歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)

?數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化?

歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)1精選ppt第六講

歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)前言一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)1、危機(jī)的起因2、危機(jī)的實(shí)質(zhì)3、危機(jī)的解決二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)1、危機(jī)的引發(fā)2、危機(jī)的實(shí)質(zhì)3、危機(jī)的解決三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)1．“數(shù)學(xué)根底〞的曙光——集合論2．算術(shù)的集合論根底3．羅素的“集合論悖論〞引發(fā)危機(jī)4．危機(jī)的消除四、三次數(shù)學(xué)危機(jī)與“無(wú)窮〞的聯(lián)系2精選ppt前言歷史上，數(shù)學(xué)的開(kāi)展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機(jī)。危機(jī)也意味著挑戰(zhàn)，危機(jī)的解決就意味著進(jìn)步。所以，危機(jī)往往是數(shù)學(xué)開(kāi)展的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)開(kāi)展史上有三次數(shù)學(xué)危機(jī)。每一次數(shù)學(xué)危機(jī)，都是數(shù)學(xué)的根本局部受到質(zhì)疑。實(shí)際上，也恰恰是這三次危機(jī)，引發(fā)了數(shù)學(xué)上的三次思想解放，大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的開(kāi)展。3精選ppt一.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

1.危機(jī)的起因：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由不能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比引發(fā)的。

畢達(dá)哥拉斯〔約公元前580-前500〕古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家4精選ppt1.這一危機(jī)發(fā)生在公元前5世紀(jì)，危機(jī)來(lái)源于：當(dāng)時(shí)認(rèn)為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)比，但突然發(fā)現(xiàn)不能表為整數(shù)比。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的.2.危機(jī)的實(shí)質(zhì)：是無(wú)理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴(kuò)充，需要添加無(wú)理數(shù).5精選ppt☆當(dāng)時(shí)古希臘的歐多克索斯局部地解決了這一危機(jī)。他采用了一個(gè)十分巧妙的關(guān)于“兩個(gè)量之比〞的新說(shuō)法，回避了是無(wú)理數(shù)的實(shí)質(zhì)，而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結(jié)果，使幾何的根底牢靠了，幾何從全部數(shù)學(xué)中脫穎而出。歐幾里得的?幾何原本?中也采用了這一說(shuō)法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的根底。6精選ppt3.危機(jī)的解決但是徹底解決這一危機(jī)是在19世紀(jì)，依賴(lài)于數(shù)系的擴(kuò)張。直到人類(lèi)認(rèn)識(shí)了實(shí)數(shù)系，這次危機(jī)才算徹底解決，這已經(jīng)是兩千多年以后的事情了。7精選ppt二.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)那么是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對(duì)牛頓“無(wú)窮小量〞說(shuō)法的質(zhì)疑引起的。8精選ppt1．危機(jī)的引發(fā)1〕牛頓的“無(wú)窮小〞牛頓的微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問(wèn)題。我們來(lái)看一個(gè)例子。微積分的一個(gè)來(lái)源，是想求運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。在牛頓之前，只能求一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，無(wú)法求某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。9精選ppt例如，設(shè)自由落體在時(shí)間下落的距離為，有公式，其中是固定的重力加速度。我們要求物體在的瞬時(shí)速度，先求?！唷?〕10精選ppt

當(dāng)變成無(wú)窮小時(shí)，右端的也變成無(wú)窮小，因而上式右端就可以認(rèn)為是，這就是物體在時(shí)的瞬時(shí)速度，它是兩個(gè)無(wú)窮小之比。牛頓的這一方法很好用，解決了大量過(guò)去無(wú)法解決的科技問(wèn)題。但是邏輯上不嚴(yán)格，遭到責(zé)難。11精選ppt2〕貝克萊的發(fā)難英國(guó)的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。貝克萊問(wèn)道：“無(wú)窮小〞作為一個(gè)量，究竟是不是0？12精選ppt

如果是0，上式左端當(dāng)成無(wú)窮小后分母為0，就沒(méi)有意義了。如果不是0，上式右端的就不能任意去掉。在推出上式時(shí)，假定了才能做除法，所以上式的成立是以為前提的。那么，為什么又可以讓而求得瞬時(shí)速度呢？因此，牛頓的這一套運(yùn)算方法，就如同從出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒唐?！?〕13精選ppt貝克萊還挖苦挖苦說(shuō)：即然和都變成“無(wú)窮小〞了，而無(wú)窮小作為一個(gè)量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂〞了。這就是著名的“貝克萊悖論〞。對(duì)牛頓微積分的這一責(zé)難并不是由數(shù)學(xué)家提出的，但是，14精選ppt貝克萊的質(zhì)問(wèn)是擊中要害的數(shù)學(xué)家在將近200年的時(shí)間里，不能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責(zé)難。直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“〞語(yǔ)言，才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難。15精選ppt3〕實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)成認(rèn)，貝克萊的責(zé)難是有道理的?！盁o(wú)窮小〞的方法在概念上和邏輯上都缺乏根底。牛頓和當(dāng)時(shí)的其他數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴(yán)格說(shuō)清“無(wú)窮小〞的方法。數(shù)學(xué)家們相信它，只是由于它使用起來(lái)方便有效，并且得出的結(jié)果總是對(duì)的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責(zé)。這說(shuō)明，在大多數(shù)人的腦海里，“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。〞16精選ppt

2．危機(jī)的實(shí)質(zhì)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是“不是有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù)〞。那么第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？應(yīng)該說(shuō)，是極限的概念不清楚，極限的理論根底不牢固。也就是說(shuō)，微積分理論缺乏邏輯根底。17精選ppt其實(shí)，在牛頓把瞬時(shí)速度說(shuō)成“物體所走的無(wú)窮小距離與所用的無(wú)窮小時(shí)間之比〞的時(shí)候，這種說(shuō)法本身就是不明確的，是模糊的。當(dāng)然，牛頓也曾在他的著作中說(shuō)明，所謂“最終的比〞，就是分子、分母要成為0還不是0時(shí)的比——例如〔*〕式中的gt，它不是“最終的量的比〞，而是“比所趨近的極限〞。

18精選ppt他這里雖然提出和使用了“極限〞這個(gè)詞，但并沒(méi)有明確說(shuō)清這個(gè)詞的意思。德國(guó)的萊布尼茨雖然也同時(shí)創(chuàng)造了微積分，但是也沒(méi)有明確給出極限的定義。正因?yàn)槿绱?，此后近二百年間的數(shù)學(xué)家，都不能滿(mǎn)意地解釋貝克萊提出的悖論。19精選ppt

所以，由“無(wú)窮小〞引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，實(shí)質(zhì)上是缺少?lài)?yán)密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的根底。20精選ppt牛頓〔英，1642-1727〕萊布尼茨〔德，1646-1716〕21精選ppt3．危機(jī)的解決1〕必要性微積分雖然在開(kāi)展，但微積分的邏輯根底上存在的問(wèn)題是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學(xué)家的一塊心病。22精選ppt而且，隨著時(shí)間的推移，研究范圍的擴(kuò)大，類(lèi)似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無(wú)窮級(jí)數(shù)的時(shí)候，做出許多錯(cuò)誤的證明，并由此得到許多錯(cuò)誤的結(jié)論。由于沒(méi)有嚴(yán)格的極限理論作為根底。數(shù)學(xué)家們?cè)谟邢夼c無(wú)限之間任意通行〔不考慮無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的問(wèn)題〕。

23精選ppt因此，進(jìn)入19世紀(jì)時(shí)，一方面微積分取得的成就超出人們的預(yù)料，另一方面,大量的數(shù)學(xué)理論沒(méi)有正確、牢固的邏輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)結(jié)論是正確無(wú)誤的。

歷史要求為微積分學(xué)說(shuō)奠基。24精選ppt2〕嚴(yán)格的極限理論的建立到19世紀(jì)，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴(yán)格的極限理論，并把它作為微積分的根底。應(yīng)該指出，嚴(yán)格的極限理論的建立是逐步的、漫長(zhǎng)的。25精選ppt①在18世紀(jì)時(shí)，人們已經(jīng)建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。②達(dá)朗貝爾在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。③19世紀(jì)初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開(kāi)始將嚴(yán)格的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫(xiě)的?無(wú)窮的悖論?一書(shū)中包含許多真知灼見(jiàn)。26精選ppt④而做出決定性工作、可稱(chēng)為分析學(xué)的奠基人的是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西〔A.L.Cauchy,1789—1857〕。他在1821—1823年間出版的?分析教程?和?無(wú)窮小計(jì)算講義?是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。他對(duì)極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書(shū)上的差不太多了。27精選ppt柯西〔法，1789-1857〕波爾查諾〔捷，1781-1848〕28精選ppt3〕嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論的建立①對(duì)以往理論的再認(rèn)識(shí)后來(lái)的一些發(fā)現(xiàn)，使人們認(rèn)識(shí)到，極限理論的進(jìn)一步嚴(yán)格化，需要實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格化。微積分或者說(shuō)數(shù)學(xué)分析，是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的。但是，下邊兩件事，說(shuō)明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依賴(lài)比人們想象的要深?yuàn)W得多。29精選ppt一件事是，1874年德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯〔K.T.W.Weirstrass，1815—1897〕構(gòu)造了一個(gè)“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)〞?！斑B續(xù)函數(shù)〞在直觀上是“函數(shù)曲線(xiàn)沒(méi)有間斷，連在一起〞，而“函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)〞直觀上是“函數(shù)曲線(xiàn)在該點(diǎn)有切線(xiàn)〞。所以，在直觀上“連續(xù)〞與“可導(dǎo)〞有密切的聯(lián)系。這之前甚至有人還證明過(guò)：函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)上都可導(dǎo)〔當(dāng)然是錯(cuò)誤的〕。因此根本不可想象，還會(huì)有“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)〞。30精選ppt

魏爾斯特拉斯

德意志帝國(guó)數(shù)學(xué)家。1815年10月31日生于威斯特法倫州的奧斯滕費(fèi)爾德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和財(cái)政。1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)。1842～1856年，先后在幾所中學(xué)任教。1854年3月31日獲得哥尼斯堡大學(xué)名譽(yù)博士學(xué)位。1856年10月受聘為柏林大學(xué)助理教授，同年成為柏林科學(xué)院成員，1864年升為教授。魏爾斯特拉斯(德，1815～1897)

31精選ppt魏爾斯特拉斯關(guān)于“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)〞的例子是

其中是奇數(shù)，，使。32精選ppt另一件事是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼〔B.Riemann，1826—1866〕發(fā)現(xiàn)，柯西把定積分限制于連續(xù)函數(shù)是沒(méi)有必要的。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。

33精選ppt黎曼還造出一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量取無(wú)理數(shù)時(shí)它是連續(xù)的，當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)它是不連續(xù)的。34精選ppt

黎曼1826年9月17日，黎曼生于德國(guó)北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個(gè)鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開(kāi)始上學(xué)，14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚年的學(xué)生。

黎曼〔德，1826-1866〕35精選ppt這些例子使數(shù)學(xué)家們?cè)絹?lái)越明白，在為分析建立一個(gè)完善的根底方面，還需要再前進(jìn)一步：即需要理解和說(shuō)明實(shí)數(shù)系的更深刻的性質(zhì)。36精選ppt②魏爾斯特拉斯的奉獻(xiàn)德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯〔KarlWeierstrass，1815—1897〕的努力，終于使分析學(xué)從完全依靠運(yùn)動(dòng)學(xué)、直觀理解和幾何概念中解放出來(lái)。他的成功產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，主要表現(xiàn)在兩方面，一方面是建立了實(shí)數(shù)系，另一方面是創(chuàng)造了精確的“〞語(yǔ)言。37精選ppt“〞語(yǔ)言的成功，表現(xiàn)在：這一語(yǔ)言給出極限的準(zhǔn)確描述，消除了歷史上各種模糊的用語(yǔ)，諸如“最終比〞、“無(wú)限地趨近于〞，等等。這樣一來(lái)，分析中的所有根本概念都可以通過(guò)實(shí)數(shù)和它們的根本運(yùn)算和關(guān)系精確地表述出來(lái)。38精選ppt4〕極限的“〞定義及“貝克萊悖論〞的消除①極限的“〞定義39精選ppt定義：設(shè)函數(shù)在的附近都有定義，如果有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)〔無(wú)論多么小的正數(shù)〕。都〔都能找到一個(gè)正數(shù)，依賴(lài)于〕，使當(dāng)時(shí)〔滿(mǎn)足不等式的所有不等于的〕，有〔這些對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與的差小于預(yù)先給定的任意小的〕我們就說(shuō)“函數(shù)在趨近于時(shí)，有極限〞。記為。40精選ppt由極限的這個(gè)“〞定義，可以求出一些根本的極限，并嚴(yán)格地建立一整套豐富的極限理論。簡(jiǎn)單說(shuō)，例如有兩個(gè)相等的函數(shù)，取極限后仍相等；兩個(gè)函數(shù)，代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和。等等。由此再建立嚴(yán)格的微積分理論。41精選ppt②“貝克萊悖論〞的消除回到牛頓的〔*〕式上：〔*〕這是在〔即〕條件下，得到的等式；它說(shuō)明時(shí)間內(nèi)物體的平均速度為?！?〕式兩邊都是△t的函數(shù)。然后，我們把物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度定義為：上述平均速度當(dāng)趨于0時(shí)的極限，即物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度=。42精選ppt下邊我們對(duì)〔*〕式的等號(hào)兩邊同時(shí)取極限，根據(jù)“兩個(gè)相等的函數(shù)取極限后仍相等〞，得瞬時(shí)速度=再根據(jù)“兩個(gè)函數(shù)和的極限等于極限的和〞，得然后再求極限得43精選ppt上述過(guò)程所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論是一樣的，但每一步都有了嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)?！柏惪巳R悖論〞的焦點(diǎn)“無(wú)窮小量是不是0？〞，在這里給出了明確的答復(fù)：。這里也沒(méi)有“最終比〞或“無(wú)限趨近于〞那樣模糊不清的說(shuō)法。44精選ppt總之，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的核心是微積分的根底不穩(wěn)固?？挛鞯姆瞰I(xiàn)在于，將微積分建立在極限論的根底。魏爾斯特拉斯的奉獻(xiàn)在于，邏輯地構(gòu)造了實(shí)數(shù)系，建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，使之成為極限理論的根底。所以，建立數(shù)學(xué)分析〔或者說(shuō)微積分〕根底的“邏輯順序〞是：實(shí)數(shù)理論—極限理論—微積分。而“歷史順序〞那么正好相反。45精選ppt知識(shí)的邏輯順序與歷史順序

有時(shí)是不同的.46精選ppt三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)1．“數(shù)學(xué)根底〞的曙光——集合論到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論〔和極限理論〕的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的根底；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯根底更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的根底在哪里？正在這時(shí)，19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺(jué)到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的根底。47精選ppt其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等為對(duì)象，微積分以變數(shù)、函數(shù)為對(duì)象，幾何以點(diǎn)、線(xiàn)、面及其組成的圖形為對(duì)象。同時(shí)，用集合論的語(yǔ)言，算術(shù)的對(duì)象可說(shuō)成是“以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等組成的集合〞；微積分的對(duì)象可說(shuō)成是“以函數(shù)等組成的集合〞；幾何的對(duì)象可說(shuō)成是“以點(diǎn)、線(xiàn)、面等組成的集合〞。這樣一來(lái)，都是以集合為對(duì)象了。集合成了更根本的概念。48精選ppt于是，集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)?lái)了曙光：可能會(huì)一勞永逸地?cái)[脫“數(shù)學(xué)根底〞的危機(jī)。盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認(rèn)為這只是時(shí)間問(wèn)題。龐加萊〔(JulesHenriPoincaré，法，1854-1912〕甚至在1900年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上宣稱(chēng)：“現(xiàn)在我們可以說(shuō)，完全的嚴(yán)格性已經(jīng)到達(dá)了！〞49精選ppt2．算術(shù)的集合論根底1〕人們按以下邏輯順序把全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)，即自然數(shù)集合加上0——現(xiàn)在我國(guó)中小學(xué)就把這一集合稱(chēng)為自然數(shù)集合?！菜阈g(shù)〕非負(fù)整數(shù)n→有理數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)圖形50精選ppt因此，全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)了，或者說(shuō)，全部數(shù)學(xué)都可以歸結(jié)為算術(shù)了。這樣，如果能把算術(shù)建立在集合論的根底上，就相當(dāng)于解決了整個(gè)“數(shù)學(xué)根底〞的問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)弗雷格〔G.Frege,1848—1925〕就做了這樣的工作。他寫(xiě)了一本名叫?算術(shù)根底?的書(shū)。51精選ppt弗雷格〔法,1848—1925〕?算術(shù)根底?52精選ppt2)弗雷格的?算術(shù)根底?為了使算術(shù)建立在集合論的根底上，所有的非負(fù)整數(shù)，都需要用集合論的觀點(diǎn)和語(yǔ)言重新定義。首先從0說(shuō)起。0是什么？應(yīng)領(lǐng)先答復(fù)0是什么，然后才有表示“0〞的符號(hào)。53精選ppt為此，先定義“空集〞。空集是“不含元素的集合〞。例如，“方程在實(shí)數(shù)集中的根的集合〞就是一個(gè)空集，再例如“由最大的正整數(shù)組成的集合〞也是一個(gè)空集。54精選ppt所有的空集放在一起，作成一個(gè)集合的集合，〔為說(shuō)話(huà)簡(jiǎn)單我們把“集合的集合〞稱(chēng)作類(lèi)〕，這個(gè)類(lèi)，就可以給它一個(gè)符號(hào)：0，中國(guó)人念“l(fā)ing〞，英國(guó)人念“Zero〞。空集是空的，但由所有空集組成的類(lèi)，它本身卻是一個(gè)元素了，即，0是一個(gè)元素了。由它再作成一個(gè)集合{0}，那么不是空集了。55精選ppt弗雷格再定義兩個(gè)集合間的雙射：既是滿(mǎn)射又是單射的映射叫作雙射，也稱(chēng)可逆映射；通俗地說(shuō)，就是存在逆映射的映射。它可以在兩個(gè)集合間來(lái)回地映射，所以一般稱(chēng)為“雙射〞。弗雷格再定義兩個(gè)集合的“等價(jià)〞：，能夠在其間建立雙射的兩個(gè)集合A、B稱(chēng)為“等價(jià)〞。56精選ppt下邊可以定義“1〞了。把與集合{0}等價(jià)的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)類(lèi)，就可以給它一個(gè)符號(hào)：1。再定義“2〞。把與集合{0，1}等價(jià)的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)類(lèi)，就叫：2。然后，把與{0，1，2}等價(jià)的集合作成的類(lèi)，叫：3。57精選ppt一般地，在有了0，1，2，…，n的定義后，就把所有與集合{0，1，2，…，n}等價(jià)的集合放在一起，作成集合的集合，這樣的類(lèi)，定義為：n+1。這種定義概念的方法，叫作“歸納定義〞的方法。58精選ppt這樣，弗雷格就從空集出發(fā)，而僅僅用到集合及集合等價(jià)的概念，把全部非負(fù)整數(shù)定義出來(lái)了。于是根據(jù)上邊說(shuō)的“可以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)〞，就可以說(shuō)，全部數(shù)學(xué)可以建立在集合論的根底上了。59精選ppt3．羅素的“集合論悖論〞引發(fā)危機(jī)1〕悖論引起震憾和危機(jī)正當(dāng)弗雷格即將出版他的?算術(shù)基礎(chǔ)?一書(shū)的時(shí)候，羅素的集合論悖論出來(lái)了。這也是龐加萊宣布“完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)已經(jīng)建立起來(lái)！〞之后剛剛兩年，即1902年。60精選ppt伯特蘭·羅素〔1872-1970〕Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)

學(xué)科成就：英國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，分析學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)始人，世界和平運(yùn)動(dòng)的倡導(dǎo)者和組織者。

所獲獎(jiǎng)項(xiàng)：1950年諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。頒獎(jiǎng)詞：當(dāng)代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言論和自由思想的無(wú)畏斗士。

羅素〔英，1872-1970〕61精選ppt集合論中居然有邏輯上的矛盾！傾刻之間，算術(shù)的根底動(dòng)搖了，整個(gè)數(shù)學(xué)的根底似乎也動(dòng)搖了。這一動(dòng)搖所帶來(lái)的震憾是空前的。許多原先為集合論興高采烈的數(shù)學(xué)家發(fā)出哀嘆：我們的數(shù)學(xué)就是建立在這樣的根底上的嗎？羅素悖論引發(fā)的危機(jī)，就稱(chēng)為第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。62精選ppt羅素把他發(fā)現(xiàn)的悖論寫(xiě)信告訴弗雷格。弗雷格在他的?算術(shù)根底?一書(shū)的末尾無(wú)可奈何地寫(xiě)道：“一個(gè)科學(xué)家遇到的最不愉快的事莫過(guò)于，當(dāng)他的工作完成時(shí)，根底崩塌了。當(dāng)本書(shū)即將印刷時(shí)，羅素先生的一封信就使我陷入這樣的為難境地。〞63精選ppt2〕羅素悖論在表達(dá)羅素悖論之前,我們先注意到下邊的事實(shí)：一個(gè)集合或者是它本身的成員(元素),或者不是它本身的成員(元素)，兩者必居其一。羅素把前者稱(chēng)為“異常集合〞，把后者稱(chēng)為“正常集合〞。64精選ppt例如,所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合〞。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合〞。再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合〞。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合〞。65精選ppt羅素當(dāng)年的例子“異常集合〞1：不多于29個(gè)字母表達(dá)的句子所構(gòu)成的集合〔這一集合的定義是“不多于29個(gè)字母表達(dá)的句子〞，它是這一集合本身的成員〕“異常集合〞2：不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合〔“不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合〞肯定不是麻雀，所以它是這一集合本身的成員〕66精選ppt羅素悖論是：以表示“是其本身成員的所有集合的集合〞〔所有異常集合的集合〕，而以表示“不是它本身成員的所有集合的集合〞〔所有正常集合的集合〕，于是任一集合或者屬于，或者屬于，兩者必居其一，且只居其一。然后問(wèn)：集合是否是它本身的成員？〔集合是否是異常集合？〕67精選ppt如果是它本身的成員，那么按及的定義，是的成員，而不是的成員，即不是它本身的成員，這與假設(shè)矛盾。即

如果不是它本身的成員，那么按及的定義，是的成員，而不是的成員，即是它本身的成員，這又與假設(shè)矛盾。即

悖論在于：無(wú)論哪一種情況，都得出矛盾。68精選ppt羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論〞：某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱(chēng)，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問(wèn)：理發(fā)師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱(chēng)的原那么，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱(chēng)的原那么，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。69精選ppt4．危機(jī)的消除危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來(lái)消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論根底，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保存下來(lái)。70精選ppt這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡(jiǎn)明，但并不是建立在明晰的公理根底之上的，這就留