大連交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)(E)1應(yīng)試指南(第1-7章)

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)知識要點：會求給定函數(shù)的自然定義域（用導(dǎo)數(shù)研究奇偶性凹凸性的時候要用到）會求反函數(shù)（第二換元積分法要用到）會判斷一個函數(shù)是否有界，掌握奇偶性和單調(diào)性的基本概念（這三個性質(zhì)很多地方要用到）數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義（極限研究的是當(dāng)自變量發(fā)生某種變化時，函數(shù)值是否無限接近于某個確定的實數(shù)值）會求左右極限（判斷間斷點和求左右導(dǎo)數(shù)的時候要用到）有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小無窮小和無窮大之間互為倒數(shù)掌握高階，同階，等價，階無窮小的基本概念幾個重要的等價無窮?。寒?dāng)時，如果，則：，，，，，，極限的四則運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則：如果關(guān)于變量連續(xù)，則：12、準(zhǔn)則I（夾逼準(zhǔn)則）：如果數(shù)列及滿足下列條件:（1）;（2）那末數(shù)列的極限存在,且單調(diào)遞增有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限兩個重要極限：（1）如果時，，則：（2）如果時，，則：當(dāng)求極限的函數(shù)是幾個無窮小的積和商時可以進(jìn)行等價無窮小替換，和差的時候不可以會判斷函數(shù)在一點是否連續(xù)函數(shù)的間斷點及其分類：第一類間斷點：跳躍間斷點，可去間斷點；第二類間斷點：無窮間斷點，振蕩間斷點；會判斷是哪種類型的間斷點連續(xù)函數(shù)之間的和差積商都是連續(xù)的，兩連續(xù)函數(shù)的復(fù)合也是連續(xù)的，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大最小值定理，有界性定理，零點定理，介值定理會求函數(shù)的水平漸近線和垂直漸近線注意事項：討論函數(shù)連續(xù)性的時候，對于分段函數(shù)，若在每個小的開區(qū)間上為初等函數(shù)，則在此開區(qū)間上必連續(xù)；而在分隔點處，先求在分隔點處的左右極限然后與函數(shù)值進(jìn)行比較，如間斷必須判右兩側(cè)二階導(dǎo)符號發(fā)生變化）不是單調(diào)性發(fā)生變化的點，拐點是圖像上的一個點，既有橫坐標(biāo)又有縱坐標(biāo)用洛必達(dá)法則求極限的時候，只要是未定式，我們總是先用洛比達(dá)法則直到求出最后結(jié)果，如果最后的結(jié)果是個有限的實數(shù)或者為無窮大，則中間的推導(dǎo)過程是成立的，而如果最后發(fā)現(xiàn)極限不存在且也不是無窮大，則中間的過程是錯誤的，需要用其他的方法來計算這個極限找出函數(shù)所有不可導(dǎo)點，一般在定義域里找導(dǎo)函數(shù)沒有意義的點，同理找函數(shù)所有二階導(dǎo)不存在的點，通常是找二階導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式?jīng)]有意義的點如果題目里限定了自變量的取值范圍，即給出了定義域的時候，就不要跑出定義域在函數(shù)沒有意義的區(qū)間上討論單調(diào)性和凹凸性第四章不定積分知識要點：理解的不定積分指的是函數(shù)的所有原函數(shù)，而所有原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)，所以如果已知是的一個原函數(shù)，則不定積分的性質(zhì)：一、多個（只要有限個都成立）函數(shù)之和的不定積分等于不定積分之和。二、第一換元積分法：如果已知是的一個原函數(shù)，則：4、第一換元積分法常見的幾種類型：5、形式的不定積分，，均為偶數(shù)時，考慮用倍角公式，否則誰奇就拆誰6、（）形式的不定積分，不是令（）為就是令（）為7、第二換元積分法：如果單調(diào)可導(dǎo)，則：被積函數(shù)中如果含有，則令，，注意此時被積函數(shù)中如果含有或時，令或，注意這里是在用第二換元積分法，要先反解出關(guān)于的函數(shù)掌握分部積分公式：對于有理函數(shù)的不定積分：，當(dāng)被積函數(shù)為假分式的時候，先把被積函數(shù)用多項式除法分解為一個多項式和真分式之和，然后再求不定積分對于真分式的不定積分：一、二、對于第一個不定積分可由第一換元法解出；而對于第二個不定積分，當(dāng)分母判別式大于零時，此時分母可因式分解，用真分式分解可解。當(dāng)分母判別式等于零時，分母為完全平方項，令分母的一次因式為中間變量用第一換元積分法轉(zhuǎn)化為的不定積分進(jìn)而得解。當(dāng)分母判別式小于零時，分母為完全平方項加上一個正數(shù)，可轉(zhuǎn)化為的不定積分進(jìn)而得解；注意事項：1、表示的是所有原函數(shù)，中間過程和最后結(jié)果都不要忘了，當(dāng)計算一個復(fù)雜的不定積分時，如果在計算過程中前面算某個不定積分時已經(jīng)使用了代表任意常數(shù)，后面使用的其他任意常數(shù)要和區(qū)別一下，不要使用同一個符號2、用第一換元積分法的時候，要想令，就要在被積函數(shù)里湊出來這個因式，然后3、不管是用第一還是第二換元法，最后的結(jié)果都要轉(zhuǎn)化成關(guān)于原變量的函數(shù)，當(dāng)使用第二換元法時，注意的單調(diào)性要求對取值范圍的限制，這往往會影響開根號時的符號問題4、我們使用分部積分公式是想把一個不容易計算的不定積分，轉(zhuǎn)化為一個更容易求出的另一個不定積分，那么事先就要考慮應(yīng)該對誰求導(dǎo)對誰取原函數(shù)，用幾次分部積分公式可以求出。第五章定積分知識要點：1、在閉區(qū)間上的定積分，表示的是函數(shù)圖像與軸所圍成的曲邊梯形（夾在直線與之間那部分）位于軸上方圖形的面積減去位于軸下方圖形的面積，是由一個極限的形式來定義的：2、熟記定積分的七個性質(zhì)，尤其是定級分中值定理：，這里以及：（8）當(dāng)時,(9)掌握積分上限函數(shù)及其求導(dǎo)公式：更復(fù)雜的情形：牛頓—萊布尼茲公式：若函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù),則還可以表示為：定積分第一換元法：定積分第二換元法：

7、定積分的分部積分公式：對于有理函數(shù)的定積分，可先求出有理函數(shù)的不定積分，然后用牛頓--萊布尼茲公式解出對于無窮區(qū)間上的三種反常積分：這里是的一個原函數(shù)，當(dāng)極限存在時，我們稱反常積分收斂，反之則稱反常積分發(fā)散；當(dāng)極限存在時，我們稱反常積分收斂，反之則稱反常積分發(fā)散；當(dāng)和極限都存在時，我們稱反常積分收斂，反之則稱反常積分發(fā)散。10、如果是奇函數(shù)，則；如果是偶函數(shù)，則。注意事項：1、也是個積分上限函數(shù)，是個關(guān)于變量的函數(shù)，且有：2、定積分的值只與積分上下限和被積函數(shù)有關(guān)，與積分變量無關(guān)：當(dāng)使用定積分的第一第二換元積分法的時候，因為積分變量要發(fā)生變化，所以積分變量的取值范圍也必然要發(fā)生相應(yīng)變化，注意一定要變更相應(yīng)的積分上限和積分下限見到形式比較復(fù)雜的定積分，如果積分區(qū)間關(guān)于原點對稱，則注意觀察被積函數(shù)是否是一個奇函數(shù)與某個簡單函數(shù)之和第六章定積分的應(yīng)用知識要點：掌握微元法的基本思想和基本步驟：微元法即如何把待求的物理量（總量）表示為定積分的方法：第一步：選取合適的積分變量及其變化區(qū)間第二步：在區(qū)間上計算總量落在此極小區(qū)間上部分分量的近似值（的微元）：第三步：將物理量表示為定積分，并計算出定積分的值：用微元法計算平面圖形的面積（直角坐標(biāo)系及參數(shù)坐標(biāo)系下）：第一步：選取合適的積分變量及其變化區(qū)間（注：參數(shù)坐標(biāo)系下，也是要么選擇，要么選擇，這一步不要選參變量做積分變量）第二步：計算總面積落在極小區(qū)間上部分分量（在區(qū)間長度極小時近似于一個矩形）的近似值（將其當(dāng)作矩形計算出來的小矩形的面積）：（注：如果是在參數(shù)坐標(biāo)系下，會遇到這樣的問題：如果選擇積分變量為，在計算小矩形面積時需要將其表示為的形式，此時不用解出關(guān)于的表達(dá)式，如果關(guān)于只有一個解則用來代替，如果有兩個，則一個用，另一個用；積分變量是時同理）第三步：將總面積表示為定積分，并計算出定積分的值：（注：參數(shù)坐標(biāo)系下，要對定積分表達(dá)式應(yīng)用第二換元積分法將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于參變量的定積分，然后再求解）用微元法計算旋轉(zhuǎn)體的體積：第一步：選取合適的積分變量及其變化區(qū)間（繞哪個軸旋轉(zhuǎn)就選哪個軸做積分變量）第二步：計算總體積落在極小區(qū)間上部分分量（在區(qū)間長度極小時近似于一個圓柱或圓環(huán)）的近似值（將其當(dāng)作圓柱或圓環(huán)計算出來的小圓柱或小圓環(huán)的體積）：第三步：將總體積表示為定積分，并計算出定積分的值：掌握曲線求弧長的公式：（一）直角坐標(biāo)系下：所求光滑曲線的弧長：（二）直角坐標(biāo)系下：所求光滑曲線的弧長：（三）參數(shù)坐標(biāo)系下：所求光滑曲線的弧長：第七章微分方程知識要點：微分方程:含有自變量，未知函數(shù)及其各階導(dǎo)函數(shù)的方程微分方程的階：未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)通解：所有的解（階微分方程的通解表達(dá)式中含個任意常數(shù)）特解：某一個解微分方程的積分曲線：解的圖像初始條件:用來確定通解中個任意常數(shù)的條件，一般有個初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題 掌握可分離變量的微分方程的解法：如果一個一階微分方程可以化為：的形式，則稱此微分方程為可分離變量的微分方程，解法如下：對等號兩邊同時取不定積分，得到隱式通解（隱函數(shù)形式的通解）如果可以從隱式通解中反解出顯函數(shù)形式的解則繼續(xù)求解，否則停止掌握齊次方程的解法：如果一個一階微分方程可以化為：的形式，則稱此微分方程為齊次方程，解法如下：作變量替換：，則原方程轉(zhuǎn)化為一個變量可分離微分方程：求解此變量可分離方程，并在通解表達(dá)式中代入，從而得到原方程的通解掌握一階線性微分方程的解法：如果一個一階微分方程可以化為：的形式，則稱此微分方程為一階線性微分方程。時方程稱為齊次的；否則，方程稱為非齊次的。一階非齊次線性微分方程解法如下：寫出對應(yīng)的一階齊次線性微分方程（實際上是個變量可分離的微分方程），并求出此齊次方程的通解把齊次方程通解表達(dá)式中的任意常數(shù)替換為（常數(shù)變易法），設(shè)此函數(shù)為原方程的通解并代入原方程（等號左邊必然有兩項可以消掉）從上述方程中求出，進(jìn)而得到原方程的通解掌握可降階的高階微分方程的解法：一、型的微分方程解法：對取次不定積分二、型的微分方程解法：（一）令，則原方程轉(zhuǎn)化為：（二）求出通解：，即，對取不定積分即得出原方程通解對于二階線性微分方程：齊次：非齊次：兩個函數(shù)線性相關(guān)：其中某個函數(shù)是另一個函數(shù)的常數(shù)倍兩個函數(shù)線性無關(guān)：任何一個函數(shù)都不是另一個函數(shù)的常數(shù)倍定理1：如果函數(shù)與是方程(1)的兩個線性無關(guān)的特解,則即為(1)的通解定理2：如果函數(shù)與是方程(2)對應(yīng)齊次方程（1）的兩線性無關(guān)的特解，是方程（2）的一個特解，則方程（2）的通解為：定理3：如果函數(shù)與是方程(2)的兩個特解，則必為其對應(yīng)齊次方程（1）的一個特解掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程：的解法：第一步：寫出對應(yīng)的特征方程：第二步：（一）如果特征方程有兩個不相等的實根和，則通解為：（二）如果特征方程有兩相等實根，則通解為：（三）如果特征方程有一對共軛的復(fù)根：，；則通解為掌握一