山西省懷仁市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

山西省懷仁市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．某幾何體的直觀圖如圖所示，是的直徑，垂直所在的平面，且，為上從出發(fā)繞圓心逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)的一動(dòng)點(diǎn).若設(shè)弧的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)度為關(guān)于的函數(shù)，則的圖像大致為（）A． B．C． D．3．已知，，則（）A．1 B．2 C． D．34．已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則為A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形5．已知直線：是圓的對(duì)稱(chēng)軸.過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（）A．2 B． C．6 D．6．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，己知A=60°，，則B=（）A．45° B．135° C．45°或135° D．以上都不對(duì)7．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則等于（）A．24 B．32 C．48 D．648．若，且，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．9．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，定義向量，，．下列命題中真命題是()A．若對(duì)任意的，都有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列B．若對(duì)任意的，都有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列C．若對(duì)任意的，都有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列D．若對(duì)任意的，都有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列10．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)數(shù)列（）是等差數(shù)列，若和是方程的兩根，則數(shù)列的前2019項(xiàng)的和________12．若數(shù)列的前項(xiàng)和，滿(mǎn)足，則______．13．已知三個(gè)事件A，B，C兩兩互斥且，則P(A∪B∪C)=__________.14．如圖，兩個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為2，.將繞旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與平面的距離最大值為_(kāi)_____.15．已知，則的值為_(kāi)_______．16．在中，角所對(duì)的邊分別為.若,，則角的大小為_(kāi)___________________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某工廠提供了節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)產(chǎn)品過(guò)程中的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)．（1）請(qǐng)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)產(chǎn)量為（噸）的生產(chǎn)能耗．相關(guān)公式：，．18．若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱(chēng)函數(shù)有“和一點(diǎn)”.（1）函數(shù)是否有“和一點(diǎn)”？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：有“和一點(diǎn)”.19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，等式成立？20．已知函數(shù)（1）求的定義域；（2）設(shè)是第三象限角，且，求的值.21．若數(shù)列中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱(chēng)為“等比源數(shù)列”。（1）在無(wú)窮數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在（1）的結(jié)論下，試判斷數(shù)列是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結(jié)論；（3）已知無(wú)窮數(shù)列為等差數(shù)列，且，（），求證：數(shù)列為“等比源數(shù)列”.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】畫(huà)出表示的可行域，如圖所示的開(kāi)放區(qū)域，平移直線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，直線在縱軸上的截距取得最大值，此時(shí)有最小值，無(wú)最大值，的取值范圍是，故選A.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.2、A【解題分析】如圖所示，設(shè)，則弧長(zhǎng)，線段，作于當(dāng)在半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，即，由余弦函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)時(shí)，即運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)有最小值，只有選項(xiàng)適合，又由對(duì)稱(chēng)性知選，故選A.3、A【解題分析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解.【題目詳解】因?yàn)?,所以,所以,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

由向量的減法法則，將題中等式化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得到，由此可得以為鄰邊的平行四邊形為矩形，得的形狀是直角三角形?！绢}目詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，由此可得以為鄰邊的平行四邊形為矩形，所以，得的形狀是直角三角形?！绢}目點(diǎn)撥】本題給出向量等式，判斷三角形的形狀，著重考查平面向量的加法、減法法則和三角形的形狀判斷等知識(shí)。5、C【解題分析】試題分析：直線l過(guò)圓心，所以，所以切線長(zhǎng)，選C.考點(diǎn)：切線長(zhǎng)6、A【解題分析】

利用正弦定理求出的值，再結(jié)合，得出，從而可得出的值?！绢}目詳解】由正弦定理得，，，則，所以，，故選：A?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理解三角形，要注意正弦定理所適用的基本情形，同時(shí)在求得角時(shí)，利用大邊對(duì)大角定理或兩角之和不超過(guò)得出合適的答案，考查計(jì)算能力，屬于中等題。7、D【解題分析】試題分析：依題意可知，，，，所以.即，故，，，.，所以，又可知.,故.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)、數(shù)列的遞推公式8、A【解題分析】

將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)式利用基本不等式求出的最小值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式，解出即可.【題目詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.由題意可得，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題以及一元二次不等式的解法，對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為最值來(lái)處理，考查計(jì)算能力，屬于中等題．9、A【解題分析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，得到，利用累乘法，求得，從而可作出判定，得到答案．【題目詳解】由題意知，向量，，，當(dāng)時(shí)，可得，即，所以，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．當(dāng)，可得，即，所以，所以數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的平行關(guān)系的坐標(biāo)表示，等差數(shù)列的定義，以及“累乘法”求解通項(xiàng)公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】試題分析：選項(xiàng)A中，條件應(yīng)為；選項(xiàng)B中當(dāng)時(shí)不成立；選項(xiàng)D中，結(jié)論應(yīng)為；C正確．考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2019【解題分析】

根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，再利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)得到，然后利用等差數(shù)列求和公式可得出答案.【題目詳解】由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，由等差數(shù)列的性質(zhì)得出，因此，等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，涉及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中等題.12、【解題分析】

令，得出，令，由可計(jì)算出在時(shí)的表達(dá)式，然后就是否符合進(jìn)行檢驗(yàn)，由此可得出.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則.也適合.綜上所述，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用求，一般利用來(lái)計(jì)算，但需要對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、0.9【解題分析】

先計(jì)算，再計(jì)算【題目詳解】故答案為0.9【題目點(diǎn)撥】本題考查了互斥事件的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解題分析】

繞旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，點(diǎn)的軌跡是圓.過(guò)作平面平面，交平面于.的軌跡在平面內(nèi).畫(huà)出圖像，根據(jù)圖像判斷出圓的下頂點(diǎn)距離平面的距離最大，解三角形求得這個(gè)距離的最大值.【題目詳解】繞旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，故點(diǎn)的軌跡是圓.過(guò)作平面平面，交平面于.的軌跡在平面內(nèi).畫(huà)出圖像如下圖所示，根據(jù)圖像作法可知，當(dāng)位于圓心的正下方點(diǎn)位置時(shí)，到平面的距離最大.在平面內(nèi)，過(guò)作，交于.在中，,.所以①.其中，，所以①可化為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查旋轉(zhuǎn)體的概念，考查空間點(diǎn)到面的距離的最大值的求法，考查空間想象能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.15、【解題分析】

由題意利用誘導(dǎo)公式求得的值，可得要求式子的值．【題目詳解】，則，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正弦定理，考查了同學(xué)們解決三角形問(wèn)題的能力．由得，所以由正弦定理得，所以A=或（舍去）、三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）可以預(yù)測(cè)產(chǎn)量為（噸）的生產(chǎn)能耗為（噸）【解題分析】

（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出，，，代入回歸系數(shù)的公式可求得，再根據(jù)回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)即可求解.由（1）將代入即可求解.【題目詳解】（1）由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求得，，，，代入回歸系數(shù)的公式，求得，則，故線性回歸方程為．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，則可以預(yù)測(cè)產(chǎn)量為（噸）的生產(chǎn)能耗為（噸）．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程，需掌握回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)這一特征，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）解方程即可判斷；（2）由題轉(zhuǎn)化為2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分離參數(shù)a＝2x﹣2求值域即可求解；（3）由題意判斷方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．【題目詳解】（1）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，則不合題意故不存在（2）若函數(shù)f（x）＝2x+a+2x有“和一點(diǎn)”.則方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，即a＝2x﹣2有解，故a＞﹣2；（3）證明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），即cos（x+1）＝cosx+cos1，即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx＝cos1，即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1＝cos1，故存在θ，故cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ），∵cos21﹣（2﹣2cos1）＝cos21+2cos1﹣2＜cos22cos22＜0，故01，故方程cos（x+1）＝cosx+cos1有解，即f（x）＝cosx函數(shù)有“和一點(diǎn)”.【題目點(diǎn)撥】本題考查了新定義及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題是關(guān)鍵，是中檔題19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，得出，解出該不等式即可得出函數(shù)的定義域；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出關(guān)于的方程，解出即可.【題目詳解】（1）由，得，所以，函數(shù)定義域?yàn)?；?）由，得，即，可得：，即，即，或，由于，得，所以，不合題意，所以，當(dāng)時(shí)，等式成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算以及簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)方程的求解，解題時(shí)不要忽略真數(shù)大于零這一條件的限制，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）由分母不為0可求得排煙閥；（2）由同角間的三角函數(shù)關(guān)系求得，由兩角差的余弦公式展開(kāi)，再由二倍角公式化為單角的函數(shù)，最后代入的值可得．【題目詳解】（1）由得，，所以，，故的定義域?yàn)椋ù鸢笇?xiě)成“”也正確）（2）因?yàn)?，且是第三象限角，所以由可解得?故.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查應(yīng)用兩角差的余弦公式和二倍角公式求值．三角函數(shù)求值時(shí)一般要先化簡(jiǎn)再求值，這樣計(jì)算可以更加簡(jiǎn)便，保證正確．21、（1）；（2）不是，證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）由，可得出，則數(shù)列為等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可間接求出；（2）假設(shè)數(shù)列為“等比源數(shù)列”，則此數(shù)列中存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，可得出，展開(kāi)后得出，然后利用數(shù)的奇偶性即可得出結(jié)論；（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，假設(shè)存在三項(xiàng)使得，展開(kāi)得出，從而可得知，當(dāng)，時(shí)，原命題成立.【題目詳解】（1），得，即，且.所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，因此，；（2）數(shù)列不是“等比源數(shù)列”，下面用反證法來(lái)證明.假設(shè)數(shù)列是“等比源數(shù)列”，則存在三項(xiàng)、、，設(shè).由于數(shù)列為單調(diào)遞增的正項(xiàng)數(shù)列，則，所以.得，化簡(jiǎn)得，等式兩邊同時(shí)除以得