2024屆北京市十三中數(shù)學高一第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆北京市十三中數(shù)學高一第二學期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，，，則（）A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A． B． C． D．3．把一個已知圓錐截成個圓臺和一個小圓錐，已知圓臺的上、下底面半徑之比為，母線長為，則己知圓錐的母線長為（）.A． B． C． D．4．過點（1，0）且與直線垂直的直線方程是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的最小正周期為，將該函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到的圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則的圖象（）A．關于點對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于直線對稱6．已知函數(shù)的零點是和（均為銳角），則（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的通項公式，前項和為，則關于數(shù)列、的極限，下面判斷正確的是（）A．數(shù)列的極限不存在，的極限存在B．數(shù)列的極限存在，的極限不存在C．數(shù)列、的極限均存在，但極限值不相等D．數(shù)列、的極限均存在，且極限值相等8．已知等差數(shù)列和的前項和分別為和，．若，則的取值集合為（）A． B．C． D．9．設函數(shù)，若關于的方程恰有個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．正六邊形的邊長為，以頂點為起點，其他頂點為終點的向量分別為；以頂點為起點，其他頂點為終點的向量分別為．若分別為的最小值、最大值，其中，則下列對的描述正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設向量，且，則__________．12．已知求______________.13．已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為________．14．已知點是所在平面內的一點，若，則__________．15．項數(shù)為的等差數(shù)列，若奇數(shù)項之和為88，偶數(shù)項之和為77，則實數(shù)的值為_____．16．在中，角所對的邊分別為，下列命題正確的是_____________．①總存在某個內角，使得；②存在某鈍角，有；③若，則的最小角小于．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．己知向量，，設函數(shù)，且的圖象過點和點.（1）當時，求函數(shù)的最大值和最小值及相應的的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若在有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍.18．某產(chǎn)品具有一定的時效性，在這個時效期內，由市場調查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件；若做廣告宣傳，廣告費為n千元比廣告費為千元時多賣出件。（1）試寫出銷售量與n的函數(shù)關系式；（2）當時，廠家應該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，做幾千元的廣告，才能獲利最大？19．已知，其中，求：（1）；；（2）與的夾角的余弦值．20．中，D是邊BC上的點，滿足，，.（1）求；（2）若，求BD的長.21．已知，，當為何值時：（1）與垂直；（2）與平行.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性即可求解.【題目詳解】為減函數(shù)，，為增函數(shù)，，為增函數(shù)，，所以，故.故選：C【題目點撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性比較指數(shù)式、對數(shù)式的大小，屬于基礎題.2、C【解題分析】

通過三視圖可以判斷這一個是半個圓柱與半個圓錐形成的組合體，利用圓柱和圓錐的體積公式可以求出這個組合體的體積.【題目詳解】該幾何體為半個圓柱與半個圓錐形成的組合體，故，故選C.【題目點撥】本題考查了利用三視圖求組合體圖形的體積，考查了運算能力和空間想象能力.3、B【解題分析】

設圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐的軸截面三角形的相似性，通過圓臺的上、下底面半徑之比為來求解.【題目詳解】設圓錐的母線長為，因為圓臺的上、下底面半徑之比為，所以，解得.故選：B【題目點撥】本題主要考查了旋轉體軸截面中的比例關系，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.4、D【解題分析】

設出直線方程，代入點求得直線方程.【題目詳解】依題意設所求直線方程為，代入點得，故所求直線方程為，故選D.【題目點撥】本小題主要考查兩條直線垂直的知識，考查直線方程的求法，屬于基礎題.5、A【解題分析】

由周期求出，按圖象平移寫出函數(shù)解析式，再由偶函數(shù)性質求出，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質判斷．【題目詳解】由題意，平移得函數(shù)式為，其為偶函數(shù)，∴，由于，∴．，，．∴是對稱中心．故選：A.【題目點撥】本題考查求三角函數(shù)的解析式，考查三角函數(shù)的對稱性的奇偶性．掌握三角函數(shù)圖象變換是基礎，掌握三角函數(shù)的性質是解題關鍵．6、B【解題分析】

將函數(shù)零點轉化的解，利用韋達定理和差公式得到，得到答案.【題目詳解】的零點是方程的解即均為銳角故答案為B【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點，韋達定理，和差公式，意在考查學生的綜合應用能力.7、D【解題分析】

分別考慮與的極限，然后作比較.【題目詳解】因為，又，所以數(shù)列、的極限均存在，且極限值相等，故選D.【題目點撥】本題考查數(shù)列的極限的是否存在的判斷以及計算，難度一般.注意求解的極限時，若是分段數(shù)列求和的形式，一定要將多段數(shù)列均考慮到.8、D【解題分析】

首先根據(jù)即可得出，再根據(jù)前n項的公式計算出即可?！绢}目詳解】，選D.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質，屬于難題.等差數(shù)列的常用性質有：（1）通項公式的推廣：

（2）若

為等差數(shù)列，

；（3）若是等差數(shù)列，公差為，

，則是公差

的等差數(shù)列；9、B【解題分析】

由已知中函數(shù)，若關于的方程恰有個不同的實數(shù)解，可以根據(jù)函數(shù)的圖象分析出實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】函數(shù)的圖象如下圖所示：關于的方程恰有個不同的實數(shù)解，令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（*）則方程（*）的兩個解在（1，2]，可得，解得，故選：B.【題目點撥】本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結合是解答本題的關鍵．10、A【解題分析】

利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，從而得到結論．【題目詳解】由題意，以頂點A為起點，其他頂點為終點的向量分別為，以頂點D為起點，其他頂點為終點的向量分別為，則利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，又因為分別為的最小值、最大值，所以，故選A．【題目點撥】本題主要考查了向量的數(shù)量積運算，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運算公式，分析出向量數(shù)量積的正負是關鍵，著重考查了分析解決問題的能力，屬于中檔試題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】因為，所以，故答案為.12、23【解題分析】

直接利用數(shù)量積的坐標表示求解.【題目詳解】由題得.故答案為23【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.13、【解題分析】

求出的垂直平分線方程，兩垂直平分線交點為外接圓圓心．再由兩點間距離公式計算．【題目詳解】由點B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，①由點A(1,0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為②聯(lián)立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標為，其到原點的距離為.故答案為：【題目點撥】本題考查三角形外接圓圓心坐標，外心是三角形三條邊的中垂線的交點，到三頂點距離相等．14、【解題分析】

設為的中點，為的中點，為的中點，由得到，再進一步分析即得解.【題目詳解】如圖，設為的中點，為的中點，為的中點，因為，所以可得，整理得.又，所以，所以，又，所以．故答案為【題目點撥】本題主要考查向量的運算法則和共線向量，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，解答本題的關鍵是作輔助線，屬于中檔題.15、7【解題分析】

奇數(shù)項和偶數(shù)項相減得到和，故，代入公式計算得到答案.【題目詳解】由題意知：，前式減后式得到：，后式減前式得到故：解得故答案為：7【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和關系，通過變換得到是解題的關鍵.16、①③【解題分析】

①中，根據(jù)直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形分類討論，得出必要一個角在內，即可判定；②中，利用兩角和的正切公式，化簡得到，根據(jù)鈍角三角形，即可判定；③中，利用向量的運算，得到，由于不共線，得到，再由余弦定理，即可判定．【題目詳解】由題意，對于①中，在中，當，則，若為直角三角形，則必有一個角在內；若為銳角三角形，則必有一個內角小于等于；若為鈍角三角形，也必有一個角小于內，所以總存在某個內角，使得，所以是正確的；對于②中，在中，由，可得，由為鈍角三角形，所以，所以，所以不正確；對于③中，若，即,即，由于不共線，所以，即，由余弦定理可得，所以最小角小于，所以是正確的．綜上可得，命題正確的是①③．故答案為：①③．【題目點撥】本題以真假命題為載體，考查了正弦、余弦定理的應用，以及向量的運算及應用，其中解答中熟練應用解三角形的知識和向量的運算進行化簡是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最大值為2，此時；最小值為－1，此時.（2）【解題分析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積坐標公式，列出函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像過定點，求解函數(shù)解析式，當時，解出的范圍，根據(jù)三角函數(shù)性質，可求最值；（2）根據(jù)三角函數(shù)平移伸縮變換，寫出解析式，畫出在上的圖象，根據(jù)圖像即可求解參數(shù)取值范圍.【題目詳解】解：（1）由題意知.根據(jù)的圖象過點和，得到，解得，.當時，，，最大值為2，此時，最小值為－1，此時.（2）將函數(shù)的圖象向右平移一個單位得，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得令，，如圖當時，在有兩個不同的解∴，即.【題目點撥】本題考查（1）三角函數(shù)最值問題（2）三角函數(shù)的平移伸縮變換，考查計算能力，考查轉化與化歸思想，考查數(shù)形結合思想，屬于中等題型.18、(1)(2)【解題分析】試題分析：(1)根據(jù)若做廣告宣傳，廣告費為n千元比廣告費為千元時多賣出件，可得，利用疊加法可求得.(2)根據(jù)題意在時,利潤,可利用求最值.試題解析：（1）設表示廣告費為0元時的銷售量，由題意知，由疊加法可得即為所求。（2）設當時，獲利為元，由題意知，，欲使最大，則，易知，此時.考點：疊加法求通項,求最值.19、（1）10；（2）【解題分析】試題分析：（1）本題考察的是平面向量的數(shù)量積和向量的模．先根據(jù)是相互垂直的單位向量表示出要用的兩個向量，然后根據(jù)向量的數(shù)量積運算和向量模的運算即可求出答案．（2）本題考察的是平面向量的夾角余弦值，可以通過向量的數(shù)量積公式表示出夾角的余弦值．先求出向量的模長，然后根據(jù)（1）求出的的數(shù)量積代入公式，即可求出答案．試題解析：（1），．∴|．（2）考點：平面向量數(shù)量積的坐標表示、模和夾角．20、（1）（2）【解題分析】

（1）由中，D是邊BC上的點，根據(jù)面積關系求得，再結合正弦定理，即可求解.（2）由，化簡得到，再結合，解得，進而利用勾股定理求得的長.【題目詳解】（1）由題意，在中，D是邊BC上的點，可得，所以又由正弦定理，可得.（2）由，可得，所以，即，由（1）知，解得，又由，