2024屆甘肅省靖遠(yuǎn)一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆甘肅省靖遠(yuǎn)一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若點(diǎn)為圓C：的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為（）A． B． C． D．2．已知，，那么等于（）A． B． C． D．3．設(shè)m>1，在約束條件y≥xA．1,1+2C．（1，3） D．（3，+∞）4．已知函數(shù)，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，內(nèi)角滿足，若，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．5．如圖，A，B是半徑為1的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB是銳角，大小為.圖中△PAB的面積的最大值為（）A．+sin2 B．sin+sin2C．+sin D．+cos6．圓與直線的位置關(guān)系為()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能7．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．直線的傾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．135°9．已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．10．在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，是的中點(diǎn)，則A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知（），則________.（用表示）12．已知平行四邊形的周長(zhǎng)為，，則平行四邊形的面積是_______13．公比為的無(wú)窮等比數(shù)列滿足：，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.14．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，，則________．15．已知銳角的外接圓的半徑為1，，則的面積的取值范圍為_(kāi)____．16．若關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{x|x<－2或x>－1}，則關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集是____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知正方形的中心為,一條邊所在直線的方程是.(1)求該正方形中與直線平行的另一邊所在直線的方程;(2)求該正方形中與直線垂直的一邊所在直線的方程.19．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，連，交于點(diǎn).（Ⅰ）若點(diǎn)是側(cè)棱的中點(diǎn)，連，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面.20．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面⊥底面，若分別為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面⊥平面．21．已知角終邊上一點(diǎn)，且，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

根據(jù)題意，先求出直線PC的斜率，根據(jù)MN與PC垂直求出MN的斜率，由點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意知，圓心的坐標(biāo)為，則，由于MN與PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直線方程為，即.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求弦所在直線方程，熟記直線的點(diǎn)斜式方程即可，屬于?？碱}型.2、B【解題分析】

首先求出題中，，之間的關(guān)系，然后利用正切的和角公式求解即可.【題目詳解】由題知，，所以.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正切的和角公式，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】試題分析：∵，故直線與直線交于點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與直線垂直，且在點(diǎn)，取得最大值，其關(guān)系如圖所示：即，解得，又∵，解得，選：A．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們可以判斷直線的傾斜角位于區(qū)間上，由此我們不難判斷出滿足約束條件的平面區(qū)域的形狀，其中根據(jù)平面直線方程判斷出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與直線垂直，且在點(diǎn)取得最大值，并由此構(gòu)造出關(guān)于的不等式組是解答本題的關(guān)鍵．4、B【解題分析】

通過(guò)將利用合一公式變?yōu)?，代入A求得A角，從而利用余弦定理得到b,c,的關(guān)系，從而利用均值不等式即可得到面積最大值.【題目詳解】，為三角形內(nèi)角，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)恒等變換，余弦定理，面積公式及均值不等式，綜合性較強(qiáng)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握要求較高.5、B【解題分析】

由正弦定理可得，，則，，當(dāng)點(diǎn)在的中垂線上時(shí)，取得最大值，此時(shí)的面積最大，求解即可.【題目詳解】在中，由正弦定理可得，，則.，當(dāng)點(diǎn)在的中垂線上時(shí)，取得最大值，此時(shí)的面積最大.取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交圓于點(diǎn)，取圓心為，則（為銳角），.所以的面積最大為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積的計(jì)算、正弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

由直線方程可確定其恒過(guò)的定點(diǎn)，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法知該定點(diǎn)在圓內(nèi)，則可知直線與圓相交.【題目詳解】由得：直線恒過(guò)點(diǎn)在圓內(nèi)部直線與圓相交故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓位置關(guān)系的判定，涉及到直線恒過(guò)定點(diǎn)的求解、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，屬于?？碱}型.7、B【解題分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知都大于1，把化成后可得的大小，從而可得的大小關(guān)系.【題目詳解】因?yàn)榧岸际巧系脑龊瘮?shù)，故，，又，故，選B.【題目點(diǎn)撥】對(duì)數(shù)的大小比較，可通過(guò)尋找合適的單調(diào)函數(shù)來(lái)構(gòu)建大小關(guān)系，如果底數(shù)不統(tǒng)一，可以利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)統(tǒng)一底數(shù).不同類型的數(shù)比較大小，應(yīng)找一個(gè)中間數(shù)，通過(guò)它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞.8、C【解題分析】

根據(jù)直線方程求出斜率即可得到傾斜角.【題目詳解】由題：直線的斜率為，所以傾斜角為120°.故選：C【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)直線方程求傾斜角，需要熟練掌握直線傾斜角與斜率的關(guān)系，熟記常見(jiàn)特殊角的三角函數(shù)值.9、B【解題分析】

函數(shù)，由，可得，，因此即可得出．【題目詳解】函數(shù)由，可得解得，∵在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，

.故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10、D【解題分析】

選取向量為基底，用基底表示，然后計(jì)算．【題目詳解】由題意，，．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積，平面向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合角所在的象限，即可求解.【題目詳解】因?yàn)?，所以，故，解得，又，，所?故填.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，屬于中檔題.12、【解題分析】

設(shè)，根據(jù)條件可以求出，兩邊平方可以得到關(guān)系式，由余弦定理可以表示出，把代入得到的關(guān)系式，聯(lián)立求出的值，過(guò)作垂直于，設(shè)，則可以表示，利用勾股定理，求出的值，確定長(zhǎng)，即求出平行四邊形的面積【題目詳解】設(shè)又，由余弦定理將代入，得到將（2）代入（1）得到可以解得：(另一種情況不影響結(jié)果)，過(guò)作垂直于，設(shè),則，所以填寫(xiě)【題目點(diǎn)撥】幾何題如果關(guān)系量理清不了，可以嘗試作圖，引入相鄰邊的參數(shù)，通過(guò)方程把參數(shù)求出，平行四邊形問(wèn)題可以通過(guò)轉(zhuǎn)化變?yōu)槿切螁?wèn)題，進(jìn)而把問(wèn)題簡(jiǎn)單化.13、【解題分析】

依據(jù)等比數(shù)列的定義以及無(wú)窮等比數(shù)列求和公式，列出方程，即可求出的表達(dá)式，再利用求值域的方法求出其范圍。【題目詳解】由題意有，即，因?yàn)椋??！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用以及基本函數(shù)求值域的方法。14、18【解題分析】

利用，化簡(jiǎn)得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，利用,即可求解.【題目詳解】,即所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列即所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了與的關(guān)系以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由銳角三角形求B的范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【題目詳解】解：∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sinB×2sin（﹣B）×＝sinB（cosB+sinB）＝sin（2B﹣）+，∵B，C為銳角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案為：（1，]．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．16、{x|－1<x<－}【解題分析】

觀察兩個(gè)不等式的系數(shù)間的關(guān)系，得出其根的關(guān)系，再由和的正負(fù)可得解.【題目詳解】由已知可得：的兩個(gè)根是和，且將方程兩邊同時(shí)除以，得，所以的兩個(gè)根是和，且解集是故得解.【題目點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程和一元二次不等式間的關(guān)系，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）由知：，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）bn=|11﹣2n|，設(shè)數(shù)列{11﹣2n}的前n項(xiàng)和為Tn，則．當(dāng)n≤5時(shí)，Sn=Tn；當(dāng)n≥6時(shí)，Sn=2S5﹣Tn．【題目詳解】（1）證明：由知，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.則，.（2），設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．18、(1);(2)或.【解題分析】

（1）由直線平行則斜率相等，設(shè)出所求直線方程，利用M點(diǎn)到兩直線距離相等求解；（2）由直線垂直則斜率乘積為-1，設(shè)出所求直線，利用M點(diǎn)到兩直線距離相等求解.【題目詳解】（1）設(shè)與直線平行的另一邊所在直線方程為，則，解得，或(舍).所以與直線平行的正方形的另一邊所在直線的方程為.（2）設(shè)與直線垂直的正方形的邊所在直線方程為，則，解得，或.所以與直線垂直的正方形的邊所在的直線方程為或.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線平行或垂直與斜率的關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬直線方程求解基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）見(jiàn)證明【解題分析】

（Ⅰ）由為菱形，得為中點(diǎn)，進(jìn)而得到，利用線面平行的判定定理，即可求解；（Ⅱ）先利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.【題目詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)闉榱庑?，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，，平面，平面，所以，平面；（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉榱庑危?，，所以，平面，平面，所以，平面平?【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（Ⅰ）利用線面平行的判定定理，只需證明EF∥PA，即可；（Ⅱ）先證明線面垂直，CD⊥平面PAD，再證明面面垂直，平面PAD⊥平面PDC

即可．【題目詳解】（Ⅰ）證明：連結(jié)AC，在正方形ABCD中，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，正方形對(duì)角線互相平分，∴F為AC中點(diǎn)，又E是PC中點(diǎn)，在△CPA中，EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，