聯立方程模型

第九章聯立方程模型教師：盧時光9.1聯立方程模型的性質在前面的學習中，我們僅僅考察了單一方程模型，也就是只有一個應變量Y和一個或多個解釋變量X的模型。在這些模型中，重點放在估計和預測X變量的固定值為條件下的Y的均值。因此在這樣的模型中因果關系是從X到Y。但是有許多情形這種單向的因果關系是沒有意義的。比方，Y決定于X而同時某些X又反過來決定于Y。簡而言之，Y和X之間有一種雙向或聯立的關系，以至于我們無法區(qū)分哪些是應變量而哪些是解釋變量。解決上述問題的方法之一，就是把一組變量合在一起，它們是能由另外一組變量聯合地決定的，這種方法就是聯立方程模型。在這種模型中有多于一個的方程，每個相互地或共同地依賴的變量，稱為內生變量，占有一個方程。例如，宏觀經濟收入-消費的例子中，消費C是受到收入Y的影響〔C=α+βY〕，而收入Y=C+I。C和Y被稱為內生變量，而此時的I被稱為外生變量。在聯立方程的參數估計時，我們必須要考慮到方程組中其他方程所提供的信息。例1：需求和供給模型一個商品的價格和數量是由需求和供給曲線的交點決定的。簡單起見，我們假定需求和供給曲線是線性的，加上隨機干擾項u1和u2，可以寫成經驗需求和供給函數：諸α和β是參數，根據經驗，預測α1為負〔需求曲線是向右下方傾斜的，需求量與價格呈負相關?！肠?為正〔供給曲線是向右上方傾斜的，供給量與價格呈正相關。〕P和Q是聯合應變量。影響需求量Qd的其他因素發(fā)生變化〔如收入、財富和消費偏好等〕，方程中的干擾項u1t將發(fā)生改變。如果u1t是正的，需求曲線向右上方移動。需求曲線位置的變換，同時影響到了P和Q。同理，u2t的改變〔如罷工、氣候、進出口的限制等〕，將使供給曲線發(fā)生移動，也會同時影響P和Q。由于P和Q之間的這種依賴性，需求方程中的u1t和Pt，以及供給方程中的u2t和Pt是不可能獨立的。例2：凱恩斯收入決定模型宏觀經濟學中，簡單的收入決定模型：參數β1稱為邊際消費傾向，經濟理論預測β1位于0和1之間。方程1是個隨機消費函數，而方程2是收入恒等式，總收入等于總消費加上總投資〔投資等于儲蓄〕。用圖形來表示：從上圖中可以看出，C和Y是相互依賴的，并且不能指望方程1中的Yt會獨立于干擾項ut。因為當ut變動時〔由于誤差項包含了種種因素〕，消費函數也會隨之移動，而消費的變動又反過來影響Y。由此，經典最小二乘方法對上述模型不適用。例3：計量經濟模型：克萊因模型I一些計量經濟學家在它們構造的計量經濟模型中曾廣泛地使用聯立方程模型。以下模型被稱為克萊因模型I。在模型中，變量C、I、W、Y、P和K被看作聯合應變量或內生變量，而變量Pt-1、Kt-1和Yt-1被看作前定的。我們會發(fā)現，它們不是獨立于隨機干擾項的，因此不能夠用OLS法逐個地估計方程組中的方程，這樣得來的估計量是非一致性的，即使是大樣本，它們也不收斂于真實值。9.2聯立方程偏誤：OLS估計量的非一致性為了說明這點，我們回到例2中簡單的凱恩斯收入決定模型。假定：即滿足經典線性回歸模型的假設?！?〕Yt和ut是相關的把方程〔1〕帶入方程〔2〕即：現在，對式子兩邊求期望，注意E(ut)=0，而I是外生變量，其期望就是其本身：現在用Yt減去E(Yt)，結果是：而〔為什么？〕由此得：Yt和ut的協方差的推導，用到了上面兩個式子的結論。這樣，δ2是正的〔>0〕，所以Yt和ut的協方差一定不為零。這樣，Yt和ut存在相關關系。這樣違反了經典線性回歸模型的假定：干擾與解釋變量相互獨立或至少不相關。如上所述，在這種情形下，OLS估計量是非一致性的?！?〕OLS估計量的非一致性估計量和前面一樣，小寫字母代表對均值的離差。將C的表達式代入上式：上式的推導用到了和兩個關系式。對上式兩邊求期望值：9.3聯立方程偏誤：一個數值例子為零說明上述問題，我們回到凱恩斯收入決定模型，并完成以下蒙特卡羅研究。假定投資I的取值有左表中給出。再假定：根據這些假設產生的ut，見第四列。假定消費函數的參數：β0=2，β1=0.8。直觀的看，除非為零，否那么一個有偏的估計量。由于真實的β0和β1是的，再由于我們樣本的誤差恰好等于“真實〞的誤差〔因為誤差項源自蒙特卡羅法〕。如果我們用左表中的數據來對C對Y的回歸，如果回歸是無偏的，那么我們應該得到β0=2，β1=0.8。但是，如果Y對干擾項u存在相關性，那么情形就不會這樣。根據數據，得到：就是說有0.02065的過高估計。回歸結果是：回歸結果沒有恰好得出β0=2，β1=0.8的結果，而是有偏誤的。9.4符號和定義為了便于進一步討論，我們引入以下符號和定義。一般的M個內生或聯合應變量的M個方程模型可以寫成如下方程組：進入模型的變量被分為兩類：內生變量：指其值是由模型內部決定的。被視為隨機的。前定變量：指其值是由模型外部決定的。被視為非隨機的。前定變量又被分為兩類：外生變量：包括當前的或滯后的，以及滯后的內生變量。例如，X1t是當前的外生變量；X1(t-1)是滯后一期的滯后外生變量；Y1(t-1)是滯后一期的內生變量，但因為在當時期間里Y1(t-1)是值，故看做是非隨機的，因而也被稱為前定變量?？傊?，當期外生、滯后外生和滯后內生變量都被認為是前定的，在當期里，它們的值不是由模型決定的。上述模型的方程，也許是描述經濟社會的結構，或描述一個經濟人的〔如消費和生產〕行為，所以把這些方程稱為結構或行為方程。諸β和γ那么被稱為結構參數或系數。從結構方程組可以解出M個內生變量并導出誘導型方程和相應的誘導型系數。所謂誘導型方程，是指純由前定變量和隨機干擾項來表達一個內生變量的方程。例如：凱恩斯收入決定模型：模型中C〔消費〕和Y〔收入〕都是內生變量，而I〔投資〕是外生變量。這兩個方程都是結構方程。將方程〔1〕代入到方程〔2〕，經過代數運算得到：其中：上式，那么由外生變量I和隨機干擾項u來表達的，是一個誘導型方程。Π0、Π1和wt是相應的誘導型系數。將Y值代入方程〔1〕，得到另一個誘導型方程：9.5識別問題所謂識別問題，是指能否從所估計的誘導型系數求出一個結構方程的參數的數值估計。如果能夠，就說該方程是可以識別的。如果不能，就說所考慮的方程是不可識別的或缺乏識別的?！?〕缺乏識別情形考慮供需模型：由均衡條件我們得到：解上述方程，得到均衡價格：……〔1〕其中：將Pt代入原方程，得到均衡數量：……〔2〕其中：誤差項vt和wt是原始誤差項u1和u2的線性組合。方程〔1〕和方程〔2〕為誘導型方程。現在我們的方程中包含有4個結構系數α0、α1、β0和β1，但此時我們無法解出來，因為4個未知數，必須有4個獨立的方程。同時，上述方程只有常數項而不包含任何解釋變量，因此無法使用OLS，方程也僅給出P和Q的均值。上述分析說明，給定P和Q的時間序列數據而無任何其他信息，研究者將無法保證他所估計的是需求函數還是供給函數。換句話說，給定的一對P和Q，由于供求相等的均衡條件，僅代表適當的需求和供給曲線的交點。請看以下圖：圖〔a〕給出幾個聯系P和Q的散點，每個散點代表一條需求曲線和供給曲線的交點，如〔b〕中所示。現在拿一個點來考慮，如〔c〕中的那個點，我們無法肯定這個點是由圖中整個供求曲線族中的那一條需求曲線和供給曲線產生的。為此，我們需要有關供求曲線性質的一些其他信息，例如，由于收入、消費偏好的變換，需求曲線隨時間而變化，而供給曲線保持相對的穩(wěn)定，如圖〔d〕那樣，那么散點將描繪出一條供給曲線，這時供給曲線是可識別的。同理，如果由于天氣的變換，或其他外部因素的變換，供給曲線隨時間而遷移，但需求曲線保持相對的穩(wěn)定，如同〔e〕中那樣，那么散點將描繪一條需求曲線，這對我們來說，需求曲線是可識別的?！?〕恰可識別的情形仍然使用需求-供給模型，現在由下述方程給出：和原來的模型相比，需求函數多了一個變量I，I表示消費者的收入，是一個外生變量，其他變量定義如前。從需求的經濟理論可知，收入常常是對大多數商品和效勞需求的一個重要的解釋變量。對大多數商品和效勞而言，可以預料收入對消費有正的影響〔α2＞0〕。利用市場均衡的概念：需求量=供給量，有：從中解出Pt的均衡值：……〔3〕其中：將Pt代回原方程，得到均衡數量Q：……〔4〕其中：方程〔3〕和方程〔4〕都是誘導型方程，可用OLS法估計它們的參數Π1、Π2、Π3和Π4。但是供求模型中包含了5個結構系數α0、α1、α2、β1和β2，這時要想得到全部結構系數的唯一解是不可能的，因為我們只有4個方程，無法給出5個未知數的唯一解。但是，我們發(fā)現供給函數的參數是可識別的，因為：但是，此時需求函數仍然是不可識別的。我們無法得到α0、α1和α2的全部估計。注意一個有趣的事實：在需求函數中增加了一個變量，使得我們能夠識別供給函數。原因在于，在需求函數中增加了變量I對需求的變異提供了額外的信息，如同圖〔e〕所示。該圖說明，穩(wěn)定的供給函數和變化的需求函數的交點，使得我們可以去識別供給曲線。如同我們即將看到，一個方程的可識別性，常常依賴于它是否排除了包含在模型里其他方程中的一個或多個變量。也就是說，其他方程中應該包含該方程中未包含的其他假設干變量?？紤]下述供需模型：與前面的模型相比，供給函數包含了一個新解釋變量：滯后一期的價格。該供給模型假設，一個商品的供給量依賴于它當期的和前一期的價格。對于Pt-1在時間t而言，是的，所以它是一個前定變量。解方程得到均衡價格P和均衡數量Q：上述方程中含有6個結構系數：α0、α1、α2、β0、β1、和β2；同時含有6個誘導系數：Π0、Π1、Π2、Π3、Π4和Π5。這樣，6個未知數，有6個方程。正常情況下，我們應該能夠得到唯一的估計值。因此需求方程和供給方程的參數都是可以識別的。〔3〕過度識別情形考慮以下模型，除了已經定義的變量外，我們增加了R代表財富。對于大多數商品和效勞而言，財富和收入一樣，會對消費產生正的影響。仍然令需求量=供給量，得到解如下：其中：上述方程中含有7個結構系數，但用于估計它們的有8個方程〔8個誘導型系數〕。方程的個數大于未知數的個數。由上述誘導系數可得：或者：就是說，對于供給方程的價格函數有兩個估計值，但不保證這兩個估計值是相同的。此外β1出現在所有的誘導型系數的分母中，在β1估計中的不確定性還會傳遞給其他的估計值。為什么增加了R〔財富〕解釋變量后，模型反而不能恰好識別呢？答案是為了識別供給方程，我們有了“太多〞的或“過于充分〞的信息。這種情形和信息太少而缺乏以識別的情形正好適得其反。在模型中供給函數不僅排除收入變量，還排除了財富變量。換句話說，在模型中，對供給函數施加了“過多〞的約束，要求它排除多于識別它所需要的變量個數。以上分析說明：聯立方程模型中的一個方程可以是缺乏識別的或可識別的〔過度或恰好〕。如果模型中的每個方程都是可以識別的，就說整個模型是可識別的。9.6識別規(guī)那么前面我們利用誘導型方程幫助我們判明方程的識別問題，而誘導型方程方法過于繁復。識別的階條件和秩條件，提供了一種系統(tǒng)性的例行程序。引入符號：M：模型中內生變量的個數m：給定方程中內生變量的個數K：模型中前定變量的個數k：給定方程中前定變量的個數〔1〕可識別的階條件定義1：在一個含有M個聯立方程的模型中，為了使一個方程能夠被識別，它必須排除M－1個在模型中出現的變量〔內生的或前定的〕。如果它恰好排除M－1個變量，那么該方程是恰好被識別的，如果它排除了多于M－1個變量，那么它是過度識別的。定義2：在一個含有M個聯立方程的模型中，為了使一個方程能夠被識別，該方程所排除的前定變量的個數必須不少于它所含有的內生變量的個數減1〔即：K－k≥m－1〕。如果K－k＝m－1，那么方程是恰好被識別的，如果K－k＞m－1，那么它是過度識別的。例1：例2：例3：例4：〔2〕可識別的秩條件前面討論的階條件是識別的必要條件而非充分條件。就是說，即使它得到了滿足，方程也可能會出現不能識別的問題。因此我們需要一個充要的識別條件：秩條件。可識別性的秩條件：在一個含M個內生變量的M個方程的模型中，一個方程是可識別的，當且僅當，我們能從模型〔其他方程〕所含而該方程