數(shù)學(xué)九年級上冊專題22.6 實際問題與二次函數(shù)-重難點題型（人教版）（學(xué)生版）

專題22.6實際問題與二次函數(shù)-重難點題型【人教版】【知識點1解二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題的一般步驟】審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）；設(shè)：設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確；列：列函數(shù)解析式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)；解：按題目要求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題；檢：檢驗所得的解，是否符合實際，即是否為所提問題的答案；答：寫出答案.【題型1利用二次函數(shù)解決幾何圖形問題】【例1】（2020春?蕭山區(qū)月考）如圖窗戶邊框的上部分是由4個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形，現(xiàn)在制作一個窗戶邊框的材料總長度為6米．（π取3）（1）若設(shè)扇形半徑為x，請用含x的代數(shù)式表示出AB．并求出x的取值范圍．（2）當(dāng)x為何值時，窗戶透光面積最大，最大面積為多少？（窗框厚度不予考慮）【變式1-1】（2020?安徽模擬）如圖，某住宅小區(qū)有一塊矩形場地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，開發(fā)商準(zhǔn)備對這塊地進行綠化，分別設(shè)計了①②③④⑤五塊地，其中①③兩塊形狀大小相同的正方形地用來種花，②④兩塊形狀大小相同的矩形地用來種植草坪，⑤為矩形地用來養(yǎng)殖觀賞魚．（1）設(shè)矩形觀賞魚用地LJHF的面積為ym2，AG長為xm，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求矩形觀賞魚用地LJHF面積的最大值．【變式1-2】（2020?富順縣三模）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB＝xm，花園的面積為Sm2．（1）若花園的面積為192m2，求x的值；（2）寫出花園面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．x為何值時，花園面積S有最大值？最大值為多少？（3）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是a（14≤a≤22）和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細），設(shè)花園面積S的最大值為y，直接寫出y與a的關(guān)系式．【變式1-3】（2020?溫州模擬）某植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長為a米的墻，現(xiàn)準(zhǔn)備用20米的籬笆圍兩間矩形花圃，中間用籬笆隔開．小俊設(shè)計了如圖甲和乙的兩種方案：方案甲中AD的長不超過墻長；方案乙中AD的長大于墻長．（1）若a＝6．①按圖甲的方案，要圍成面積為25平方米的花圃，則AD的長是多少米？②按圖乙的方案，能圍成的矩形花圃的最大面積是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪種方案能圍成面積最大的矩形花圃？請說明理由．【知識點2銷售問題中的常用公式】（1）利潤=售價-進價=進價×利潤率（2）利潤率=（3）總利潤=總售價-總進價=銷售量×（單件售價-單件成本）【題型2利用二次函數(shù)解決銷售利潤問題】【例2】2020年1月，全國爆發(fā)新型冠狀病毒肺炎，2月某工廠購進某防護材料若干千克，成本為每千克30元，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于成本價但不高于成本價2倍，經(jīng)試銷，銷售量y（千克）與銷售單價x（元）的關(guān)系如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若在銷售過程中每天還要支付其他費用450元，當(dāng)銷售單價為多少元時，當(dāng)天該工廠日利潤最大，最大日利潤為多少元？【變式2-1】某公司推出一款產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系關(guān)于銷售單價，日銷售量，日銷售利潤的幾組對應(yīng)值如表：銷售單價x（元）8595105115日銷售量y（個）17512575m日銷售利潤w（元）87518751875875（注：日銷售利潤＝日銷售量×（銷售單價﹣成本單價））（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出x的取值范圍）及m的值；（2）根據(jù)以上信息，填空：該產(chǎn)品的成本單價是元，當(dāng)銷售單價x＝元時，日銷售利潤w最大，最大值是元；公司計劃開展科技創(chuàng)新，以降低該產(chǎn)品的成本，預(yù)計在今后的銷售中，日銷售量與銷售單價仍存在（1）中的關(guān)系．若想實現(xiàn)銷售單價為90元時，日銷售利潤不低于3750元的銷售目標(biāo)，該產(chǎn)品的成本單價應(yīng)不超過多少元？【變式2-2】（2020?安徽二模）某市在黨中央實施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司，某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費用y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點為原點的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達到產(chǎn)銷平衡，所獲毛利潤為w萬元．（毛利潤＝銷售額﹣生產(chǎn)費用）（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求年產(chǎn)量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？（3）由于受資金的影響，今年投入生產(chǎn)的費用不會超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？【變式2-3】（2020?邢臺二模）一家經(jīng)營打印耗材的門店經(jīng)銷各種打印耗材，其中某一品牌硒鼓的進價為a元/個，售價為x元/個（a≤x≤48）．下面是門店在銷售一段時間后銷售情況的反饋：①若每個硒鼓按定價30元的8折出售，可獲20%的利潤；②如果硒鼓按30元/個的價格出售，每月可售出500個，在此基礎(chǔ)上，售價每增加5元，月銷售量就減少50個．（1）求a的值，并寫出該品牌硒鼓每月的銷售量y（個）與售價x（元/個）之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）求該耗材店銷售這種硒鼓每月獲得的利潤W（元）與售價x（元/個）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求每月獲得的最大利潤；（3）在新冠肺炎流行期間，這種硒鼓的進價降低為n元/個，售價為x元/個（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照銷售量與售價關(guān)系不變的方式銷售，并決定將當(dāng)月銷售這種硒鼓獲得的利潤全部捐贈給火神山醫(yī)院，支援武漢抗擊新冠肺炎．若要使這個月銷售這種硒鼓獲得的利潤G（元）隨售價x（元/個）的增大而增大，請直接寫出n的取值范圍．【題型3利用二次函數(shù)解決拋物線形軌跡問題】【例3】（2020秋?澠池縣期末）如圖，小明在一次高爾夫球爭霸賽中，從山坡下O點打出一球向球洞A點飛去，球的路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當(dāng)球移動的水平距離為9米時，球達到最大高度12米．已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30o，O、A兩點相距83（1）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式；（2）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從O點直接打入球洞A點，并說明理由．【變式3-1】如圖，運動員甲在距籃下4m處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當(dāng)球運行的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米．（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式．（2）該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？（3）運動員乙跳離地面時，最高能摸到3.3m，問：在（2）的條件下，運動員乙在運動員甲與籃板之間的什么范圍內(nèi)能在空中截住球？【變式3-2】（2021?嘉善縣一模）已知，足球球門高2.44米，寬7.32米（如圖1）在射門訓(xùn)練中，一球員接傳球后射門，擊球點A距離地面0.4米，即AB＝0.4米，球的運動路線是拋物線的一部分，當(dāng)球的水平移動距離BC為6米時，球恰好到達最高點D，即CD＝4.4米．以直線BC為x軸，以直線AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．（1）求該拋物線的表達式；（2）若足球恰好擊中球門橫梁，求該足球運動的水平距離；（3）若要使球直接落在球門內(nèi)，則該球員應(yīng)后退m米后接球射門，擊球點為A'（如圖3），請直接寫出m的取值范圍．【變式3-3】（2020?紹興）如圖1，排球場長為18m，寬為9m，網(wǎng)高為2.24m，隊員站在底線O點處發(fā)球，球從點O的正上方1.9m的C點發(fā)出，運動路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運動到最高點A時，高度為2.88m，即BA＝2.88m，這時水平距離OB＝7m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2．（1）若球向正前方運動（即x軸垂直于底線），求球運動的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x取值范圍）．并判斷這次發(fā)球能否過網(wǎng)？是否出界？說明理由．（2）若球過網(wǎng)后的落點是對方場地①號位內(nèi)的點P（如圖1，點P距底線1m，邊線0.5m），問發(fā)球點O在底線上的哪個位置？（參考數(shù)據(jù)：2取1.4）【題型4利用二次函數(shù)解決車過隧道問題】【例4】（2020秋?海淀區(qū)校級月考）小宇遇到了這樣一個問題：如圖是一個單向隧道的斷面，隧道頂MCN是一條拋物線的一部分，經(jīng)測量，隧道頂?shù)目缍萂N為4m，最高處到地面的距離CO為4m，兩側(cè)墻高AM和BN均為3m，今有寬2.4m的卡車在隧道中間行駛，如果卡車載物后的最高點E到隧道頂面對應(yīng)的點D的距離應(yīng)不小于0.6m，那么卡車載物后的限高應(yīng)是多少米？（精確到0.1m）為解決這個問題，小宇以AB中點O為原點，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)上述信息，設(shè)拋物線的表達式為y＝ax2+c．（1）寫出M、C、N、F四個點的坐標(biāo)；（2）求出拋物的表達式；（3）利用求出的表達式，幫助小宇解決這個問題．【變式4-1】（2021?海城市模擬）如圖，隧道的橫截面由拋物線形和矩形OABC構(gòu)成．矩形一邊OA的長是12m，另一邊OC的長是1m．拋物線上的最高點D到地面OA的距離為7m．以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)C所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式．（2）在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度為5m，求兩排燈之間的水平距離．（3）隧道內(nèi)車輛雙向通行，規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于13m的空隙．現(xiàn)有一輛貨運汽車，在隧道內(nèi)距離道路邊緣2m【變式4-2】（2020?武漢模擬）某坦克部隊需要經(jīng)過一個拱橋（如圖所示），拱橋的輪廓是拋物線形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相鄰兩支柱的距離均為5m．（1）以AB的中點為原點，AB所在直線為x軸，支柱CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；（2）若支柱每米造價為2萬元，求5根支柱的總造價；（3）拱橋下面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道是坦克的行進方向，現(xiàn)每輛坦克長4m，寬2m，高3m，行駛速度為24km/h，坦克允許并排行駛，坦克前后左右距離忽略不計，試問120輛該型號坦克從剛開始進入到全部通過這座長1000m的拱橋隧道所需最短時間為多少分鐘？【變式4-3】（2020秋?海州區(qū)校級期末）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為8米，寬度OM為16米．現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖1所示）．（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）隧道下的公路是雙向行車道（正中間是一條寬1米的隔離帶），其中的一條行車道能否行駛寬3.5米、高5.8米的特種車輛？請通過計算說明；（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CDAB，使A．D點在拋物線上．B、C點在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．【題型5利用二次函數(shù)解決拱橋形問題】【例5】（2020秋?渝水區(qū)校級月考）某河上有拋物線形拱橋，當(dāng)水面離拱頂5m時，水面寬8m．一木船寬4m，高2m，載貨后，木船露出水面的部分為34m．以拱頂O為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A、B（1）B點的坐標(biāo)為；（2）求拋物線解析式；（3）當(dāng)水面離拱頂1.8米時，木船能否通過拱橋？【變式5-1】（2020秋?泗陽縣期末）河上有一座拋物線形的石拱橋，水面寬6m時，水面離橋拱頂部3m．（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，試求拋物線的解析式；（2）一艘裝滿貨物的小船，露出水面部分的高為0.5m，寬為4m．現(xiàn)因暴雨河水水位上升了1m，這艘小船能從這座石拱橋下通過嗎？請說明理由．【變式5-2】（2021?衢州）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長CD均為24m，在距離D點6米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橋拱頂部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達式．②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值．【變式5-3】（2021?貴陽）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA＝8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m．（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點0.4m時，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）．（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移m（m＞0）個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．【題型6利用二次函數(shù)解決路程-速度問題】【例6】（2021春?拱墅區(qū)期中）一個物體從地面豎直向上拋，有這樣的關(guān)系式：h＝vt?12gt2（不計空氣阻力），其中h是物體距離地面的高度，v是初速度，g是重力加速度（g取10m/s2），t是拋出后所經(jīng)歷的時間．圓圓用發(fā)射器（發(fā)射器的高度忽略不計）將一個小球以10m/（1）當(dāng)小球的高度為1.8米時，求時間t的值；（2）小球的高度能達到5.4米嗎？請作出判斷，并說明理由；（3）若方方在圓圓拋出之后將另一個完全相同的小球以相同的速度從地面豎直向上拋，這兩個小球在某一時刻的高度均為4.2米，求方方與圓圓拋球的時間差．【變式6-1】（2021?臨沂）公路上正在行駛的甲車，發(fā)現(xiàn)前方20m處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的關(guān)系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖象如圖所示．（1）當(dāng)甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是多少？（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少？【變式6-2】（2020?龍泉驛區(qū)模擬）隨著