人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 22.28 二次函數(shù)與一元二次方程（知識講解）

專題22.28二次函數(shù)與一元二次方程（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】會用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；會求拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；經(jīng)歷探索驗證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會用函數(shù)的觀點(diǎn)去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點(diǎn)，此時稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實(shí)數(shù)根）特別說明：

二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)由的值來確定的.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)時，，方程有兩個不相等的實(shí)根；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)時，，方程有兩個相等的實(shí)根；(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時，，方程沒有實(shí)根.

2.拋物線與直線的交點(diǎn)問題拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)就是拋物線與直線的交點(diǎn)問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點(diǎn)是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點(diǎn)個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定．當(dāng)方程組有兩組不同的解時兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)；當(dāng)方程組有兩組相同的解時兩函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)；當(dāng)方程組無解時兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)．總之，探究直線與拋物線的交點(diǎn)的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．特別說明：求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點(diǎn)問題．要點(diǎn)二、利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解

用圖象法解一元二次方程的步驟：

1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點(diǎn)個數(shù)，即方程解的個數(shù)；

2.確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大致范圍；

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計算器進(jìn)行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．

4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．

特別說明：

求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）：

(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；

(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺?biāo)系中畫出拋物線和直線圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；

(3)將方程化為，移項后得，設(shè)和，在同一坐標(biāo)系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.要點(diǎn)三、拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)之間的距離公式當(dāng)△＞0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，．∴即（△＞0）要點(diǎn)四、拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實(shí)數(shù)無解注：a＜0的情況請同學(xué)們自己完成．特別說明：拋物線在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號，其解集也相應(yīng)帶有等號．【典型例題】類型一：拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)1．已知二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+1．(1)求出這個二次函數(shù)圖象的對稱軸；(2)求出這個二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)直線x=2(2)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2+,0)和(2-,0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）【分析】（1）將拋物線函解析式配成頂點(diǎn)式，即可得出拋物線對稱軸；（2）令x=0，求出y值即可得到拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，求出x值，即可得出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．(1)解：∵y=x2-4x+1=(x-2)2-3，∴拋物線的對稱軸為直線x=2，答：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2；(2)解：令x=0，則y=1，∴這個二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，令y=0，則x2-4x+1=0，解得：x1=2+，x2=2-，∴這個二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2+,0)和(2-,0)．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)和圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，將函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)y＝x2+x﹣；(2)（0，﹣）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法，把代入函數(shù)解析式即可求；（2）令x＝0，求得y的值即可得出結(jié)論．(1)解：∵二次函數(shù)y＝a（x+1）2﹣2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣5，6），∴a（﹣5+1）2﹣2＝6．解得：a＝．∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝（x+1）2﹣2，即y＝x2+x﹣；(2)解：令x＝0，則y＝×（0+1）2﹣2＝﹣，∴二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣）．【點(diǎn)撥】本題主要考查了待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知二次函數(shù)y=x2﹣x﹣6．求二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式求出二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式計算即可．解：二次函數(shù)y=x2﹣x﹣6，當(dāng)時，，解得：，，當(dāng)時，，∴二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，∴二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積為．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，根據(jù)題意求出二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．類型二：由函數(shù)值求自變量的值2．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，），求當(dāng)時，的值．【答案】【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，），求出a的值，然后把y=8代入二次函數(shù)解析式求解即可得到答案．解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，），∴，∴二次函數(shù)解析式為，當(dāng)時，，解得．【點(diǎn)撥】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式和其二次函數(shù)的自變量的值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．舉一反三：【變式1】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1，﹣2)，(﹣2，13)．（1）求a，b的值；（2）若(5，)，(m，)是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，求m的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入解析式即可求得a，b的值；（2）將(5，)，(m，)代入解析式，聯(lián)立即可求得m的值.解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，-2），（-2，13），∴，解得，∴a的值為1，b的值為-4；（2）∵(5，)，(m，)是拋物線上不同的兩點(diǎn)，∴，解得或（舍去）∴m的值為-1.【點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，正確解出方程組求得未知數(shù)是解題的關(guān)鍵.【變式2】圖1是一種數(shù)值轉(zhuǎn)換器的示意圖，圖2是小敏按照其對應(yīng)關(guān)系畫出的y關(guān)于x的函數(shù)圖象．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4．（1）求m，n的值和輸出y的最小值；（2）當(dāng)y=5時，求x的值．【答案】（1）m=3，n=2；y最小=2；（2）x1=6+，x2=6﹣，x3=．【分析】（1）根據(jù)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，可得函數(shù)解析式，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)是函數(shù)的最值，可得答案；（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得相應(yīng)自變量的值．解：（1）由數(shù)值轉(zhuǎn)換器，得y=，當(dāng)x=0時，y=m=3，當(dāng)x=4時，y=3+3=6，即B（4，6）．將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=（x﹣6）2+n，得4+n=6，解得n=2；當(dāng)x=6時，y最小=n=2；（2）當(dāng)y=5時，x+3=5，解得x=，當(dāng)y=5時，（x﹣6）2+2=5，解得x1=6+，x2=6﹣．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)得出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系．類型三：圖象法確定一元二次方程的近似根3、利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，求一元二次方程的近似根．【答案】．【分析】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)與的圖象，它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值即為一元二次方程的解．解：在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)與的圖象，如圖所示：由圖形可知，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)是（?0.8，1.2），（1.3，3.3），所以一元二次方程的近似根為．【點(diǎn)撥】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，準(zhǔn)確作出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】利用函數(shù)圖象求方程的實(shí)數(shù)根（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相應(yīng)的一元二次方程的解，可得一元二次方程的近似根．解：畫出函數(shù)的圖象（如圖），它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是，2.7，所以方程的實(shí)數(shù)根為．【點(diǎn)撥】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，解題關(guān)鍵是理解二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相應(yīng)的一元二次方程的解．【變式2】從不同角度談?wù)勀銓Φ仁絰（x+4）＝5的理解．【分析】看作一元二次方程或看作分式方程轉(zhuǎn)化得到的一元二次方程；也看作二次函數(shù)y＝x2+4x與直線y＝5的交點(diǎn)或一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)；還可看作邊長為x和x+4，面積為5的矩形等等．解：①方程：一元二次方程x2+4x﹣5＝0，兩根分別為x1＝1，x2＝﹣5；或分式方程x+4﹣＝0，兩根分別為x1＝1，x2＝﹣5；②函數(shù)：二次函數(shù)y＝x2+4x與直線y＝5的交點(diǎn)，或一次函數(shù)y＝x+4與反比例函數(shù)y＝的交點(diǎn)；③圖形：邊長為x和x+4，面積為5的矩形．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了函數(shù)與方程的關(guān)系．類型四：圖象法解一元二次不等式4、拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，利用圖象解答下列問題：(1)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A______，B______；(2)若函數(shù)值y＞0，則x的取值范圍是______；(3)函數(shù)值y的最小值是______；【答案】(1)(﹣2，0)，(2，0)(2)或(3)﹣4【分析】（1）根據(jù)圖象可得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后由二次函數(shù)對稱軸為y軸可求出B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象可得函數(shù)值y＞0為x軸上方的圖象，然后根據(jù)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)求解即可；（3）根據(jù)圖象可得拋物線的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(0，﹣4)，進(jìn)而可求出函數(shù)值y的最小值是﹣4．解：(1)由圖象可得，A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，0)，∵拋物線的對稱軸為y軸，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，故答案為：(﹣2，0)，(2，0)．(2)由圖象可得，當(dāng)函數(shù)值y＞0時，表示的是x軸上方的圖象，∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，∴x的取值范圍是或．故答案為：或．(3)由圖象可得，拋物線的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(0，﹣4)，∴函數(shù)值y的最小值是﹣4．【點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對稱性以及最值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．舉一反三：【變式1】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根；（2）寫出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）求y的取值范圍．【答案】（1）﹣5和1；（2）﹣5＜x＜1；（3）y≤9【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖像，即可求解；（3）求得二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，即可求解．解：（1）如圖所示：方程ax2+bx+c=0的兩個根為：﹣5和1；（2）如圖所示：不等式ax2+bx+c＞0的解集為：；（3）∵拋物線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5），設(shè)拋物線解析式為：，∵拋物線過點(diǎn)C（0，5），∴，解得：，∴拋物線解析式為：，∵，∴當(dāng)時，，∴y的取值范圍為：．【點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．【變式2】（1）請在坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象．（2）觀察圖象，回答下列問題：①直接寫出方程x2﹣2x﹣3＝0的根是．②當(dāng)x時y時隨的增大而增大．③當(dāng)y＞0時x的取值范圍是．【答案】（1）見分析；（2）①；②；③或．【分析】（1）利用五點(diǎn)作圖法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用平滑的曲線連起來即可；（2）①根據(jù)圖像得到二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出方程x2﹣2x﹣3＝0的根；②根據(jù)圖像可判斷出當(dāng)時，y時隨的增大而增大；③根據(jù)圖像得到二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由x軸上方的圖像可求出當(dāng)y＞0時x的取值范圍．解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），對稱軸為，當(dāng)x＝0時，y＝-3，∴二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），∴點(diǎn)（0，-3）關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3），當(dāng)時，，解得：，∴二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）和（-1，0），如圖所示，用平滑的曲線將點(diǎn)（1，-4），（0，-3），（2，-3），（3，0）和（-1，0）連起來．（2）①由圖像可得，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）和（-1，0），∴方程x2﹣2x﹣3＝0的根是，故答案為：；②由圖像可得，二次函數(shù)的對稱軸為，∴當(dāng)時，y時隨的增大而增大，故答案為：；③由圖像可得，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）和（-1，0），∴當(dāng)y＞0時x的取值范圍是或．故答案為：或．【點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．類型五：圖象法求自變量或因變量的取值范圍5、已知拋物線y＝ax2+bx﹣3（a，c是常數(shù)，a≠0）經(jīng)過A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）．(1)求拋物線y＝ax2+bx﹣3的函數(shù)解析式；(2)拋物線有兩點(diǎn)M（2，y1）、N（m，y2），當(dāng)y1＜y2時，求m的取值范圍．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x﹣3(2)﹣4＜m＜2【分析】（1）把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3可求出a、b的值，即可確定二次函數(shù)關(guān)系式；（2）先確定出拋物線對稱軸x＝﹣1，進(jìn)而得出點(diǎn)M的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．解：(1)把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3得，解得，∴拋物線的關(guān)系式為y＝﹣x2﹣2x﹣3；(2)∵y＝﹣x2﹣2x﹣3，∴拋物線開口向下，對稱軸直線x＝＝﹣1，∴由圖象上取拋物線上點(diǎn)Q，使Q與N關(guān)于對稱軸x＝﹣1對稱，∴點(diǎn)M（2，y1）關(guān)于對稱軸x＝﹣1的對稱點(diǎn)為（﹣4，y1），又∵N（m，y2）在拋物線圖象上的點(diǎn)，且y1＜y2，∴﹣4＜m＜2．【點(diǎn)撥】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，拋物線的對稱性，拋物線的增減性，熟知待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，已知拋物線的對稱軸為，請你解答下列問題：(1)，拋物線與x軸的交點(diǎn)為．(2)x取什么值時，y的值隨x的增大而減?。?3)x取什么值時，．【答案】(1)m＝2

（2，0）（－1，0）(2)x＞(3)－1＜x＜2【分析】（1）利用拋物線的對稱軸方程得到?=，解方程得到m的值，從而得到y(tǒng)＝?x2＋x＋2，然后解方程?x2＋x＋2＝0得拋物線與x軸的交點(diǎn)；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．解：(1)拋物線的對稱軸為直線x＝?=，∴m＝2，拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2，當(dāng)y＝0時，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（2，0）；故答案為：2，（﹣1，0），（2，0）；(2)由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＞時，y的值隨x的增大而減??；(3)由函數(shù)圖象可知，－1＜x＜2時．【點(diǎn)撥】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式2】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．(1)求拋物線的解析式；(2)結(jié)合圖形，求y＞0時自變量x的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）將點(diǎn)代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)解析式令，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)結(jié)合函數(shù)圖象即可求得y＞0時自變量x的取值范圍．(1)解：將點(diǎn)代入拋物線y＝x2+bx+c，得解得則拋物線的解析式為：(2)由拋物線的解析式，令即解得，，且拋物線開口向上，y＞0時自變量x的取值范圍為或【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象求自變量的范圍，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．類型六：根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集6、已知拋物線y＝x2+mx+n與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)y＜0時，求x的取值范圍．【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2(2)﹣1＜x＜2【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；（2）結(jié)合函數(shù)與x軸交點(diǎn)進(jìn)行判斷．(1)解：把A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)分別代入y＝x2+mx+n，得，解得，故該拋物線解析式是：y＝x2﹣x﹣2．(2)解：∵拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，且開口方向向上，∴當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜2．【點(diǎn)撥】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，難度不大．舉一反三：【變式1】已知：二次函數(shù)．(1)通過配方，將其寫成的形式；(2)求出函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時，直接寫出的取值范圍；(4)當(dāng)________時，隨的增大而減少．【答案】(1)(2)A（-2，0），B（4，0），C（0，4）(3)-2＜x＜4(4)＞1【分析】（1）利用配方法先提出二次項系數(shù)，在加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；（2）令y=0，解得x的值，可得出函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0，解得y的值，可得出函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．（3）根據(jù)函數(shù)的開口方向，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合圖象可得；（4）根據(jù)二次函的性質(zhì)即可求得．(1)解：===；(2)令y=0，則，解得：x=-2或x=4，∴函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（-2，0）和B（4，0），令x=0，則y=4，∴函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，4）；(3)∵中，，∴函數(shù)圖象開口向下，∵函數(shù)圖象與x軸交于A（-2，0）和B（4，0），∴當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是-2＜x＜4；(4)∵，∴函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線x=1，∴當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小．【點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，等知識點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知拋物線頂點(diǎn)在第三象限，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)若點(diǎn)A是拋物線與x軸交點(diǎn)（在y軸右側(cè)），點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，直線AB的函數(shù)表達(dá)式為，求滿足的x的取值范圍．【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)【分析】（1）根據(jù)公式求對稱軸，將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求解的值，進(jìn)而可得拋物線解析式；（2）畫二次函數(shù)圖象，根據(jù)圖象與交點(diǎn)可得不等式的解集．(1)解：對稱軸為，將代入拋物線得解得或（舍去）∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(2)解：如圖，令，解得，或（舍去）∴由圖象可知當(dāng)時，．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不等式的解集．解題的關(guān)鍵在于對二次函數(shù)知識的靈活運(yùn)用．類型七：拋物線與x軸交點(diǎn)問題7、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1．(1)拋物線的對稱軸為，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．(2)試說明直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1一定存在兩個交點(diǎn)．【答案】(1)直線x＝1；（0，﹣1）(2)見分析【分析】（1）解析式化成頂點(diǎn)式即可求得對稱軸，令x＝0，求得y的值即可求得拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，說明Δ＞0即可．(1)解：∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，∴該拋物線的對稱軸為直線x＝1，令x＝0，則y＝﹣1．∴拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣1）．故答案為：直線x＝1；（0，﹣1）；(2)解：令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，整理得：ax2﹣（2a+1）x+1﹣0．∵△＝[﹣（2a+1）]2﹣4×a×1＝4a2+1＞0，∴直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在兩個交點(diǎn)．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的根的判別式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知二次函數(shù)．(1)求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn)；(2)如果該函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，求該函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)見分析(2)對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）計算判別式的值得到＝（k?1）2≥0，然后根據(jù)判別式的意義可判斷此二次函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn)；（2）由可得的值，進(jìn)而將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式即可求解．解：(1)證明：令y＝0，則kx2＋（k＋1）x＋1＝0∵a＝k，b＝k＋1，c＝1∴＝k2?2k＋1＝（k?1）2，∵（k?1）2≥0，即≥0，∴此二次函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn)；(2)該函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，=0即（k?1）2=0解得二次函數(shù)該函數(shù)圖象的對稱軸為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，把求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．△＝b2?4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)．【變式2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x?m=0．(1)設(shè)方程的兩根分別是x1，x2，若滿足x1+x2=x1?x2，求m的值．(2)二次函數(shù)y=x2+x?m的部分圖象如圖所示，求m的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2、x1?x2，然后代入列出方程，通過解方程來求m的值；（2）把點(diǎn)（1，0）代入拋物線解析式，求得m的值．(1)解：由題意得：x1+x2=-1，x1?x2=-m，∴-1=-m．∴m=1．當(dāng)m=1時，x2+x-1=0，此時Δ=1+4m=1+4=5＞0，符合題意．∴m=1；(2)解：圖象可知：過點(diǎn)（1，0），當(dāng)x=1，y=0，代入y=x2+x-m，得12+1-m=0．∴m=2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根，那么有x1+x2=-，x1x2=．類型八：根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定相應(yīng)方程根的情況8、已知．(1)化簡T；(2)若點(diǎn)（x，0）在二次函數(shù)y＝（x+1）（x+2）的圖象上，求T的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分式運(yùn)算，化簡求解即可得出答案；（2）將點(diǎn)代入二次函數(shù)表達(dá)式，可求出x，在帶入原式即可求出T．(1)解：．(2)解：∵點(diǎn)（x，0）在二次函數(shù)y＝（x+1）（x+2）的圖象上，∴0＝（x+1）（x+2），解得或，由（1）中分母可知，故舍去，把代入，；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查分式的化簡求值，二次函數(shù)的性質(zhì)，仔細(xì)計算，注意分式有意義的條件．舉一反三：【變式1】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)(1)填空：_______，_______．(2)如果直線與此拋物線有且只有一個交點(diǎn)，求k的值和該交點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將該拋物線x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后得到的圖象與原圖象剩余部分組成一個新的圖象，該圖象記為M，若直線與圖象M有兩個交點(diǎn)，求n的取值范圍．【答案】(1)(2)k=-7；（-2，-3）(3)n>3或-6<n<2【分析】（1）把點(diǎn)和點(diǎn)代入，即可求解；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得k=-7，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式，即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意可得將該拋物線x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后得到的新拋物線的解析式為，由可得再由直線與圖象M有兩個交點(diǎn)，可得n>3，再把點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（-3，0）分別代入，可得當(dāng)-6<n<2時，與M有兩個交點(diǎn)，即可求解．(1)解：把點(diǎn)和點(diǎn)代入，得：，解得：，故答案為：1，-3；(2)解：根據(jù)題意得：，∴，∴，∴k=-7，解方程組，得：，∴交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-3）；(3)解：根據(jù)題意得：將該拋物線x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后得到的新拋物線的解析式為，由，得：，當(dāng)時，解得：n＝3，即當(dāng)n>3時，與M有兩個交點(diǎn)，把點(diǎn)（1，0）代入，得：n=2，把點(diǎn)（-3，0）代入，得：n=-6，即-6<n<2時，與M有兩個交點(diǎn)，綜上所述，若直線與M有兩個交點(diǎn)，n>3或-6<n<2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)