi)按55元/箱收購.包裝箱與分揀裝箱費用為5元/箱（該費用由合作農(nóng)場承擔).請你通過計算為該合作農(nóng)場推薦收益最好的方案.19．在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.20．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）.（1）若，求x的值；（2）若，求x的值.21．某校為創(chuàng)建“綠色校園”，在校園內(nèi)種植樹木，有A、B、C三種樹木可供選擇，已知這三種樹木6年內(nèi)的生長規(guī)律如下：A樹木：種植前樹木高0.84米，第一年能長高0.1米，以后每年比上一年多長高0.2米；B樹木：種植前樹木高0.84米，第一年能長高0.04米，以后每年生長的高度是上一年生長高度的2倍；C樹木：樹木的高度（單位：米）與生長年限（單位：年，）滿足如下函數(shù)：（表示種植前樹木的高度，?。?）若要求6年內(nèi)樹木的高度超過5米，你會選擇哪種樹木？為什么？（2）若選C樹木，從種植起的6年內(nèi)，第幾年內(nèi)生長最快？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

利用不等式的性質(zhì)對四個選項逐一判斷.【題目詳解】選項A:，符合，但不等式不成立，故本選項是錯誤的；選項B:當符合已知條件，但零沒有倒數(shù)，故不成立，故本選項是錯誤的；選項C:當時，不成立，故本選項是錯誤的；選項D:因為，所以根據(jù)不等式的性質(zhì)，由能推出，故本選項是正確的，因此本題選D.【題目點撥】本題考查了不等式的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，舉特例是解決這類問題的常見方法.2、D【解題分析】

設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，求解，進而可求得，即可得到答案.【題目詳解】由題意，設等差數(shù)列的公差為，則，即，又由，故選D.【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應用，其中解答中設等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的通項公式化簡求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3、D【解題分析】

因為，所以由于與平行，得，解得.4、D【解題分析】

先化簡條件中的等式，利用余弦定理整理得到等式，然后根據(jù)等式利用基本不等式求解最小值.【題目詳解】由，得，化簡整理得，，即，當且僅當，即時，取等號．故選D．【題目點撥】本題考查正、余弦定理在邊角化簡中的應用，難度一般.對于利用基本不等求最值的時候，一定要注意取到等號的條件.5、C【解題分析】

利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出,利用等比數(shù)列的通項公式表示出，計算即可得出答案?！绢}目詳解】因為，所以故選C【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，屬于基礎題。6、C【解題分析】分析：用列舉法得出甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動的事件數(shù)，從而可求甲被選中的概率.詳解：從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動，包括：甲乙；甲丙；甲??；乙丙；乙??；丙丁6種情況，甲被選中的概率為.故選C.點睛：本題考查用列舉法求基本事件的概率，解題的關鍵是確定基本事件，屬于基礎題.7、D【解題分析】

根據(jù)題意，求得，結(jié)合，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，正項等比數(shù)列滿足，，即，，所以，又由，因為，所以.故選：D.【題目點撥】本題主要考查了的等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前n項和公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前n項和公式，合理運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8、D【解題分析】

設塔的頂層共有盞燈，得到數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項公式，即可求解．【題目詳解】設塔的頂層共有盞燈，則數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，所以，解得，即塔的頂層共有3盞燈，故選D．【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式的應用，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．9、A【解題分析】

求得圓的方程和直線方程以及，利用三角換元假設，利用點到直線距離公式和三角函數(shù)知識可求得，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意知，圓的方程為：，直線方程為：，即設點到直線的距離：，其中當時，本題正確選項：【題目點撥】本題考查點到直線距離的最值的求解問題，關鍵是能夠利用三角換元的方式將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求解問題.10、B【解題分析】

由題意得出3n+1-12<an+2【題目詳解】∵an+1-又∵an+2-∵an∈Z，∴于是得到a3上述所有等式全部相加得a2019因此，a2019【題目點撥】本題考查數(shù)列項的計算，考查累加法的應用，解題的關鍵就是根據(jù)題中條件構造出等式an+2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、③④【解題分析】

①和②均可以找到不符合題意的位置關系，則①和②錯誤；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理和空間中的平行垂直關系可知③和④正確.【題目詳解】若，此時或，①錯誤；若，此時或異面，②錯誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可知，若，則，③正確；兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條直線必垂直于該平面，可知④正確本題正確結(jié)果：③④【題目點撥】本題考查空間中的平行與垂直關系相關命題的判斷，考查學生對于平行與垂直的判定和性質(zhì)的掌握情況.12、5【解題分析】

分別求得A，B的坐標，再用兩點間的距離公式求解.【題目詳解】根據(jù)題意令得所以令得所以所以故答案為：5【題目點撥】本題主要考查點坐標的求法和兩點間的距離公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.13、2【解題分析】

因為1，，，，4成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，再利用，確定取值.【題目詳解】因為1，，，，4成等比數(shù)列，所以，所以或，又因為，所以.故答案為:2【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，還考查運算求解的能力，屬于基礎題.14、【解題分析】

由基本不等式可得，可求出xy的最大值.【題目詳解】因為，所以，故，當且僅當時，取等號.故答案為.【題目點撥】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③等號取得的條件.15、【解題分析】

由，結(jié)合三角函數(shù)線，即可求解，得到答案.【題目詳解】如圖所示，因為，所以滿足的的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，以及三角函數(shù)線的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.16、－1【解題分析】

分n為偶數(shù)和奇數(shù)求得數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等差數(shù)列，然后利用分組求和得答案．【題目詳解】若n為偶數(shù)，則an＝f（n）+f（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣（2n+1），偶數(shù)項為首項為a2＝﹣5，公差為﹣4的等差數(shù)列；若n為奇數(shù)，則an＝f（n）+f（n+1）＝﹣n2+（n+1）2＝2n+1，奇數(shù)項為首項為a1＝3，公差為4的等差數(shù)列．∴a1+a2+a3+…+a1＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a1）1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了等差數(shù)列前n項和的求法，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）先根據(jù)題設知，再利用求得，驗證符合，最后答案可得．

（2）由題設可知，把代入，然后用錯位相減法求和；（3）計算，判斷其大于零時的范圍，可得數(shù)列取最大值時的項數(shù)，進而可得最大值..【題目詳解】解：（1）由已知得：，∵當時，，又當時，符合上式．（2）由已知得：①②②-①可得：（3）令，得：，又且，即為最大，故最大值為.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列的遞推式解決數(shù)列的通項公式和求和問題，考查數(shù)列最大項的求解，是中檔題.18、（Ⅰ)4個；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是【解題分析】

（Ⅰ）單果直徑落在，，，的蘋果個數(shù)分別為6，12，分層抽樣的方法從單果直徑落在，，，的蘋果中隨機抽取6個，單果直徑落在，，，的蘋果分別抽取2個和4個；（Ⅱ）從這6個蘋果中隨機抽取2個，基本事件總數(shù)，這兩個蘋果單果直徑均在，內(nèi)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這兩個蘋果單果直徑均在，內(nèi)的概率；（Ⅲ）分別求出按方案與方案該合作農(nóng)場收益，比較大小得結(jié)論．【題目詳解】（Ⅰ)由莖葉圖可知，單果直徑落在，的蘋果分別為6個，12個，依題意知抽樣比為，所以單果直徑落在的蘋果抽取個數(shù)為個，單果直徑落在的蘋果抽取個數(shù)為個（Ⅱ）記單果直徑落在的蘋果為，，記單果直徑落在的蘋果為，若從這6個蘋果中隨機抽取2個，則所有可能結(jié)果為：，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件的總數(shù)為15個.這兩個蘋果單果直徑均落在內(nèi)包含的基本事件個數(shù)為6個，所以這兩個蘋果單果直徑均落在內(nèi)的概率為.（Ⅲ）按方案：該合作農(nóng)場收益為：（萬元）；按方案：依題意可知合作農(nóng)場的果園共有萬箱，即8000箱蘋果，則該合作農(nóng)場收益為：元，即為31.36萬元因為，所以為該合作農(nóng)場推薦收益最好的方案是.【題目點撥】本題考查概率、最佳方案的確定，考查莖葉圖等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解題分析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關系，然后利用余弦定理可得的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【題目詳解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因為，得到，.由余弦定理可得.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，從而，.故.【題目點撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎知識.考查計算求解能力.20、（1）.（2）1.【解題分析】

（1）利用向量平行的代數(shù)形式得到x的值；（2）由數(shù)量積的坐標形式得到x的方程，解之即可.【題目詳解】（1）∵∥，∴2x﹣15=0，解得x=．（2）8﹣=（6，3），∵（8﹣）?=30，∴18+3x=30，解得x=1．【題目點撥】平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙?利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù).21、（1）選擇C；（2）第4或第5年.【解題分析】

（1）根據(jù)已知求出三種樹木六年末的高度，判斷得解；（2）設為第年內(nèi)樹木生長的高度，先求出，