八年級數(shù)學（第十九章 四邊形）19.2 平行四邊形（滬科版 學習、上課資料）

19.2平行四邊形第十九章四邊形第1課時平行四邊形的性質逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2平行四邊形平行四邊形的邊、角性質兩條平行線之間的距離平行四邊形的對角線性質知1－講感悟新知知識點平行四邊形11.定義?兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.感悟新知知1－講特別提醒平行四邊形的定義有兩個要素：(1)是四邊形；(2)兩組對邊分別平行.作為四邊形，平行四邊形具有一般四邊形的一切性質，如有四條邊，四個內(nèi)角，兩條對角線，內(nèi)角和為360°，外角和為360°等.作為平行四邊形，它區(qū)別于其他一般四邊形的特殊性質為：平行四邊形的兩組對邊分別平行.感悟新知知1－講

感悟新知2.表示方法?平行四邊形用符號“?”表示，如圖19.2－1，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”

.知1－講感悟新知注意：(1)表示平行四邊形一定要按順時針或逆時針依次注明各頂點，不能打亂順序.(2)“?”作為表示平行四邊形的符號，不可單獨使用它來代替“平行四邊形”.知1－講感悟新知3.平行四邊形的基本元素知1－講基本元素主要內(nèi)容圖示邊鄰邊AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四對對邊AB和DC，AD和BC，共有兩對角鄰角∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB和∠ABC，∠DAB和∠ABC，共有四對對角∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有兩對對角線AC和BD，共有兩條知1－練感悟新知如圖19.2－2，在ABCD內(nèi)部有一點P，過點P

作直線EF，GH分別平行于AB，BC，那么圖中共有個平行四邊形.例1解題秘方：緊扣平行四邊形定義中的“兩要素”進行識別.知1－練感悟新知解：在ABCD中，∵EF∥AB，GH∥BC，∴EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC.∴單獨一個四邊形是平行四邊形的有4個：?DEPH，?EAGP，?HPFC，?PGBF；由兩個四邊形組成的平行四邊形有4個：?DEFC，?EABF，?DAGH，?HGBC；由四個四邊形組成的平行四邊形有1個：

?ABCD.∴圖中共有9個平行四邊形.答案：9知1－練感悟新知方法點撥用分類法數(shù)幾何圖形的個數(shù)：數(shù)幾何圖形的個數(shù)時，往往不是多數(shù)了就是漏數(shù)了.若將幾何圖形分類(按順序或大小)數(shù)，就能將問題簡化，如例1，將平行四邊形分為由一個、兩個、四個四邊形組成的平行四邊形，這樣就能做到不重不漏.知1－練感悟新知如圖19.2－3，在ABCD

中，∠1=∠2.求證：四邊形BEDF

是平行四邊形.例2

知1－練感悟新知證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，即DE∥BF，∴∠1=∠DFA.∵∠1=∠2，∴∠2=∠DFA，∴DF∥BE，∴四邊形BEDF

是平行四邊形.解題秘方：緊扣平行四邊形定義的“性質功能和判定功能”進行證明.知1－練感悟新知解法提醒當題目的條件中有平行四邊形時，應立即想到兩組對邊分別平行；當題目的結論要證平行四邊形時，首先應想到證明它的兩組對邊分別平行.逆向利用及正向利用平行四邊形的定義是后面學習平行四邊形的性質及判定的主要依據(jù).感悟新知知2－講知識點平行四邊形的邊、角性質21.性質1?平行四邊形的對邊相等.數(shù)學語言：如圖19.2－4，∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC.感悟新知知2－講2.性質2?平行四邊形的對角相等.數(shù)學語言：如圖19.2－4，∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠B=∠D.知2－講感悟新知特別提醒由于平行四邊形的基本元素有邊和角，因此討論其性質也應從邊和角這兩個方面去看.1.從邊看：平行四邊形的對邊平行且相等；2.從角看：平行四邊形的對角相等、鄰角互補.注意：已知平行四邊形，要根據(jù)推理證明的需要，合理選用性質.感悟新知知2－練如圖19.2－5，在平行四邊形ABCD

中，若AC=10，AD=6，∠ACB=30°，求平行四邊形ABCD的面積.例3知2－練感悟新知解題秘方：過A

點作AG⊥BC，交CB

的延長線于G，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質得出AG

的長度，進而利用平行四邊形的面積公式解答．知2－練感悟新知解：如圖19.2－5，過A

點作AG⊥BC，交CB

的延長線于G，在Rt△AGC中，AC=10，∠ACB=30°，∴AG=5.∵平行四邊形的對邊相等，∴BC=AD=6，∴平行四邊形ABCD

的面積=BC·AG=5×6=30．知2－練感悟新知解法提醒緊扣“平行四邊形的邊的性質”進行解答.感悟新知知3－講知識點兩條平行線之間的距離31.定義?兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.知3－講感悟新知特別提醒1.距離是指垂線段的長度，它是正值；2.當兩條平行線確定后，它們之間的距離是一定值；3.平行線間的距離處處相等，因此在作平行四邊形的高時，可根據(jù)需要靈活選擇位置；4.任何兩條平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是兩條平行線間最短線段的長度.感悟新知知3－講三種距離之間的區(qū)別與聯(lián)系類別兩點間的距離點到直線的距離兩條平行線間的距離區(qū)別連接兩點的線

段的長度點到直線的垂線段的長度兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的垂線段的長度聯(lián)系都歸結為兩點間的一條線段的長度感悟新知知3－講2.性質如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都相等，即平行線間的距離處處相等.數(shù)學語言：如圖19.2－6，A，C

是l1上任意兩點，∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，∴AB=CD.感悟新知知3－講3.拓展(1)夾在兩條平行線間的任何平行線段都相等.(2)等底等高的平行四邊形的面積相等.感悟新知知3－講(3)

平行四邊形的面積=底×高=ah

(其中a

是平行四邊形的任意一條邊長，h必須是這條邊與它的對邊之間的距離)

.如圖19.2－7所示，在ABCD

中，AE⊥BC

于點E，CF⊥AB

于點F，則S?

ABCD=BC·AE=AB·CF.知3－練感悟新知如圖19.2－8，直線a∥b，點A，E，F(xiàn)

在直線a上，點B，C，D在直線b上，BC=EF.△ABC與△DEF的面積相等嗎？為什么？例4

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣等底等高的三角形面積相等作三角形的高進行說明.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知解法提醒1.由平行線間的距離處處相等，可知頂點都在兩平行線上的三角形的高相等.2.解頂點在兩平行線上的三角形的面積問題常作高(兩平行線間的垂線段)進行解答.感悟新知知4－講知識點平行四邊形的對角線性質4

感悟新知知4－講2.拓展性質(1)

平行四邊形的一條對角線將平行四邊形分成面積相等的兩部分，兩條對角線將平行四邊形分成面積相等的四部分.(2)

若一條直線過平行四邊形兩條對角線的交點，則該直線平分平行四邊形的周長和面積.知4－講感悟新知

感悟新知知4－練[月考·揚州]如圖19.2－11，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點O

作EF⊥AC，分別交AB、DC于點E、F．若OE=3，求EF

的長；例5知4－練感悟新知解題秘方：判定△DOF≌△BOE，即可得OE=OF=3，進而得出EF

的長.知4－練感悟新知解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，OD=OB，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO．∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴OE=OF，∵OE=3，∴EF=6.知4－練感悟新知解法提醒本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．感悟新知知4－練如圖19.2－12，在ABCD

中，對角線AC，BD相交于點O，過點O

作直線EF，分別交AD，BC于點E，F(xiàn).判斷四邊形ABFE的面積與四邊形FCDE

的面積有何關系，并說明理由.例6

知4－練感悟新知解題秘方：緊扣平行四邊形的對角線性質、全等三角形的性質進行解答.知4－練感悟新知解：S

四邊形ABFE=S四邊形FCDE.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AD∥BC.∴∠1=∠2.又∵∠3=∠4，∴△AOE≌△COF.∴S

△AOE=S

△COF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，BC=DA，∠ABC=∠CDA.知4－練感悟新知∴△ABC≌△CDA.∴S△ABC=S

△CDA.∵S

四邊形ABFE=S

△ABC－S

△COF+S

△AOE=S

△ABC，S

四邊形FCDE=S

△CDA－S

△AOE+S

△COF=S

△CDA，∴S四邊形ABFE=S

四邊形FCDE.知4－練感悟新知特別提醒這是平行四邊形對角線性質的兩個拓展結論，即1.平行四邊形的一條對角線將平行四邊形分成兩個面積相等的三角形.2.過平行四邊形的兩條對角線交點的一條直線將平行四邊形分成兩個面積相等的梯形.本例的實質是知識點中的兩條拓展性質的部分結論的證明過程.平行四邊形的性質平行四邊形定義性質表示方法平行線間的距離19.2平行四邊形第十九章四邊形第2課時平行四邊形的判定逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2平行四邊形的判定三角形的中位線知1－講感悟新知知識點平行四邊形的判定11.判定方法?判定平行四邊形可以從對邊、對角和對角線三個方面進行，如圖19.2－27，在四邊形ABCD

中，AC，BD相交于點O，具體方法如下表所示.感悟新知知1－講特別提醒1.平行四邊形的判定定理和性質定理是互逆定理，解題時要注意區(qū)別，不能混淆

.(1)由平行四邊形這一條件得到邊、角、對角線的關系是性質；(2)由邊、角、對角線的關系得到平行四邊形是判定.感悟新知知1－講2.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形.3.兩組鄰邊分別相等的四邊形不一定是平行四邊形.感悟新知知1－講條件類型判定方法數(shù)學語言對邊關系兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)∵AD∥BC，AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形∵ADBC(或ABCD)，

∴四邊形ABCD是平行四邊形定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形∵AD=BC，AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形感悟新知知1－講對角關系兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（補充）∵∠DAB=∠DCB，

∠ABC=∠ADC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形對角線關系定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵OA=OC，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形感悟新知2.靈活選擇平行四邊形判定定理的方法(1)

已知一組對邊平行，可證明該組對邊相等或證明另一組對邊平行.(2)已知一組對邊相等，可證明該組對邊平行或證明另一組對邊相等.(3)已知條件與對角線有關，可證明對角線互相平分.(4)已知條件與角有關，可證明兩組對角分別相等.知1－講感悟新知知1－講方法提醒判定平行四邊形的方法選擇已知條件證明思路一組對邊相等1.另一組對邊相等2.該組對邊平行一組對邊平行1.另一組對邊平行2.該組對邊相等對角線相交對角線互相平分角兩組對角相等知1－練感悟新知[中考·郴州]如圖19.2－28，四邊形ABCD

中，AB=DC，將對角線AC向兩端分別延長至點E，F(xiàn)，使AE=CF．連接BE，DF，若BE=DF．證明：四邊形

ABCD是平行四邊形．例1知1－練感悟新知解題秘方：針對條件“AB=DC”，緊扣邊的關系來判定平行四邊形.

知1－練感悟新知解題通法由邊的關系判定平行四邊形的方法1.若已知一組對邊平行，則可采用證這組對邊相等或另一組對邊平行這兩種方法判定平行四邊形.2.若已知一組對邊相等，則可采用證這組對邊平行或另一組對邊相等這兩種方法判定平行四邊形.知1－練感悟新知如圖19.2－29，在?ABCD

中，BE平分∠ABC，交AD于點E，DF

平分∠ADC，交BC

于點F，那么四邊形BFDE是平行四邊形嗎？為什么？例2

知1－練感悟新知解題秘方：針對條件中與角有關的條件居多這一特點，緊扣“兩組對角相等”來判定平行四邊形.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知∵∠DFB=∠C+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠A，∴∠DFB=∠BED，∴四邊形BFDE是平行四邊形.知1－練感悟新知解法提醒當已知條件中與角有關的條件居多時，應從角的角度考慮判定平行四邊形的方法，因此可利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形來判定.知1－練感悟新知[中考·徐州]已知：如圖19.2－30，在平行四邊形ABCD

中，點E，F(xiàn)

在AC上，且AE=CF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.例3知1－練感悟新知解題秘方：由于條件都與四邊形的對角線相關，因此需緊扣對角線的關系判定平行四邊形.知1－練感悟新知證明：如圖19.2－30，連接BD，對角線AC，BD

交于點O.∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.又∵AE=CF，∴OA

－AE=OC

－CF，即OE=OF.∴四邊形BEDF是平行四邊形.知1－練感悟新知解法提醒當已知條件都與對角線相關時，應從對角線的角度考慮判定平行四邊形的方法，而從對角線的角度判定平行四邊形，一般結合已知平行四邊形的性質，利用已知平行四邊形的對角線的性質去判定要說明的四邊形是平行四邊形.感悟新知知2－講知識點三角形的中位線21.平行線等分線段定理?如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.感悟新知知2－講2.推論?經(jīng)過三角形一邊中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.3.三角形的中位線的定義?連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.數(shù)學語言：如圖19.2－31，∵AD=BD，AE=EC，∴DE

是△ABC

的中位線.知2－講感悟新知特別提醒1.一個三角形有三條中位線；2.三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形；3.三角形的中位線與三角形的中線的區(qū)別：三角形的中線是連接一頂點和它的對邊中點的線段，而三角形的中位線則是連接兩邊中點的線段；4.三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.感悟新知知2－講

感悟新知知2－練[月考·浦城縣]已知：如圖19.2－32，E為?ABCD中DC

邊的延長線上一點，且CE=DC，連接AE，分別交BC、BD于點F、G，連接AC

交BD于O，連接OF，判斷AB

與OF的位置關系和大小關系，并證明你的結論．例4

知2－練感悟新知解題秘方：此題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的性質與判定及三角形的中位線定理，綜合的知識點比較多，解答本題的關鍵是