非線性時間序列模型

第3講：非線性時間序列模型3.1一般非線性時間序列模型介紹3.2

條件異方差模型3.1一般非線性時間序列模型介紹在非線性時間序列分析中，選擇合適的非線性模型是首要工作。一般的非線性模型有如下形式：其中，

為滿足某些解析條件的非線性函數(shù)，為白噪聲序列。一些特殊的非線性時間序列模型（1）雙線性模型其中，為非負(fù)整數(shù)，為白噪聲序列。注：當(dāng)所有都為零時，上式表示的就是ARMA(p,q)模型。因此雙線性模型就是在ARMA模型基礎(chǔ)上添加了表現(xiàn)非線性特征的乘積交叉項?？紤]如下簡單的雙線性模型上述模型可以看作是自回歸系數(shù)為的AR(1)模型，只是此時的自回歸系數(shù)比較特殊，是個隨機變量。（2）可加非線性自回歸模型其中，為常數(shù)，為個一元非參數(shù)型的未知函數(shù)，為白噪聲序列。（3）函數(shù)系數(shù)自回歸模型其中，為常數(shù)，為個一元非參數(shù)型的未知函數(shù)，為白噪聲序列。3.2

條件異方差模型在自回歸移動平均模型中，我們主要討論平穩(wěn)時間序列的建模問題，由于針對平穩(wěn)序列，實際上假定任一時點的隨機誤差項的期望值是相同的，一般為0，同時假定任一隨機誤差項平方的期望值就是隨機誤差的方差，即同方差。但是在金融市場上，金融資產(chǎn)報酬序列具有這樣的特性，大的報酬緊連著大的報酬，小的報酬緊連著小的報酬，稱為波動集群性(Mandelbrot,1963、Fama,1965)。波動集群性表明報酬波動是時變的，表明是異方差。異方差雖然不會影響回歸系數(shù)的最小二乘估計的無偏性，但是將影響到回歸系數(shù)估計的標(biāo)準(zhǔn)差和置信區(qū)間。圖1收益絕對值序列(1995-2000年日元兌美元匯率)這種序列的特征是（1）過程的方差不僅隨時間變化，而且有時變化得很激烈（異方差）；（2）按時間觀察，表現(xiàn)出“波動集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定時段中比較小，而在另一時段中比較大。（3）從取值的分布看表現(xiàn)的則是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近與尾區(qū)的概率值比正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。圖2給出高峰厚尾分布示意圖。圖2高峰厚尾分布示意圖Intel公司股票對數(shù)收益率波動率研究的基本思想是，序列不相關(guān)或低階序列相關(guān)，但它是相依序列。波動率模型就是試圖去刻畫序列的這種相依性。波動率模型包括Engle(1982)提出的自回歸條件異方差(ARCH)模型，Bollerslev(1986)提出的推廣的自回歸條件異方差模型(GARCH),Nelson(1991)提出的指數(shù)GARCH模型(EGARCH),Tsay(1987)提出的條件異方差自回歸滑動平均(CHARMA)模型，Nicholls和Quinn(1982)提出的隨機系數(shù)自回歸(RCA)模型,Melino和Turnbull(1990),Taylor(1994),Harvery、Ruiz和Shephard(1994),以及Jacquier,Polson和Rossi(1994)分別提出的隨機波動率(SV)模型。顯然現(xiàn)期方差與前期的“波動”有關(guān)系。描述這類關(guān)系的模型稱為自回歸條件異方差（ARCH）模型（

Engle(恩格爾)，1982）。ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一時刻一個噪聲的發(fā)生是服從正態(tài)分布。該正態(tài)分布的均值為零，方差是一個隨時間變化的量(即為條件異方差)。并且這個隨時間變化的方差是過去有限項噪聲值平方的線性組合(即為自回歸)。這樣就構(gòu)成了自回歸條件異方差模型。ARCH(1)假設(shè)由下式生成：其中，和是未知參數(shù)，是具有零均值和單位方差的獨立同分布隨機變量的序列，且與是相互獨立的。被假定為具有單位方差，因此的條件方差等于。令可以證實，是均值為零的不相關(guān)序列，并且與過去的收益率不相關(guān)。顯然有因此，在收益率序列滿足ARCH(1)模型的假設(shè)下，收益率平方序列滿足AR(1)模型ARCH模型的一個主要用途是預(yù)測未來的條件方差。如，有人對預(yù)測h步向前條件方差感興趣對于h=1,ARCH(1)模型蘊涵著：類似的，使用迭代-期望公式，可得ARCH(m)假定其中，是均值為0，方差為1的獨立同分布隨機變量序列，。

ARCH模型的建模ARCH模型主要的優(yōu)點ARCH模型突破了傳統(tǒng)時間序列模型中同方差的假設(shè)并更好地與金融實際相結(jié)合：（1）ARCH模型條件方差表達(dá)成過去干擾項的回歸函數(shù)形式，這種形式恰好能反映金融市場波動集聚性特點，即較大幅度的波動后緊接著較大幅度的波動，較小幅度的波動后緊接著較小幅度的波動；（2）ARCH能描述金融市場上資產(chǎn)收益率變量的厚尾性；（3）序列存在ARCH效應(yīng)時，直接用最小二乘法估計參數(shù)會產(chǎn)生偏差，使用ARCH模型可以在一定程度上避免此偏差，提高參數(shù)的估計精度，提高預(yù)測精度。ARCH模型主要的缺陷：（1）在實際應(yīng)用中為得到更好的擬合效果常常需要很大的階數(shù)q，此增大的計算量；（2）條件方差假設(shè)為線性函數(shù)，而現(xiàn)實中線性情況只是特例。（3）ARCH模型假定正的“擾動”和負(fù)的“擾動”對波動率有相同的影響，因為波動率依賴于過去“擾動”的平方。實際中，眾所周知，金融資產(chǎn)的價格對正的和負(fù)的“擾動”的反應(yīng)是不同的。（4）對于弄清一個金融時間序列的變化的來源，ARCH模型不能提供任何新見解。它只是提供一個機械的方式來描述條件方差的行為，而對由什么引起這種行為卻沒有任何啟示。GARCH模型由Bollerslev(1986)和Taylor(1986)提出的，模型中包括條件方差的p階滯后，其中p表示GARCH的階數(shù)。該混合模型被稱為廣義自回歸條件異方差模型GARCH(p,q):用延遲算子B,模型可以表達(dá)為因為條件方差是非負(fù)的，所以在GARCH模型中系數(shù)必須限定為非負(fù)的。用收益率平方的形式來表示條件方差模型。定義：類似于ARCH(1)模型，可以證明是序列無關(guān)的過程。將表達(dá)式代入表達(dá)式，可得其中，對于所有整數(shù)k>p有，對于k>q,有預(yù)測為了預(yù)測h步向前的條件方差，可以重復(fù)前面部分的討論來推導(dǎo)遞歸公式，當(dāng)h>p時，有一般地，對任意的h>=1,公示會更加復(fù)雜，因為其中并且相對于ARCH模型，GARCH模型的優(yōu)點在于：可以用低階的GARCH模型來代表高階的ARCH模型，從而使得模型的識別和估計都變得比較容易。GARCH模型僅僅包含三個參數(shù)就可以表達(dá)ARCH存在的無窮多個參數(shù)的方程。除了上述GARCH模型之外，ARCH模型主要還有一些推廣形式：（1）ARCH-M模型：描述資產(chǎn)預(yù)期收益與預(yù)期風(fēng)險的關(guān)聯(lián)；（2）TARCH和EGARCH模型：都可以用來描述信息非對稱性。

求和GARCH模型其中與前面一樣定義，。GARCH-M模型指數(shù)GARCH模型ARCH類模型分析檢驗的一般步驟ARCH族模型分析一般包括如下五個主要步驟：

第一步，考察時間序列的統(tǒng)計特征。檢驗序列值的均值、方差、峰度（描述分布形態(tài)的陡緩程度，尾部的厚度）、偏度（相對于均值不對稱程度）及Jarque-Bera（正態(tài)分布檢驗）等指標(biāo)，從而分析其正態(tài)性。如果序列顯示出高峰厚尾的分布特征（如序列呈偏態(tài)、峰度系數(shù)大于3）、Jarque-Bera統(tǒng)計量顯示其具有非正態(tài)性，則可初步表明，序列可能存在ARCH現(xiàn)象。

第二步，序列平穩(wěn)性檢驗只有時間序列是平穩(wěn)的，即其隨機特征不隨時間變化，那么我們才可以利用經(jīng)典線形回歸方法來對其進行接下來的研究。在此部分采用ADF來對平穩(wěn)性進行檢驗。如果ADF統(tǒng)計量小于相應(yīng)的臨界值，則序列是平穩(wěn)的。如果ADF統(tǒng)計量大于相應(yīng)的臨界值，則表明序列非平穩(wěn)。第三步，確定均值方程，正式檢驗殘差序列是否確實存在自回歸條件異方差。在對序列進行ADF檢驗，驗證其為平穩(wěn)序列后，用其前期值的自回歸模型表示均值方程，即：其滯后階數(shù)p可用自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)來確定，各參數(shù)可以用最小二乘法（OLS）求得?？梢酝ㄟ^ARCH-LM檢驗考察是否存在ARCH現(xiàn)象。該方法是對殘差平方按如下方程進行回歸：進而得到回歸可決系數(shù)R2?？梢宰C明TR2服從，其中T為觀察值的個數(shù)。故若TR2大于一定顯著性水平下的臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：