2023屆江西省南昌市高三二模數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級(jí)中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1江西省南昌市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以，由，即，可得，所以，所以.故選：D．2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗復(fù)數(shù)滿足，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.3.已知數(shù)列，若，則（）A.9 B.11 C.13 D.15〖答案〗B〖解析〗由，令，則，則，令，則，則.故選：B.4.已知函數(shù)，命題，使得，命題，當(dāng)時(shí)，都有，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗命題p：當(dāng)時(shí)，，所以，即，則，使得，故命題p為假命題；命題q：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，故命題q為真命題.則命題為真，故A正確；命題為假，故B錯(cuò)誤；命題為假，故C錯(cuò)誤；命題為假，故D錯(cuò)誤.故選：A.5.已知拋物線的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，若圓M過(guò)點(diǎn)且與直線l相切，則圓M與y軸相交所得弦長(zhǎng)是（）A. B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，，則準(zhǔn)線為，設(shè)，因?yàn)閳AM與直線l相切，所以圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又圓M過(guò)點(diǎn)，所以①.又②，由①②，解得，則，設(shè)圓M與y軸交于點(diǎn)B、C，則.故選：D.6.如圖，A，B，C是正方體的頂點(diǎn)，，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，若三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取的中點(diǎn)，連接，則當(dāng)點(diǎn)P的軌跡為(含邊界)時(shí)，三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，此時(shí)若P與M重合，最小，且最小值為1，若P與Q重合，最大，且最大值為，所以的取值范圍為.故選：D.7.已知單位向量滿足，則的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記的夾角為，則，由，即，兩邊平方，得，即，即，則，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以，又，則．故選：C．8.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，綜上，.故選：A．9.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)順序不變，對(duì)任意的，在數(shù)列的與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則（）A.4056 B.4096 C.8152 D.8192〖答案〗C〖解析〗插入組共個(gè)，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個(gè)．，∵，∴，又?jǐn)?shù)列的前13項(xiàng)和為，故選：C．10.已知正四面體的棱長(zhǎng)為，現(xiàn)截去四個(gè)全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個(gè)八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小值為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，正四面體中，棱長(zhǎng)為；頂點(diǎn)在面BCD的投射影為的中心，正四面體外接球球心為點(diǎn)（截去四個(gè)全等的小正四面體之后得到的八面體的外接球球心同樣為點(diǎn)）．為中點(diǎn)，，，，在中，，在中，，又，則，即，解得，則，設(shè)小正四面體的棱長(zhǎng)，為上面小正四面體底面中心，則．由題意，八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器，則八面體的外接球半徑．在中，，則，即，解得．所以截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小值為．故選：B．11.已知正實(shí)數(shù)a使得函數(shù)有且只有三個(gè)不同零點(diǎn)，若，則下列的關(guān)系式中，正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，由得：，即，令，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)與函數(shù)的圖象共有三個(gè)公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，它們有公共點(diǎn)，如圖，因此直線必過(guò)點(diǎn)，令直線與函數(shù)的圖象另一交點(diǎn)為，與函數(shù)的圖象另一交點(diǎn)為，顯然，且有，由得：，即，而，于是，由得：，即，而，于是，由得：，即，D正確；對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，函數(shù)在上遞增，即有，因此，則，而，從而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋舫闪?，則必有，令，，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，而，因此函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根分別在區(qū)間內(nèi)，令，，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，而，因此函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根分別在區(qū)間內(nèi)，顯然直線與函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)有4個(gè)，不符合題意，所以，即不正確，C錯(cuò)誤.故選：D.12.中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙?jiān)⒋炭p等工藝，與中國(guó)人的生活息息相連．燈籠成了中國(guó)人喜慶的象征．經(jīng)過(guò)歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚簟⒓槿缫獾鯚舾饕粋€(gè)隨機(jī)掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚?、吉祥如意吊燈為．先求僅相鄰的種數(shù)，把看作一個(gè)元素，當(dāng)排在首尾時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在五個(gè)位置中第二、第四位時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在第三個(gè)位置時(shí)，不同的排法有種，故僅相鄰共有種排法，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，也都有種排法，所以有且僅有一種類型燈籠相鄰的概率為．故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知隨機(jī)變量X的分布列為X01P0.20.40.4則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列為X01P0.20.40.4所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，故〖答案〗為：14.已知變量x，y滿足，則的最大值為________．〖答案〗2〖解析〗如圖，作出不等式組所對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃區(qū)域：，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，取得最大值，最大值為，故〖答案〗為：2.15.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則________．〖答案〗〖解析〗若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，不妨令，則，由，得，由，得，所以，即整理，得，其中為常數(shù)，有，解得，所以.故〖答案〗為：.16.足球是大眾喜愛的運(yùn)動(dòng)，足球比賽中，傳球球員的傳球角度、接球球員的巧妙跑位都讓觀眾贊不絕口．甲、乙兩支球隊(duì)一場(chǎng)比賽的某一時(shí)刻，三位球員站位如圖所示，其中A，B點(diǎn)站的是甲隊(duì)隊(duì)員，C點(diǎn)站的是乙隊(duì)隊(duì)員，，這兩平行線間的距離為，，點(diǎn)B在直線l上，且，這時(shí)，站位A點(diǎn)球員傳球給站位B點(diǎn)隊(duì)友（傳球球員能根據(jù)隊(duì)友跑位調(diào)整傳球方向及控制傳球力度，及時(shí)準(zhǔn)確傳到接球點(diǎn)），記傳球方向與的夾角為，已知站位B，C兩點(diǎn)隊(duì)員跑動(dòng)速度都是，現(xiàn)要求接球點(diǎn)滿足下面兩個(gè)條件：①站位B點(diǎn)隊(duì)員能至少比站位C點(diǎn)隊(duì)員早跑到接球點(diǎn)；②接球點(diǎn)在直線l的左側(cè)（包括l）；則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)接球點(diǎn)為，若，得點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，即，設(shè)直線與雙曲線的右支交于（在的上方），令，則，所以，則接球點(diǎn)為位于雙曲線右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)或邊界，則，，因?yàn)橹本€的傾斜角與互補(bǔ)，由圖可知，.故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.如圖是函數(shù)的部分圖象，已知．（1）求；（2）若，求．解：（1）恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算即可的解.設(shè)，函數(shù)的最小正周期為T，則，則，故，解得(負(fù)值舍去)，所以，所以；（2）由（1）得，，得，即，所以，又因，則，所以，所以.18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，點(diǎn)E在線段上，，平面平面．（1）求；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取AB的中點(diǎn)O，連接BD、DO，過(guò)P作DO的平行線PG，在菱形ABCD中，，則為等邊三角形，得，且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，由，則平面，又平面，所以，由，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由，得，取PA的中點(diǎn)F，連接OF，則，所以，，有，設(shè)，則，由，得，即，.設(shè)，則，有，由，得，解得，即；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，得，令，則，所以，又，所以，故直線DE與平面CDP所成角的正弦值為.19.一地質(zhì)探測(cè)隊(duì)為探測(cè)一礦中金屬鋰的分布情況，先設(shè)了1個(gè)原點(diǎn)，再確定了5個(gè)采樣點(diǎn)，這5個(gè)采樣點(diǎn)到原點(diǎn)距離分別為，其中，并得到了各采樣點(diǎn)金屬鋰的含量，得到一組數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到如下統(tǒng)計(jì)量的值：，，，，，其中．（1）利用相關(guān)系數(shù)判斷與哪一個(gè)更適宜作為y關(guān)于x的回歸模型；（2）建立y關(guān)于x的回歸方程．參考公式：回歸方程中斜率、截距的最小二乘估計(jì)公式、相關(guān)系數(shù)公式分別為，，；參考數(shù)據(jù)：．解：（1）若用作回歸模型，，，所以相關(guān)系數(shù)，若用作為回歸模型，相關(guān)系數(shù)，比較與，，，因?yàn)?，所以用作為y關(guān)于x的回歸模型方程；（2）由（1），，，，，則y關(guān)于x的回歸方程為.20.已知橢圓的焦距為，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)的直線斜率分別為，直線與直線的交點(diǎn)分別為B，P．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，直線與x軸的交點(diǎn)為R，記的面積為，的面積為，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)橹本€的斜率為，所以，焦距，因此，解得，所以橢圓的方程是；（2）因?yàn)?，所以直線的方程為，聯(lián)立，整理得．則，故，則．所以．又直線的方程為．聯(lián)立，解得．，因?yàn)椋?，所以?1.已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）已知，若存在，使得成立，求證：．（1）解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；所以的極大值為，無(wú)極小值．（2）證明：不妨設(shè)，因?yàn)?，則，即，所以，由，則，，即，所以即，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上為增函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.“太極圖”是關(guān)于太極思想的圖示，其形狀如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”．在平面直角坐標(biāo)系中，“太極圖”是一個(gè)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓，其中黑、白區(qū)域分界線，為兩個(gè)圓心在軸上的半圓，在太極圖內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)和分界線的極坐標(biāo)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與分界線，分別交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．解：（1）設(shè)點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為，，，則，，∵點(diǎn)在第三象限，∴，∴點(diǎn)一個(gè)極坐標(biāo)為.∵“太極圖”是一個(gè)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓，∴分界線的圓心直角坐標(biāo)為，半徑為，∴的直角坐標(biāo)方程為（），即（），將，，代入上式，得，，化簡(jiǎn)，得分界線的極坐標(biāo)方程為，.（2）∵在上，∴設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)為，則，，∴的面積∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，的面積的最大值為.∵直線過(guò)原點(diǎn)分別與，交于點(diǎn)，，∴由圖形的對(duì)稱性易知，，∴面積，∴面積的最大值為.選修4-5：不等式選講23.已知．（1）在給出的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；（2）若在上恒成立，求的最小值．解：（1）其圖象如下圖所示：（2）由（1）知函數(shù)與軸的交點(diǎn)為和，結(jié)合函數(shù)和圖象可以知道，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或或時(shí)，由圖可知在上不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，，而的值有負(fù)數(shù)，可知在上不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，只需，則在上恒成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，令，則，要在上恒成立，則，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．綜上：的最小值為3.江西省南昌市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以，由，即，可得，所以，所以.故選：D．2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗復(fù)數(shù)滿足，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.3.已知數(shù)列，若，則（）A.9 B.11 C.13 D.15〖答案〗B〖解析〗由，令，則，則，令，則，則.故選：B.4.已知函數(shù)，命題，使得，命題，當(dāng)時(shí)，都有，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗命題p：當(dāng)時(shí)，，所以，即，則，使得，故命題p為假命題；命題q：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，故命題q為真命題.則命題為真，故A正確；命題為假，故B錯(cuò)誤；命題為假，故C錯(cuò)誤；命題為假，故D錯(cuò)誤.故選：A.5.已知拋物線的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，若圓M過(guò)點(diǎn)且與直線l相切，則圓M與y軸相交所得弦長(zhǎng)是（）A. B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，，則準(zhǔn)線為，設(shè)，因?yàn)閳AM與直線l相切，所以圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又圓M過(guò)點(diǎn)，所以①.又②，由①②，解得，則，設(shè)圓M與y軸交于點(diǎn)B、C，則.故選：D.6.如圖，A，B，C是正方體的頂點(diǎn)，，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，若三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取的中點(diǎn)，連接，則當(dāng)點(diǎn)P的軌跡為(含邊界)時(shí)，三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，此時(shí)若P與M重合，最小，且最小值為1，若P與Q重合，最大，且最大值為，所以的取值范圍為.故選：D.7.已知單位向量滿足，則的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記的夾角為，則，由，即，兩邊平方，得，即，即，則，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以，又，則．故選：C．8.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，綜上，.故選：A．9.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)順序不變，對(duì)任意的，在數(shù)列的與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則（）A.4056 B.4096 C.8152 D.8192〖答案〗C〖解析〗插入組共個(gè)，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個(gè)．，∵，∴，又?jǐn)?shù)列的前13項(xiàng)和為，故選：C．10.已知正四面體的棱長(zhǎng)為，現(xiàn)截去四個(gè)全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個(gè)八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小值為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，正四面體中，棱長(zhǎng)為；頂點(diǎn)在面BCD的投射影為的中心，正四面體外接球球心為點(diǎn)（截去四個(gè)全等的小正四面體之后得到的八面體的外接球球心同樣為點(diǎn)）．為中點(diǎn)，，，，在中，，在中，，又，則，即，解得，則，設(shè)小正四面體的棱長(zhǎng)，為上面小正四面體底面中心，則．由題意，八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器，則八面體的外接球半徑．在中，，則，即，解得．所以截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小值為．故選：B．11.已知正實(shí)數(shù)a使得函數(shù)有且只有三個(gè)不同零點(diǎn)，若，則下列的關(guān)系式中，正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，由得：，即，令，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)與函數(shù)的圖象共有三個(gè)公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，它們有公共點(diǎn)，如圖，因此直線必過(guò)點(diǎn)，令直線與函數(shù)的圖象另一交點(diǎn)為，與函數(shù)的圖象另一交點(diǎn)為，顯然，且有，由得：，即，而，于是，由得：，即，而，于是，由得：，即，D正確；對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，函數(shù)在上遞增，即有，因此，則，而，從而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋舫闪?，則必有，令，，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，而，因此函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根分別在區(qū)間內(nèi)，令，，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，而，因此函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根分別在區(qū)間內(nèi)，顯然直線與函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)有4個(gè)，不符合題意，所以，即不正確，C錯(cuò)誤.故選：D.12.中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙?jiān)?、刺縫等工藝，與中國(guó)人的生活息息相連．燈籠成了中國(guó)人喜慶的象征．經(jīng)過(guò)歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚簟⒓槿缫獾鯚舾饕粋€(gè)隨機(jī)掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚?、吉祥如意吊燈為．先求僅相鄰的種數(shù)，把看作一個(gè)元素，當(dāng)排在首尾時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在五個(gè)位置中第二、第四位時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在第三個(gè)位置時(shí)，不同的排法有種，故僅相鄰共有種排法，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，也都有種排法，所以有且僅有一種類型燈籠相鄰的概率為．故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知隨機(jī)變量X的分布列為X01P0.20.40.4則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列為X01P0.20.40.4所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，故〖答案〗為：14.已知變量x，y滿足，則的最大值為________．〖答案〗2〖解析〗如圖，作出不等式組所對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃區(qū)域：，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，取得最大值，最大值為，故〖答案〗為：2.15.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則________．〖答案〗〖解析〗若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，不妨令，則，由，得，由，得，所以，即整理，得，其中為常數(shù)，有，解得，所以.故〖答案〗為：.16.足球是大眾喜愛的運(yùn)動(dòng)，足球比賽中，傳球球員的傳球角度、接球球員的巧妙跑位都讓觀眾贊不絕口．甲、乙兩支球隊(duì)一場(chǎng)比賽的某一時(shí)刻，三位球員站位如圖所示，其中A，B點(diǎn)站的是甲隊(duì)隊(duì)員，C點(diǎn)站的是乙隊(duì)隊(duì)員，，這兩平行線間的距離為，，點(diǎn)B在直線l上，且，這時(shí)，站位A點(diǎn)球員傳球給站位B點(diǎn)隊(duì)友（傳球球員能根據(jù)隊(duì)友跑位調(diào)整傳球方向及控制傳球力度，及時(shí)準(zhǔn)確傳到接球點(diǎn)），記傳球方向與的夾角為，已知站位B，C兩點(diǎn)隊(duì)員跑動(dòng)速度都是，現(xiàn)要求接球點(diǎn)滿足下面兩個(gè)條件：①站位B點(diǎn)隊(duì)員能至少比站位C點(diǎn)隊(duì)員早跑到接球點(diǎn)；②接球點(diǎn)在直線l的左側(cè)（包括l）；則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)接球點(diǎn)為，若，得點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，設(shè)，則，因?yàn)椋?，解得，即，設(shè)直線與雙曲線的右支交于（在的上方），令，則，所以，則接球點(diǎn)為位于雙曲線右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)或邊界，則，，因?yàn)橹本€的傾斜角與互補(bǔ)，由圖可知，.故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.如圖是函數(shù)的部分圖象，已知．（1）求；（2）若，求．解：（1）恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算即可的解.設(shè)，函數(shù)的最小正周期為T，則，則，故，解得(負(fù)值舍去)，所以，所以；（2）由（1）得，，得，即，所以，又因，則，所以，所以.18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，點(diǎn)E在線段上，，平面平面．（1）求；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取AB的中點(diǎn)O，連接BD、DO，過(guò)P作DO的平行線PG，在菱形ABCD中，，則為等邊三角形，得，且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，由，則平面，又平面，所以，由，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由，得，取PA的中點(diǎn)F，連接OF，則，所以，，有，設(shè)，則，由，得，即，.設(shè)，則，有，由，得，解得，即；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，得，令，則，所以，又，所以，故直線DE與平面CDP所成角的正弦值為.19.一地質(zhì)探測(cè)隊(duì)為探測(cè)一礦中金屬鋰的分布情況，先設(shè)了1個(gè)原點(diǎn)，再確定了5個(gè)采樣點(diǎn)，這5個(gè)采樣點(diǎn)到原點(diǎn)距離分別為，其中，并得到了各采樣點(diǎn)金屬鋰的含量，得到一組數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到如下統(tǒng)計(jì)量的值：，，，，，其中．（1）利用相關(guān)系數(shù)判斷與哪一個(gè)更適宜作為y關(guān)于x的回歸模型；（2）建立y關(guān)于x的回歸方程．參考公式：回歸方程中斜率、截距的最小二乘估計(jì)公式、相關(guān)系數(shù)公式分別為，，；參考數(shù)據(jù)：．解：（1）若用作回歸模型，，，所以相關(guān)系數(shù)，若用作為回歸模型，相關(guān)系數(shù)，比較與，，，因?yàn)椋杂米鳛閥關(guān)于x的回歸模型方程；（2）由（1），，，，，則y關(guān)于x的回歸方程為.20.已知橢圓的焦距為，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)的直線斜率分別為，直線與直線的交點(diǎn)分別為B，P