陜西省西安市高新第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測試題含解析

陜西省西安市高新第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，，，，則的面積是（）A． B． C．或 D．或2．已知，都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知集合A={x︱x>－2}且，則集合B可以是（）A．{x︱x2>4} B．{x︱}C．{y︱} D．4．已知數(shù)列的通項(xiàng)為，我們把使乘積為整數(shù)的叫做“優(yōu)數(shù)”，則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為（）A．1024 B．2012 C．2026 D．20365．在等差數(shù)列中,，則（）A．5 B．8 C．10 D．146．已知,,則（）A． B． C． D．7．已知，則，，的大小順序?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．8．在等差數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則的前14項(xiàng)和為（）A．55 B．60 C．65 D．709．設(shè)變量滿足約束條件：，則的最小值（）A． B． C． D．10．已知向量，，若向量與的夾角為，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列滿足，則_____.12．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，,則異面直線與所成的角為____.13．如圖，在內(nèi)有一系列的正方形，它們的邊長依次為，若，，則所有正方形的面積的和為___________.14．已知，，，若，則__________．15．已知樣本數(shù)據(jù)的方差是1，如果有，那么數(shù)據(jù)，的方差為______.16．化簡：______.（要求將結(jié)果寫成最簡形式）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知點(diǎn)，求的邊上的中線所在的直線方程．18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為（），且滿足，（）．（1）求證是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．19．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，且的面積為.（1）求的值；（2）求的周長.20．已知圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線.（1）過直線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值.（2）過點(diǎn)的直線分別與圓交于點(diǎn)（不與重合），若，試問直線是否過定點(diǎn)？并說明理由.21．制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利分別為和，可能的最大虧損率分別為和.投資人計(jì)劃投資金額不超過億元，要求確保可能的資金虧損不超過億元，問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少億元，才能使可能的盈利最大？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

先根據(jù)正弦定理求出角，從而求出角，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【題目詳解】解：由，，，根據(jù)正弦定理得：，為三角形的內(nèi)角，或，或在中，由，，或則面積或．故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．2、D【解題分析】；，與沒有包含關(guān)系，故為“既不充分也不必要條件”.3、D【解題分析】

A、B={x|x＞2或x＜-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≠-2}≠A，不合題意；

B、B={x|x≥-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合題意；

C、B={y|y≥-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合題意；

D、若B={-1，0，1，2，3}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x＞-2}=A，與題意相符，

故選D．4、C【解題分析】

根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，求得的范圍，再用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求和.【題目詳解】根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，令，則可得令，解得則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為：故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義問題，本質(zhì)是考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式.5、B【解題分析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)知，，所以，所以，故選B.考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式.6、D【解題分析】由題意可得，即，則，所以，即，也即，所以，應(yīng)選答案D．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是借助題設(shè)中的條件獲得，進(jìn)而得到，求得，從而求出使得問題獲解．7、B【解題分析】

由三角函數(shù)的輔助角公式、余弦函數(shù)的二倍角公式，正切函數(shù)的和角公式求得.【題目詳解】故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式、余弦函數(shù)的二倍角公式，正切函數(shù)的和角公式的三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系求出a5+a10，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【題目詳解】∵，是方程的兩個(gè)根，可得，∴.故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9、D【解題分析】

如圖作出可行域，知可行域的頂點(diǎn)是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，當(dāng)經(jīng)過A時(shí)，的最小值為-8，故選D.10、B【解題分析】

根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算可求得與，從而得到與；利用向量夾角計(jì)算公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：，，，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用向量數(shù)量積、模長和夾角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠通過坐標(biāo)運(yùn)算表示出向量和模長，進(jìn)而利用向量夾角公式構(gòu)造方程.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由遞推公式逐步求出.【題目詳解】.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的遞推公式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，找出邊的中點(diǎn)，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【題目詳解】取的中點(diǎn)E,連AE,,易證，∴為異面直線與所成角，設(shè)等邊三角形邊長為，易算得∴在∴故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成的角，本題是一個(gè)典型的異面直線所成的角的問題，解答時(shí)也是應(yīng)用典型的見中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，注意求角的三個(gè)環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求．13、【解題分析】

根據(jù)題意可知，可得，依次計(jì)算，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，正方形的面積構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列．利用無窮等比數(shù)列的和公式可得所有正方形的面積的和．【題目詳解】根據(jù)題意可知，可得，依次計(jì)算，，是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，邊長依次為，，，，正方形的面積構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列．所有正方形的面積的和．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了無窮等比數(shù)列的和公式的運(yùn)用．利用邊長關(guān)系建立等式，找到公比是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．14、-3【解題分析】由可知，解得，15、1【解題分析】

利用方差的性質(zhì)直接求解．【題目詳解】根據(jù)題意，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是1，則有，對(duì)于數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，其方差為，故答案為1.【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的求法，考查方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡，再結(jié)合兩角差正弦公式分析即可【題目詳解】故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的化簡，誘導(dǎo)公式的使用，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

設(shè)邊的中點(diǎn),則由中點(diǎn)公式可得：,即點(diǎn)坐標(biāo)為所以邊上的中線先的斜率則由直線的斜截式方程可得：這就是所求的邊上的中線所在的直線方程.18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）當(dāng)時(shí)，由代入，化簡得出，由此可證明出數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出，由可得出在時(shí)的表達(dá)式，再對(duì)是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，即，，等式兩邊同時(shí)除以得，即，因此，數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由（1）知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，則.，得.不適合.綜上所述，.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的證明，同時(shí)也考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，解題的關(guān)鍵就是利用關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）由和可得sinA和cosA，再由二倍角公式即得cos2A；（2）由面積公式，可得的值，再由和正弦定理可知b和c的值，用余弦定理可計(jì)算出a，即得的周長．【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，所以?因?yàn)椋?，，則.（2）由題意可得，的面積為，即.因?yàn)?，所以，所以?由余弦定理可得.故的周長為.【題目點(diǎn)撥】本題考查用正弦定理和余弦定理解三角形，以及二倍角公式，屬于?？碱}型．20、（1）12；（2）過定點(diǎn)，理由見解析【解題分析】

（1）由，得過點(diǎn)的切線長，所以四邊形的面積為，即可得到本題答案；（2）設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.聯(lián)立方程，消去，整理得，得，，所以，令，即可得到本題答案.【題目詳解】（1）由題意可得圓心到直線的距離為，從而，則過點(diǎn)的切線長.故四邊形的面積為，即四邊形面積的最小值為12.（2）因?yàn)?，所以直線與直線的斜率都存在，且不為0.設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.聯(lián)立方程，消去，整理得解得或，則.同理可得.所以.令，得，解得.取，可以證得，所以直線過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，軸，易知與均為正三角形，直線的方程為，也過定點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查與橢圓相關(guān)的四邊形面積的范圍問題以及與橢圓有關(guān)的直線過定點(diǎn)問題，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理是解決此類問題的常用方法.21、投資人用億元投資甲項(xiàng)目，億元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過億元的前提下，使可能的盈利最大.【解題分析】

設(shè)投資人分別用億元、億元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)題意列出變量、所滿足的約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)，利用平移直線的方法得出線性目標(biāo)函數(shù)取得最大值時(shí)的最優(yōu)解，并將最優(yōu)解代入線性目標(biāo)函數(shù)可得出盈利的最大值，從而解答該問題.【題目詳解】設(shè)投資人分別用億元、億元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意知，即，目標(biāo)函數(shù)為.上述不