北京四中2024屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)模擬試題含解析

北京四中2024屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列選項(xiàng)正確的是（）A．若,則B．若,則C．若,則D．若,則2．已知為等差數(shù)列，，則的值為（）A．3 B．2 C． D．13．在中，，，，則的面積為A． B． C． D．4．如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）A． B． C． D．5．如圖所示四棱錐的底面為正方形，平面則下列結(jié)論中不正確的是（）A． B．平面C．直線與平面所成的角等于30° D．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角6．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，公比為，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．（，+∞） B．[，+∞） C．（，－1） D．[，－1）9．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A．25 B． C． D．55二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．102,238的最大公約數(shù)是________．12．在△ABC中,已知30,則B等于__________．13．若復(fù)數(shù)z滿足z?2i=z2+1（其中i14．在ΔABC中，角A,B,C所對(duì)的對(duì)邊分別為a,b,c，若A=30°，a=7，b=215．若向量與的夾角為，與的夾角為，則______.16．把函數(shù)的圖像上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，則所得的函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值.18．已知，，，求.19．已知向量，．（1）若，在集合中取值，求滿足的概率；（2）若，在區(qū)間內(nèi)取值，求滿足的概率．20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）對(duì)任意的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)求出的所有值；若不存在，請(qǐng)說明理由.21．四棱柱中，底面為正方形，,為中點(diǎn)，且．（1）證明；（2）求點(diǎn)到平面的距離．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

通過逐一判斷ABCD選項(xiàng)，得到答案.【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，代入，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，等價(jià)于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，故D錯(cuò)誤，所以答案選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的相關(guān)性質(zhì)，難度不大.2、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故解得.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形內(nèi)角和求出角C，再利用三角形的面積公式求出三角形的面積，求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)橹?，，，，由正弦定理得：，所以，所以，所以，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】該題所考查的是有關(guān)三角形面積的求解問題，在解題的過程中，需要注意根據(jù)題中所給的條件，應(yīng)用正弦定理求得，從而求得，之后應(yīng)用三角形面積公式求得結(jié)果.4、C【解題分析】

試題分析：從中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.考點(diǎn)：古典概型5、C【解題分析】

根據(jù)空間中垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，平行關(guān)系的判定和性質(zhì)，以及線面角的相關(guān)知識(shí)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【題目詳解】對(duì)A：因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，故ACBD，又SD底面ABCD，AC平面ABCD，故SDAC，又BD平面SBD，SD平面SBD，故AC平面SBD，又SB平面SBD，故AC.故A正確；對(duì)B：因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，故AB//CD，又CD平面SCD，故AB//平面SCD.故B正確.對(duì)C：由A中推導(dǎo)可知AC平面SBD，故取AC與BD交點(diǎn)為O，連接SO，如圖所示：則即為所求線面角，但該三角形中邊長(zhǎng)關(guān)系不確定，故線面角的大小不定，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由AC平面SBD，故取AC與BD交點(diǎn)為O，連接SO，則即為SA和SC與平面SBD所成的角，因?yàn)?，故，故D正確.綜上所述，不正確的是C.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查線面垂直的性質(zhì)和判定，線面平行的判定，線面角的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】，且是純虛數(shù)，，故選C.7、A【解題分析】

首先注意到，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，將分離常數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)，畫出的圖像，根據(jù)“函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)”結(jié)合圖像，求得的取值范圍.【題目詳解】解：由恰有兩個(gè)零點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，，即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，必有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)必有一個(gè)交點(diǎn)，利用單調(diào)性，作出函數(shù)圖像如下所示，由圖可知，要使函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，只需即可.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.8、D【解題分析】

由題意先設(shè)出三邊為則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，分公比大于與公式在小于兩類解出公比的取值范圍，此兩者的并集是函數(shù)的定義域，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的值域，選出正確選項(xiàng).【題目詳解】解：設(shè)三邊：則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，即

（1）當(dāng)時(shí)，，即，解得；

（2）當(dāng)時(shí)，為最大邊，，即，解得，

綜合（1）（2）得：，

又的對(duì)稱軸是，故函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

由于時(shí)，與時(shí)，，

所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及二次函數(shù)的值域的求法，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，能利用它建立不等式解出公比的取值范圍得出函數(shù)的定義域，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)也很重要，由此類題可以看出，扎實(shí)的雙基，嫻熟的基礎(chǔ)知識(shí)與公式的記憶是解題的知識(shí)保障.9、A【解題分析】

根據(jù)和之間能否推出的關(guān)系，得到答案.【題目詳解】由可得，由，得到或，，不能得到，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查充分不必要條件的判斷，屬于簡(jiǎn)單題.10、D【解題分析】

根據(jù)向量的加法和平面向量定理，得到和的值，從而得到等差數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，得到答案.【題目詳解】因?yàn)镋是平行四邊形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，，所以等差?shù)列的公差，所以.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的加法和平面向量定理，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、34【解題分析】試題分析：根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法的含義，可得238=2×102+34，102=3×34，所以得兩個(gè)數(shù)102、238的最大公約數(shù)是34.故答案為34.考點(diǎn)：輾轉(zhuǎn)相除法.12、【解題分析】

根據(jù)三角形正弦定理得到角，再由三角形內(nèi)角和關(guān)系得到結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)三角形的正弦定理得到，故得到角，當(dāng)角時(shí)，有三角形內(nèi)角和為，得到，當(dāng)角時(shí)，角故答案為【題目點(diǎn)撥】在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來說,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.13、1【解題分析】設(shè)z=a+bi,a,b∈R，則由z?2則-2b=a2+b2+12a=014、32或【解題分析】

由余弦定理求出c，再利用面積公式即可得到答案?！绢}目詳解】由于在ΔABC中，A=30°，a=7，b=23，根據(jù)余弦定理可得：a2=b所以當(dāng)c=1時(shí)，ΔABC的面積S=12bcsinA=32故ΔABC的面積等于32或【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理與面積公式在三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題。15、【解題分析】

根據(jù)向量平行四邊形法則作出圖形，然后在三角形中利用正弦定理分析.【題目詳解】如圖所示，，，所以在中有：，則，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的平行四邊形法則的運(yùn)用，難度一般.在運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)候，可以適當(dāng)將其拆分為三角形，利用解三角形中的一些方法去解決問題.16、，【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得函數(shù)的對(duì)稱中心，得到答案.【題目詳解】由題意，把函數(shù)的圖像上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位，可得，再把圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，可得，把函?shù)縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，可得，令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的對(duì)稱中心的求解，其中解答中熟練三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，由，則不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，由，則不等式的解集為；（2）【解題分析】

（1）不等式，可化為，分三種情況討論，分別利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）不等可化為，根據(jù)1和4是方程的兩根，利用韋達(dá)定理列方程求解即可.【題目詳解】（1）不等式，可化為：.①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，由，則不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，由，則不等式的解集為；（2）不等可化為：.由不等式的解集為可知，1和4是方程的兩根.故有，解得.由時(shí)方程為的根為1或4，則實(shí)數(shù)的值為1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次不等式的解法以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題..分類討論思想的常見類型

,⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進(jìn)行分類討論的；

⑵問題中的條件是分類給出的；

⑶解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；

⑷涉及幾何問題時(shí)，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.18、11【解題分析】

根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合三角數(shù)的基本關(guān)系式，分別求得，和，再利用兩角和的正切的公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解.【題目詳解】由，由，可得又由，所以，由，得，可得，所以，即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩角和與差的正切函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值問題，其中解答中熟記兩角和與差的正切公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）首先求出包含的基本事件個(gè)數(shù)，由，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，列出滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式即可求解.（2）根據(jù)題意全部基本事件的結(jié)果為，滿足的基本事件的結(jié)果為，利用幾何概型概率計(jì)算公式即可求解.【題目詳解】（1），的所有取值共有個(gè)基本事件．由，得，滿足包含的基本事件為，，，，，共種情形，故．（2）若，在上取值，則全部基本事件的結(jié)果為，滿足的基本事件的結(jié)果為．畫出圖形如圖，正方形的面積為，陰影部分的面積為，故滿足的概率為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概型概率計(jì)算公式、幾何概型概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.20、（1），；（2）見解析；（3）存在，.【解題分析】

（1）利用可得，從而可得為等比數(shù)列，故可得其通項(xiàng)公式.用累加法可求的通項(xiàng).（2）利用分組求和法可求，注意就的奇偶性分類討論.（3）根據(jù)的通項(xiàng)可得，故考慮的解可得滿足條件的的值.【題目詳解】（1）在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，由得，因?yàn)?，故，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列即.在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，有，由累加法得，，.當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以.(2).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=.(3)對(duì)任意的正整數(shù),有，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，令，解得，又為正整數(shù)，所以滿足題意.【題目點(diǎn)撥】給定數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，我們常需要對(duì)遞推關(guān)系做變形構(gòu)建新數(shù)列（新數(shù)列的通項(xiàng)容易求得），常見的遞推關(guān)系、變形方法及求法如下：（1），用累加法；（2），可變形為，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求的通項(xiàng)公式，兩種方法都可以得到的通項(xiàng)公式.（3