三線合一在解幾中的應(yīng)用講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

三線合一的頂級作用空間立體幾何八大垂直中的第一個模型就是等腰三角形的三線合一，見到等腰連中線，見到長度相等想等腰，構(gòu)造等腰三角形，再取中線即可。那在解析幾何中的地位又如何呢？超然也是排在了重要地位之上，解析幾何也就是解析（坐標(biāo)運(yùn)算）+幾何（平面幾何），明顯的發(fā)現(xiàn)三線合一要體現(xiàn)出來，但是試題中往往不會直接給出的，需要自己去構(gòu)造、去聯(lián)想，從而用上，再去求解。下面以兩道模擬題目為例說明：例1（2020·湖南長沙·長郡中學(xué)校考二模改編）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，且在軸的左側(cè)，過點(diǎn)作的角平分線的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則，.試題分析：題目中沒有圖像，首先做出圖像來，發(fā)現(xiàn)角平分線+垂線，這就是明顯的三線合一，從而需要延長交于點(diǎn)Q，結(jié)合原點(diǎn)為的天然中點(diǎn)，就根據(jù)中位線得到的長，則后續(xù)問題就是考查橢圓的定義問題。解析如圖，延長，相交于點(diǎn)，由題意知：，且平分，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，.由橢圓定義知：，，，又，，，.故答案為：；.變式1：已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，且在軸的左側(cè)過點(diǎn)作的角平分線的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）則等于（

）A．4 B．2 C． D．解析：延長交的延長線于點(diǎn),作圖如下：因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，且，所以，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，所以.故選：A2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過作的平分線的垂線，垂足是M，，則b＝（

）A． B． C．1 D．2【解析】設(shè)半焦距為，延長交于點(diǎn)，連接，

由于是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且是的中點(diǎn).根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，故，所以，所以.故選：C.3．（2022上·河南新鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該雙曲線的右支上，且，過點(diǎn)作的角平分線的垂線，垂足為A．若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】如圖，延長并交于點(diǎn)B，由平分，且，可得，由，可得．又，，所以，故，，在中，，整理得，即，解得，即該雙曲線的離心率為．故選：C4．（原創(chuàng)題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，直線與C的右支交于一點(diǎn)P，過作的平分線的垂線，垂足是M，則（

）A． B． C． D．【解析】延長交于點(diǎn)，連接，

由于是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且是的中點(diǎn).根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，又直線過雙曲線C的左焦點(diǎn)，故,可知，在中，所以.故選：C.例2(2022·湖南雅禮中學(xué)二模)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若C與直線y=x有交點(diǎn),且雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P,使得∠PF2F1=3∠PF試題分析：本題難點(diǎn)∠PF2F1=3∠PF1F2，如何去處理聯(lián)想到初中的內(nèi)容構(gòu)造等角方法，這是23年上半年給思宇講題時想出來的方法，如何出現(xiàn)等角，就是結(jié)合等腰三角形的低角相等，從而構(gòu)造等腰三角形，做大角還是小角的等角，正常應(yīng)該造小角的等角，從而作線段的中垂線，也就是y軸，從而題目立刻變成了兩個等角的問題，從而結(jié)合定義，答案立得.解析：雙曲線C與直線y=x有交點(diǎn),則ba>1,b2a2=雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P,使得∠PF2F1=3∠PF1F2,則點(diǎn)P在右支上.設(shè)PF1與y軸交于點(diǎn)Q,由對稱性|QF1|=|QF2|,所以∠QF1F2=∠QF2F1,所以∠PF2Q=∠PF2F1-∠QF2F1=2∠PF1F2=∠PQF2,所以|PQ|=|PF2|,所以|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a.由|QF1|>|OF1|得2a>c,所以e=ca<2又在△PF1F2中,∠PF1F2+∠PF2F1=4∠PF1F2<180°,∠PF1F2<45°,所以c2a=cos∠PF1F2>22,即e=ca>2解題后的野路子猜題收獲：兩道題目都是特殊的情況，例1是最后一個直角三角形，例2中e的范圍為2<e<2，正常也可以猜得右側(cè)為2，當(dāng)然這只是一種猜測，也可以不正確，一個可能的答案方式.變式：已知A，B分別為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，滿足且，求的值．【解析】橢圓C：的頂點(diǎn)，，如圖，

由整理得，則，即，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，則，于是有，設(shè)，則，，即有，則，，解得，則，而，解得，在中，由正弦定理得，所以．反思：改題與前面的例題看著及其相似，也是構(gòu)造等角的模型，但是構(gòu)造等角后發(fā)現(xiàn)只是出現(xiàn)了三角形的相似，也出現(xiàn)了∠B的角平分線，但是沒法正確的應(yīng)用上，考慮其原因是A、B兩點(diǎn)是頂點(diǎn)而不是焦點(diǎn)，故而沒法利用第一定義，從而考慮的是第三定義，從而問題順利轉(zhuǎn)化為斜率問題，此時就與條件中的二倍角建立關(guān)系，從而結(jié)合正弦定理，問題得解.所犯錯誤究其原因，還是盲目自大，一味的想當(dāng)然，導(dǎo)致問題無法解決，從而出現(xiàn)卡脖.變式2：（2023上·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的