江蘇省蘇州市重點(diǎn)名校2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

江蘇省蘇州市重點(diǎn)名校2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．四邊形，，，，則的外接圓與的內(nèi)切圓的公共弦長(zhǎng)（）A． B． C． D．2．用區(qū)間表示不超過的最大整數(shù)，如，設(shè)，若方程有且只有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．直線與、為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．4．實(shí)數(shù)數(shù)列為等比數(shù)列，則（）A．-2 B．2 C． D．5．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，,=1，若，則＝()A．22019 B．22020 C．22017 D．220186．已知圓截直線所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是A． B． C． D．7．已知直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量、滿足，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．2 B． C．或 D．2或8．在等差數(shù)列中，若，，則（）A． B．0 C．1 D．69．某校高二理（1）班學(xué)習(xí)興趣小組為了調(diào)查學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例，設(shè)計(jì)了如下調(diào)查方法：（1）在本校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，并編號(hào)1，2，3，…，100；（2）在箱內(nèi)放置了兩個(gè)黃球和三個(gè)紅球，讓抽取到的100名學(xué)生分別從箱中隨機(jī)摸出一球，記住其顏色并放回；（3）請(qǐng)下列兩類學(xué)生站出來(lái)，一是摸到黃球且編號(hào)數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生，二是摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生。若共有32名學(xué)生站出來(lái)，那么請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)估計(jì)該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是（）A．80% B．85% C．90% D．92%10．已知、為銳角，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知內(nèi)接于拋物線，其中O為原點(diǎn)，若此內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，則的外接圓方程為_____.12．已知正方形，向正方形內(nèi)任投一點(diǎn)，則的面積大于正方形面積四分之一的概率是______．13．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得份量成等差數(shù)列，且較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小一份的量為___.14．已知直線與，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)_______；當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)_______.15．從甲、乙、丙等5名候選學(xué)生中選2名作為青年志愿者，則甲、乙、丙中有2個(gè)被選中的概率為________．16．已知二面角為60°，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．18．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，連，交于點(diǎn).（Ⅰ）若點(diǎn)是側(cè)棱的中點(diǎn)，連，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面.19．在中，角所對(duì)的邊為，且滿足（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個(gè)銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為（1）求的值；（2）求的值．21．已知直線經(jīng)過兩條直線:和:的交點(diǎn)，直線:；(1)若，求的直線方程；(2)若，求的直線方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出的外接圓與的內(nèi)切圓的方程，兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，求出弦心距，進(jìn)而可得公共弦長(zhǎng).【題目詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，過作交于點(diǎn)，則，故，則為等邊三角形，故，的外接圓方程為，①的內(nèi)切圓方程為，②①-②得兩圓的公共弦所在直線方程為:,的外接圓圓心到公共弦的距離為，公共弦長(zhǎng)為，故答案為：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩圓公共弦長(zhǎng)的求解，關(guān)鍵是要求出兩圓的公共弦所在直線方程，將兩圓方程作差即可得到，是中檔題.2、A【解題分析】

由方程的根與函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，作圖觀察y＝{x}的圖象與y＝﹣kx+1的圖象有且只有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍，即可得解.【題目詳解】方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于y＝{x}的圖象與y＝﹣kx+1的圖象有且只有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，{x}＝x，當(dāng)1≤x＜2時(shí)，{x}＝x﹣1，當(dāng)2≤x＜3時(shí)，{x}＝x﹣2，當(dāng)3≤x＜4時(shí)，{x}＝x﹣3，以此類推如上圖所示，實(shí)數(shù)k的取值范圍為：k，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為：（，]，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了方程的根與函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．3、D【解題分析】

由直線方程可得直線恒過點(diǎn)，利用兩點(diǎn)連線斜率公式可求得臨界值和，從而求得結(jié)果.【題目詳解】直線恒過點(diǎn)則，本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用直線與線段有交點(diǎn)確定直線斜率取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠確定直線恒過的定點(diǎn)，從而找到直線與線段有交點(diǎn)的臨界狀態(tài).4、B【解題分析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算，注意項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系即可．【題目詳解】由題意，，又與同號(hào)，∴．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，解題時(shí)要注意等比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)．5、A【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【題目詳解】由題知∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an≠1（n∈N*），a1+a2019＝1，∴a1+a2019＝a2+a2018＝a3+a2017＝…＝a1009+a1011a1010=1,∴a1010∴f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝41009×（﹣2）＝﹣1．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題，注意：若{an}為等差數(shù)列，且m+n=p+q,則，性質(zhì)的應(yīng)用.6、B【解題分析】試題分析：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為（-1,1），半徑，弦心距為．因?yàn)閳A截直線所得弦長(zhǎng)為4，所以．故選B．7、D【解題分析】

由，兩邊平方，得，所以，則為等腰直角三角形，而圓的半徑，則原點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得的值為2或-2．故選D．8、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到答案.【題目詳解】等差數(shù)列中，若，【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.9、A【解題分析】

先分別計(jì)算號(hào)數(shù)為奇數(shù)的概率、摸到黃球的概率、摸到紅球的概率，從而可得摸到黃球且號(hào)數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生，進(jìn)而可得摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生人數(shù)，由此可得估計(jì)該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例．【題目詳解】解：由題意，號(hào)數(shù)為奇數(shù)的概率為0.5，摸到黃球的概率為，摸到紅球的概率為那么按概率計(jì)算摸到黃球且號(hào)數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生有個(gè)共有32名學(xué)生站出來(lái)，則有12個(gè)摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生，不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生有：，喜歡數(shù)學(xué)課的有80個(gè)，估計(jì)該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是：．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用兩角差的正切公式可求得的值.【題目詳解】因?yàn)?，且為銳角，則，所以，因?yàn)?，所以故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解答的關(guān)鍵就是弄清角與角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由拋物線的對(duì)稱性知A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)出它們的坐標(biāo)，利用三角形的垂心的性質(zhì)，結(jié)合斜率之積等于﹣1即可求得直線MN的方程，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，問題得以解決．【題目詳解】∵拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，三邊上的高過焦點(diǎn)，∴另兩個(gè)頂點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，即△ABO是等腰三角形，作AO的中垂線MN，交x軸與C點(diǎn)，而Ox是AB的中垂線，故C點(diǎn)即為△ABO的外接圓的圓心，OC是外接圓的半徑，設(shè)A（x1，2），B（x1，﹣2），連接BF，則BF⊥AO，∵kBF，kAO，∴kBF?kAO＝?1，整理，得x1（x1﹣5）＝1，則x1＝5，（x1＝1不合題意，舍去），∵AO的中點(diǎn)為（，），且MN∥BF，∴直線MN的方程為y（x），當(dāng)x1＝5代入得2x+4y﹣91，∵C是MN與x軸的交點(diǎn)，∴C（，1），而△ABO的外接圓的半徑OC，于是得到三角形外接圓方程為（x）2+y2＝（）2，△OAB的外接圓方程為：x2﹣9x+y2＝1，故答案為x2﹣9x+y2＝1．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題12、【解題分析】

向正方形內(nèi)任投一點(diǎn)，所有等可能基本事件構(gòu)成正方形區(qū)域，當(dāng)?shù)拿娣e大于正方形面積四分之一的所有基本事件構(gòu)成區(qū)域矩形區(qū)域，由面積比可得概率值.【題目詳解】如圖邊長(zhǎng)為1的正方形中，分別是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的面積為，所以的面積大于正方形面積四分之一，此時(shí)點(diǎn)應(yīng)在矩形內(nèi)，由幾何概型得：，故填.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型，利用面積比求概率值，考查對(duì)幾何概型概率計(jì)算.13、【解題分析】

設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份為a1，故答案為．14、【解題分析】

根據(jù)兩直線垂直和平行的充要條件，得到關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，且，解得：.故答案為：；.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩直線垂直和平行的充要條件，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】因?yàn)閺?名候選學(xué)生中任選2名學(xué)生的方法共有10種，而甲、乙、丙中有2個(gè)被選中的方法有3種，所以甲、乙、丙中有2個(gè)被選中的概率為.16、【解題分析】

如圖

分別作于A,于C,于B,于D,

連CQ,BD則,,

又

當(dāng)且僅當(dāng),即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)取最小值.

故答案選C.【題目點(diǎn)撥】三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三角恒等變換思想得出，利用周期公式可計(jì)算出函數(shù)的最小正周期；（2）解不等式，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為；（2）令，可得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)周期和單調(diào)區(qū)間的求解，解題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明【解題分析】

（Ⅰ）由為菱形，得為中點(diǎn)，進(jìn)而得到，利用線面平行的判定定理，即可求解；（Ⅱ）先利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.【題目詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)闉榱庑?，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，，平面，平面，所以，平面；（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉榱庑危?，，所以，平面，平面，所以，平面平?【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．19、（1）或；（2）.【解題分析】試題分析：（1）利用升冪公式及兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)已知等式，可得，從而得，注意兩解；（2）由，得，利用正弦定理得，從而可變?yōu)?，利用三角形的?nèi)角和把此式化為一個(gè)角的函數(shù)，再由兩角和與差的正弦公式化為一個(gè)三角函數(shù)形式，由的范圍（）結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得取值范圍．試題解析：（1）由已知，得，化簡(jiǎn)得，故或；（2）∵，∴，由正弦定理，得，故，∵，所以，，∴．20、（1）（2）【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，由三角函數(shù)的定義可得與的值，進(jìn)而可得出與的值，從而可求與的值就，結(jié)合兩角和正切公式可得答案；（2）由兩角和的正切公式，可得出的值，再根據(jù)的取值范圍，可得出的取值范圍，進(jìn)而可得出的值.由條件得cosα＝，cosβ＝.∵α，β為銳角，∴sinα＝＝