2018全國卷II高考數(shù)學理科試題含答案解析

./絕密★啟用前2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1．答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．作答時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A.B.C.D.[答案]D[解析]分析：根據(jù)復數(shù)除法法則化簡復數(shù),即得結(jié)果.詳解：選D.點睛：本題考查復數(shù)除法法則,考查學生基本運算能力.2.已知集合,則中元素的個數(shù)為A.9B.8C.5D.4[答案]A[解析]分析：根據(jù)枚舉法,確定圓及其內(nèi)部整點個數(shù).詳解：,當時,；當時,；當時,；所以共有9個,選A.點睛：本題考查集合與元素關(guān)系,點與圓位置關(guān)系,考查學生對概念理解與識別.3.函數(shù)的圖像大致為A.AB.BC.CD.D[答案]B[解析]分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性,確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù),舍去A,舍去D;,所以舍去C；因此選B.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路〔1由函數(shù)的定義域,判斷圖象左右的位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復．4.已知向量,滿足,,則A.4B.3C.2D.0[答案]B[解析]分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.詳解：因為所以選B.點睛：向量加減乘：5.雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為A.B.C.D.[答案]A[解析]分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系,進而得a,b關(guān)系,再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程,得結(jié)果.詳解：因為漸近線方程為,所以漸近線方程為,選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.6.在中,,,,則A.B.C.D.[答案]A[解析]分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因為所以,選A.點睛：解三角形問題,多為邊和角的求值問題,這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系,從而達到解決問題的目的.7.為計算,設(shè)計了下面的程序框圖,則在空白框中應(yīng)填入A.B.C.D.[答案]B[解析]分析：根據(jù)程序框圖可知先對奇數(shù)項累加,偶數(shù)項累加,最后再相減.因此累加量為隔項.詳解：由得程序框圖先對奇數(shù)項累加,偶數(shù)項累加,最后再相減.因此在空白框中應(yīng)填入,選B.點睛：算法與流程圖的考查,側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學問題,是求和還是求項.8.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是"每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和",如．在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是A.B.C.D.[答案]C[解析]分析：先確定不超過30的素數(shù),再確定兩個不同的數(shù)的和等于30的取法,最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個,隨機選取兩個不同的數(shù),共有種方法,因為,所以隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的有3種方法,故概率為,選C.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：<1>列舉法.<2>樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有"有序"與"無序"區(qū)別的題目,常采用樹狀圖法.<3>列表法：適用于多元素基本事件的求解問題,通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.<4>排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.9.在長方體中,,,則異面直線與所成角的余弦值為A.B.C.D.[答案]C[解析]分析：先建立空間直角坐標系,設(shè)立各點坐標,利用向量數(shù)量積求向量夾角,再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標原點,DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則,所以,因為,所以異面直線與所成角的余弦值為,選C.點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于"四破"：第一,破"建系關(guān)",構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二,破"求坐標關(guān)",準確求解相關(guān)點的坐標；第三,破"求法向量關(guān)",求出平面的法向量；第四,破"應(yīng)用公式關(guān)".10.若在是減函數(shù),則的最大值是A.B.C.D.[答案]A[解析]分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間,再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值詳解：因為,所以由得因此,從而的最大值為,選A.點睛：函數(shù)的性質(zhì)：<1>.<2>周期<3>由求對稱軸,<4>由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.11.已知是定義域為的奇函數(shù),滿足．若,則A.B.0C.2D.50[答案]C[解析]分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期,再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因為是定義域為的奇函數(shù),且,所以,因此,因為,所以,,從而,選C.點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．12.已知,是橢圓的左,右焦點,是的左頂點,點在過且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的離心率為A.B.C.D.[答案]D[解析]分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系,即得離心率.詳解：因為為等腰三角形,,所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得,,由正弦定理得,所以,選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式,再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式,而建立關(guān)于的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點處的切線方程為__________．[答案][解析]分析：先求導數(shù),再根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率,最后根據(jù)點斜式求切線方程.詳解：點睛：求曲線的切線要注意"過點P的切線"與"在點P處的切線"的差異,過點P的切線中,點P不一定是切點,點P也不一定在已知曲線上,而在點P處的切線,必以點P為切點.14.若滿足約束條件則的最大值為__________．[答案]9[解析]分析：先作可行域,再平移直線,確定目標函數(shù)最大值的取法.詳解：作可行域,則直線過點A<5,4>時取最大值9.點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一,準確無誤地作出可行域；二,畫目標函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯；三,一般情況下,目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.15.已知,,則__________．[答案][解析]分析：先根據(jù)條件解出再根據(jù)兩角和正弦公式化簡求結(jié)果.詳解：因為,,所以,因此點睛：三角函數(shù)求值的三種類型<1>給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式,以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).<2>給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當變換已知式,求得另外函數(shù)式的值,以備應(yīng)用；②變換待求式,便于將已知式求得的函數(shù)值代入,從而達到解題的目的.<3>給值求角：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為"給值求值",先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍,確定角.16.已知圓錐的頂點為,母線,所成角的余弦值為,與圓錐底面所成角為45°,若的面積為,則該圓錐的側(cè)面積為__________．[答案][解析]分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑,最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果.因為與圓錐底面所成角為45°,所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為點睛：本題考查線面角,圓錐的側(cè)面積,三角形面積等知識點,考查學生空間想象與運算能力三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題,考生根據(jù)要求作答。學科&網(wǎng)〔一必考題：共60分。17.記為等差數(shù)列的前項和,已知,．〔1求的通項公式；〔2求,并求的最小值．[答案]〔1an=2n–9,〔2Sn=n2–8n,最小值為–16．[解析]分析：〔1根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式,求出公差,再代入等差數(shù)列通項公式得結(jié)果,〔2根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得的二次函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.詳解：〔1設(shè){an}的公差為d,由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項公式為an=2n–9．〔2由〔1得Sn=n2–8n=〔n–42–16．所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為–16．點睛：數(shù)列是特殊的函數(shù),研究數(shù)列最值問題,可利用函數(shù)性質(zhì),但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件.18.下圖是某地區(qū)20XX至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額〔單位：億元的折線圖．為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)20XX至2016年的數(shù)據(jù)〔時間變量的值依次為建立模型①：；根據(jù)20XX至2016年的數(shù)據(jù)〔時間變量的值依次為建立模型②：．〔1分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值；〔2你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．[答案]〔1利用模型①預測值為226.1,利用模型②預測值為256.5,〔2利用模型②得到的預測值更可靠．[解析]分析：〔1兩個回歸直線方程中無參數(shù),所以分別求自變量為2018時所對應(yīng)的函數(shù)值,就得結(jié)果,〔2根據(jù)折線圖知2000到2009,與2010到2016是兩個有明顯區(qū)別的直線,且2010到2016的增幅明顯高于2000到2009,也高于模型1的增幅,因此所以用模型2更能較好得到2018的預測.詳解：〔1利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值為=–30.4+13.5×19=226.1〔億元．利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值為=99+17.5×9=256.5〔億元．〔2利用模型②得到的預測值更可靠．理由如下：〔i從折線圖可以看出,20XX至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=–30.4+13.5t上下,這說明利用20XX至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢．20XX相對20XX的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,20XX至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近,這說明從20XX開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用20XX至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述20XX以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預測值更可靠．〔ii從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預測值更可靠．以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．點睛：若已知回歸直線方程,則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預測值；若回歸直線方程有待定參數(shù),則根據(jù)回歸直線方程恒過點求參數(shù).19.設(shè)拋物線的焦點為,過且斜率為的直線與交于,兩點,．〔1求的方程；〔2求過點,且與的準線相切的圓的方程．[答案]<1>y=x–1,<2>或．[解析]分析：<1>根據(jù)拋物線定義得,再聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用韋達定理代入求出斜率,即得直線的方程；〔2先求AB中垂線方程,即得圓心坐標關(guān)系,再根據(jù)圓心到準線距離等于半徑得等量關(guān)系,解方程組可得圓心坐標以及半徑,最后寫出圓的標準方程.詳解：〔1由題意得F〔1,0,l的方程為y=k〔x–1〔k>0．設(shè)A〔x1,y1,B〔x2,y2．由得．,故．所以．由題設(shè)知,解得k=–1〔舍去,k=1．因此l的方程為y=x–1．〔2由〔1得AB的中點坐標為〔3,2,所以AB的垂直平分線方程為,即．設(shè)所求圓的圓心坐標為〔x0,y0,則解得或因此所求圓的方程為或．點睛：確定圓的方程方法<1>直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標和半徑,進而寫出方程．<2>待定系數(shù)法①若已知條件與圓心和半徑有關(guān),則設(shè)圓的標準方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組,從而求出的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組,進而求出D、E、F的值．20.如圖,在三棱錐中,,,為的中點．〔1證明：平面；〔2若點在棱上,且二面角為,求與平面所成角的正弦值．[答案]〔1見解析〔2[解析]分析：<1>根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC,再通過計算,根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B,最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論,<2>根據(jù)條件建立空間直角坐標系,設(shè)立各點坐標,根據(jù)方程組解出平面PAM一個法向量,利用向量數(shù)量積求出兩個法向量夾角,根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補關(guān)系列方程,解得M坐標,再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角,最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果.詳解：〔1因為,為的中點,所以,且.連結(jié).因為,所以為等腰直角三角形,且,.由知.由知平面.〔2如圖,以為坐標原點,的方向為軸正方向,建立空間直角坐標系.由已知得取平面的法向量.設(shè),則.設(shè)平面的法向量為.由得,可取,所以.由已知得.所以.解得〔舍去,.所以.又,所以.所以與平面所成角的正弦值為.點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于"四破"：第一,破"建系關(guān)",構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二,破"求坐標關(guān)",準確求解相關(guān)點的坐標；第三,破"求法向量關(guān)",求出平面的法向量；第四,破"應(yīng)用公式關(guān)".21.已知函數(shù)．〔1若,證明：當時,；〔2若在只有一個零點,求．[答案]〔1見解析〔2詳解：〔1當時,等價于．設(shè)函數(shù),則．當時,,所以在單調(diào)遞減．而,故當時,,即．〔2設(shè)函數(shù)．在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．〔i當時,,沒有零點；〔ii當時,．當時,；當時,．所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若,即,在沒有零點；②若,即,在只有一個零點；③若,即,由于,所以在有一個零點,由〔1知,當時,,所以．故在有一個零點,因此在有兩個零點．綜上,在只有一個零點時,．點睛：利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法<1>利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.<2>分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域<最值>問題求解.<3>轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.〔二選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。22.[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為〔為參數(shù),直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù).〔1求和的直角坐標方程；〔2若曲線截直線所得線段的中點坐標為,求的斜率．[答案]〔1當時,的直角坐標方程為,當時,的直角坐標方程為．〔2[解析]分析：<1>根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,此時要注意分與兩種情況.<2>將直線參數(shù)方程代入