2024屆上海市羅店中學數學高一第二學期期末教學質量檢測試題含解析

2024屆上海市羅店中學數學高一第二學期期末教學質量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，若，則（）A． B． C． D．2．某班有男生30人，女生20人，按分層抽樣方法從班級中選出5人負責校園開放日的接待工作．現(xiàn)從這5人中隨機選取2人，至少有1名男生的概率是（）A． B． C． D．3．已知是邊長為4的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是（）A． B． C． D．4．設x、y滿足約束條件，則z＝2x﹣y的最大值為（）A．0 B．0.5 C．1 D．25．已知函數，且此函數的圖象如圖所示，由點的坐標是（）A． B． C． D．6．在直角坐標系中，直線的傾斜角是A． B． C． D．7．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，，且平面，為的中點，則下列結論錯誤的是（）A． B．C．平面平面 D．三棱錐的體積為8．平面向量與的夾角為，，，則A． B．12 C．4 D．9．已知等差數列共有10項，其中奇數項之和15，偶數項之和為30，則其公差是（）A．5 B．4 C．3 D．210．在天氣預報中，有“降水概率預報”，例如預報“明天降水的概率為80%”，這是指（）A．明天該地區(qū)有80%的地方降水，有20%的地方不降水B．明天該地區(qū)降水的可能性為80%C．氣象臺的專家中有80%的人認為會降水，另外有20%的專家認為不降水D．明天該地區(qū)有80%的時間降水，其他時間不降水二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設公比為q(q＞0)的等比數列{an}的前n項和為{Sn}．若，，則q＝______________．12．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知,,，則______．13．在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為__________.14．函數f(x)＝coscos的最小正周期為________．15．等差數列，，存在正整數，使得，，若集合有4個不同元素，則的可能取值有______個.16．函數的最小正周期___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某市電視臺為了宣傳舉辦問答活動，隨機對該市15～65歲的人群抽樣了人，回答問題統(tǒng)計結果如圖表所示．組號

分組

回答正確

的人數

回答正確的人數

占本組的概率

第1組

5

0.5

第2組

0.9

第3組

27

第4組

0.36

第5組

3

(Ⅰ)分別求出的值；(Ⅱ)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，則第2,3,4組每組應各抽取多少人?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，電視臺決定在所抽取的6人中隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎，求:所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運獎的概率．18．已知數列中，．.（1）寫出、、；（2）猜想的表達式，并用數學歸納法證明．19．已知函數.（1）求證：；（2）若角滿足，求銳角的取值范圍.20．已知函數.（1）求的值；（2）設，求的值.21．如圖，在長方體中，，點為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面的夾角．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由已知利用余弦定理即可解得的值．【題目詳解】解：，，，由余弦定理可得：，解得：，故選：A．【題目點撥】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．2、D【解題分析】

由題意，男生30人，女生20人，按照分層抽樣方法從中抽取5人，則男生為人，女生為，從這5人中隨機選取2人，共有種，全是女生的只有1種，所以至少有1名女生的概率為，故選D.3、A【解題分析】

建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，利用向量坐標運算和平面向量的數量積的運算，求得最小值，即可求解.【題目詳解】由題意，以中點為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，則，設，則，所以，所以當時，取得最小值為，故選A.【題目點撥】本題主要考查了平面向量數量積的應用問題，根據條件建立坐標系，利用坐標法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.4、C【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案．【題目詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（2，3），化目標函數z＝2x﹣y為y＝2x﹣z，由圖可知，當直線y＝2x﹣z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2×2﹣3＝1．故選：C．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．5、B【解題分析】

先由函數圖象與軸的相鄰兩個交點確定該函數的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再將點代入函數解析式，并結合函數在該點附近的單調性求出的值，即可得出答案。【題目詳解】解：由圖象可得函數的周期∴，得，將代入可得，∴（注意此點位于函數減區(qū)間上）∴由可得，∴點的坐標是，故選：B．【題目點撥】本題考查利用圖象求三角函數的解析式，其步驟如下：①求、：，；②求：利用一些關鍵點求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入關鍵點求出初相，如果代對稱中心點要注意附近的單調性。6、A【解題分析】

先根據直線的方程，求出它的斜率，可得它的傾斜角．【題目詳解】在直角坐標系中，直線的斜率為，等于傾斜角的正切值，故直線的傾斜角是，故選．【題目點撥】本題主要考查直線的傾斜角和斜率的求法．7、B【解題分析】

根據余弦定理可求得，利用勾股定理證得，由線面垂直性質可知，利用線面垂直判定定理可得平面，利用線面垂直性質可知正確；假設正確，由和假設可證得平面，由線面垂直性質可知，從而得到，顯然錯誤，則錯誤；由面面垂直判定定理可證得正確；由可求得三棱錐體積，知正確，從而可得選項.【題目詳解】，，平面，平面又平面，平面平面，則正確；若，又且平面，平面平面又，與矛盾，假設錯誤，則錯誤；平面，平面又平面平面平面，則正確；為中點，，則正確本題正確選項：【題目點撥】本題考查立體幾何中相關命題的判斷，涉及到線面垂直的判定與性質定理的應用、面面垂直關系的判定、三棱錐體積的求解等知識，是對立體幾何部分的定理的綜合考查，關鍵是能夠準確判定出圖形中的線面垂直關系.8、D【解題分析】

根據，利用向量數量積的定義和運算律即可求得結果.【題目詳解】由題意得：，本題正確選項：【題目點撥】本題考查向量模長的求解，關鍵是能夠通過平方運算將問題轉化為平面向量數量積的求解問題，屬于常考題型.9、C【解題分析】，故選C.10、B【解題分析】

降水概率指的是降水的可能性，根據概率的意義作出判斷即可.【題目詳解】“明天降水的概率為80%”指的是“明天該地區(qū)降水的可能性是80%”，且明天下雨的可能性比較大，故選：B.【題目點撥】本題主要考查了概率的意義，掌握概率是反映出現(xiàn)的可能性大小的量是解題的關鍵，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】將，兩個式子全部轉化成用，q表示的式子．即，兩式作差得：，即：，解之得：(舍去)12、30°【解題分析】

直接利用正弦定理得到或，再利用大角對大邊排除一個答案.【題目詳解】即或，故，故故答案為【題目點撥】本題考查了正弦定理，沒有利用大角對大邊排除一個答案是容易發(fā)生的錯誤.13、【解題分析】

根據余弦定理，可得，然后利用均值不等式，可得結果.【題目詳解】在中，，由，所以又，當且僅當時取等號故故的最小值為故答案為：【題目點撥】本題考查余弦定理以及均值不等式，屬基礎題.14、2【解題分析】f(x)＝coscos＝cos·sin＝sinπx，最小正周期為T＝＝215、4【解題分析】

由題意得為周期數列，集合有4個不同元素，得，在分別對取值討論即可.【題目詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，，由題意，存在正整數，使得，又集合有4個不同元素，得，當時，，即，，或（舍），，取，則，在單位圓上的4個等分點可取到4個不同的正弦值，即集合可取4個不同元素；當，，即，，在單位圓上的5個等分點不可能取到4個不同的正弦值，故舍去；同理可得：當，，，集合可取4個不同元素；當時，，單位圓上至少9個等分點取4個不同的正弦值，必有至少3個相等的正弦值，不符合集合的元素互異性，故不可取應舍去.故答案：4.【題目點撥】本題考查等差數列的通項公式、集合元素的性質以及三角函數的周期性，理解分析問題能力，屬于難題.16、【解題分析】

利用兩角和的正弦公式化簡函數表達式，由此求得函數的最小正周期.【題目詳解】依題意，故函數的周期.故填：.【題目點撥】本小題主要考查兩角和的正弦公式，考查三角函數最小正周期的求法，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)第2組抽人；第3組抽3人；第4組抽1人；（III）.【解題分析】

(Ⅰ)由頻率表中第1組數據可知,第1組總人數為,再結合頻率分布直方圖可知∴=100×0.020×10×0.9=18,b=100×0.025×10×0.36=9,,(Ⅱ)第2,3,4組中回答正確的共有54人．∴利用分層抽樣在54人中抽取6人，每組分別抽取的人數為:第2組:人,第3組:人,第4組:人．(Ⅲ)設第2組的2人為、,第3組的3人為、、,第4組的1人為,則從6人中抽2人所有可能的結果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件,其中第2組至少有1人被抽中的有，，，，，，，，這9個基本事件．∴第2組至少有1人獲得幸運獎的概率為本題考查分層抽樣方法、統(tǒng)計基礎知識與等可能事件的概率．注意等可能事件中的基本事件數的準確性．18、（1），，；（2）猜想，證明見解析.【解題分析】

（1）利用遞推公式可計算出、、的值；（2）根據數列的前四項可猜想出，然后利用數學歸納法即可證明出猜想成立.【題目詳解】（1），，則，，；（2）猜想，下面利用數學歸納法證明.假設當時成立，即，那么當時，，這說明當時，猜想也成立.由歸納原理可知，.【題目點撥】本題考查利用數列遞推公式寫出數列中的項，同時也考查了利用數學歸納法證明數列通項公式，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）根據函數的解析式化簡計算可得出；（2）由（1）得，由，可得，并推導出函數為上的增函數，可得出，由為銳角可得出，由此可得出銳角的取值范圍.【題目詳解】（1），；（2）任取、，且，，，，，所以，函數是上的增函數，由（1）知：即，由，得，又，即有，故有，即，為銳角，則，，的取值范圍是.【題目點撥】本題考查利用解析式化簡計算，同時也考查了利用函數的單調性解不等式，涉及三角不等式的求解，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）直接帶入求值；（2）將和直接帶入函數，會得到和的值，然后根據的值．試題解析：解：（1）（2）考點：三角函數求值21、(1)見證明；(2)見證明；(3)【解題分析】

（1）連接，交于，則為中點，連接OP，可證明，從而可證明直線平面；（2）先證明AC⊥BD，，可得到平面，然后結合平面，可知平面平面；（3