2024屆湖北省荊、荊、襄、宜四地七校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆湖北省“荊、荊、襄、宜四地七校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．一條直線經(jīng)過點(diǎn)，并且它的傾斜角等于直線傾斜角的2倍，則這條直線的方程是()A． B．C． D．3．在直角中，，線段上有一點(diǎn)，線段上有一點(diǎn)，且，若，則（）A．1 B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)、是圓的兩條切線，、是切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是，則的值為（）A． B． C． D．6．已知的三個內(nèi)角所對的邊為，面積為，且，則等于（）A． B． C． D．7．已知與的夾角為，，，則（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A． B． C． D．9．已知點(diǎn)，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．10．已知平面向量，且，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，若對任意，均有，則的最小值為______；12．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，則的前9項(xiàng)和_______.13．設(shè)函數(shù)，則的值為__________．14．已知實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值是________.15．在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°,60°，則塔高為16．如圖記錄了甲乙兩名籃球運(yùn)動員練習(xí)投籃時(shí)，進(jìn)行的5組100次投籃的命中數(shù)，若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，平均數(shù)也相等，則______，_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知不等式.（1）當(dāng)時(shí)，求此不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．求經(jīng)過點(diǎn)且分別滿足下列條件的直線的一般式方程.（1）傾斜角為45°；（2）在軸上的截距為5；（3）在第二象限與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4.19．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S（1）求數(shù)列an（2）設(shè)bn=an·log220．如圖，在三棱柱中（底面為正三角形），平面，，，，是邊的中點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）求點(diǎn)到平面的距離.21．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，且，求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

利用，得出異面直線與所成的角為，然后在中利用銳角三角函數(shù)求出.【題目詳解】如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為，四邊形為正方形，所以，，所以，異面直線與所成的角為，在正方體中，平面，平面，，，，，在中，，，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，一般利用平移直線，選擇合適的三角形，利用銳角三角函數(shù)或余弦定理求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題．2、B【解題分析】

先求出直線的傾斜角，進(jìn)而得出所求直線的傾斜角和斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫直線的方程.【題目詳解】已知直線的斜率為，則傾斜角為，故所求直線的傾斜角為，斜率為，由直線的點(diǎn)斜式得，即。故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的性質(zhì)與方程，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

依照題意采用解析法，建系求出目標(biāo)向量坐標(biāo)，用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出結(jié)果．【題目詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，AC，AB所在直線分別為軸建系，依題設(shè)A(0,0),B(0,2),C(3,0),M(1,0),，由得，，解得，，所以，，，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用，意在考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．4、A【解題分析】分析：利用余弦的二倍角公式可得，進(jìn)而利用同角三角基本關(guān)系，使其除以，轉(zhuǎn)化成正切，然后把的值代入即可．詳解：由題意得.∵∴故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的余弦函數(shù)的公式．解題的關(guān)鍵是利用同角三角函數(shù)中的平方關(guān)系，完成了弦切的互化．5、D【解題分析】

作出圖形，可知，由四邊形的最小面積是，可知此時(shí)取最小值，由勾股定理可知的最小值為，即圓心到直線的距離為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求出的值.【題目詳解】如下圖所示，由切線長定理可得，又，，且，，所以，四邊形的面積為面積的兩倍，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，四邊形的最小面積是，所以，面積的最小值為，又，，由勾股定理，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，取最小值，即，整理得，，解得.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查由四邊形面積的最值求參數(shù)的值，涉及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是確定動點(diǎn)的位置，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6、C【解題分析】

利用三角形面積公式可得，結(jié)合正弦定理及三角恒等變換知識可得，從而得到角A.【題目詳解】∵∴即∴∴∴，∴（舍）∴故選C【題目點(diǎn)撥】此題考查了正弦定理、三角形面積公式，以及三角恒等變換，熟練掌握邊角的轉(zhuǎn)化是解本題的關(guān)鍵．7、A【解題分析】

將等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義得出關(guān)于的二次方程，解出即可.【題目詳解】將等式兩邊平方得，，即，整理得，，解得，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量模的計(jì)算，在計(jì)算向量模的時(shí)候，一般將向量模的等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.8、C【解題分析】

由判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，再求出，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【題目詳解】由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，所以，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

，，向量在方向上的投影為，故選A．10、B【解題分析】試題分析：因?yàn)?，，且，所以，，故選B.考點(diǎn)：1、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算；2、平行向量的性質(zhì).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)對任意，均有，分析得到，再根據(jù)正弦型函數(shù)的最值公式求解出的最小值.【題目詳解】因?yàn)閷θ我猓校?，所以，所以，所?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)的應(yīng)用，難度一般.正弦型函數(shù)的最值一定是在對稱軸的位置取到，因此正弦型函數(shù)取最大值與最小值時(shí)對應(yīng)的自變量的差的絕對值最小為，此時(shí)最大值與最小值對應(yīng)的對稱軸相鄰.12、117【解題分析】

由成等比數(shù)列求出公差，由前項(xiàng)公式求和．【題目詳解】設(shè)數(shù)列是公差為，則，由成等比數(shù)列得，解得，∴．故答案為：117.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是求出數(shù)列的公差．13、【解題分析】

根據(jù)反正切函數(shù)的值域，結(jié)合條件得出的值.【題目詳解】，且，因此，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查反正切值的求解，解題時(shí)要結(jié)合反正切函數(shù)的值域以及特殊角的正切值來求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、8【解題分析】

畫出滿足約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【題目詳解】實(shí)數(shù),滿足條件的可行域如下圖所示:將目標(biāo)函數(shù)變形為:,則要求的最大值,即使直線的截距最大,由圖可知,直線過點(diǎn)時(shí)截距最大,,故答案為:8.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用,解題關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.15、【解題分析】

試題分析：根據(jù)題意，設(shè)塔高為x，則可知，a表示的為塔與山之間的距離，可以解得塔高為．考點(diǎn)：解三角形的運(yùn)用點(diǎn)評：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．16、3.5.【解題分析】

根據(jù)莖葉圖,將兩組數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列,由中位數(shù)和平均數(shù)相等,即可解得的值.【題目詳解】甲乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,平均數(shù)也相等對于甲組將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列后可知,中位數(shù)為65.所以乙組中位數(shù)也為65.根據(jù)乙組數(shù)據(jù)可得則由兩組的平均數(shù)相等,可知兩組的總數(shù)也相等,即解得故答案為:;【題目點(diǎn)撥】本題考查了莖葉圖的簡單應(yīng)用,由莖葉圖求中位數(shù)和平均數(shù),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）不等式為，解得（2）不等式的解集非空，則，求解即可【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，解得，故不等式的解集為；（2）不等式的解集非空，則，即，解得，或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】二次函數(shù)，二次方程，一元二次不等式三個二次的相互轉(zhuǎn)換是解決一元二次不等式問題的常用方法，數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的基本思想．18、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）利用斜率和傾斜角的關(guān)系，可以求出斜率，可以用點(diǎn)斜式寫出直線方程，最后化為一般方程；（2）設(shè)出直線的斜截式方程，把點(diǎn)代入方程中求出斜率，進(jìn)而可求出方程，化為一般式方程即可；（3）設(shè)出直線的截距式方程，利用面積公式和已知條件，可以求出所設(shè)參數(shù)，即可求出直線方程，化為一般式即可.【題目詳解】（1）因?yàn)橹本€的傾斜角為45°，所以斜率，代入點(diǎn)斜式，即.（2）因?yàn)橹本€在軸上的截距是5，所以設(shè)直線方程為：，代入點(diǎn)得，故直線方程為.（3）設(shè)所求直線方程為則，即，解之得，，所以直線方程為，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用點(diǎn)斜式、截距式、斜截式求直線方程，正確選擇方程的形式是解題的關(guān)鍵.19、（1）an=【解題分析】

（1）利用an=S（2）利用錯位相減法可求Tn【題目詳解】（1）因?yàn)镾n=2整理得到an=4,n=1（2）因?yàn)閎n所以Tn2T所以-Tn【題目點(diǎn)撥】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.20、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）由，為的中點(diǎn)，可得，又平面，可得，即可證明平面，結(jié)合平面，即可證明平面平面；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法，，即，求解即可.【題目詳解】（1）證明：，為的中點(diǎn)，.又平面，平面，.又，平面.又平面，平面平面.（2）解：由（1）知，平面，平面，.，，，.設(shè)點(diǎn)到