二課時列聯(lián)表與獨立性檢驗

第二課時列聯(lián)表與獨立性檢驗?1.掌握分類變量的含義.2.通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.3.通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應用.CONTENTS010203/目錄

知識·逐點夯實考點·分類突破課時·過關檢測01??1.分類變量與列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量；（2）列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設有兩個分類變量X和Y，X表示相互對立的兩個事件{X＝0}和{X＝1}，Y表示相互對立的兩個事件{Y＝0}和{Y＝1}，其中a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y(tǒng)}（x，y＝0，1）的頻數(shù)，n是樣本量，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）如表所示：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bXY合計Y＝0Y＝1X＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d2.獨立性檢驗（1）小概率值α的臨界值：對于任何小概率值α，可以找到相應的正實數(shù)xα，使得關系P（χ2≥xα）＝α成立.我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值可作為判斷χ2大小的標準.概率值α越小，臨界值xα越大；

（3）獨立性檢驗：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗；（4）基于小概率值α的檢驗規(guī)則：當χ2≥xα時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當χ2＜xα時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認為X和Y獨立（其中xα為α的臨界值）；（5）應用獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)：①提出零假設H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋；②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較；③根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結論；④在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.（6）獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828?1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）分類變量中的變量與函數(shù)的變量是同一概念.

（

）答案：（1）×

（2）等高堆積條形圖可初步分析兩分類變量是否有關系，而獨立性檢驗中χ2取值則可通過統(tǒng)計表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關性的大小.

（

）（3）獨立性檢驗的方法就是用的反證法.

（

）（4）χ2的大小是判斷事件A與B是否相關的統(tǒng)計量.

（

）答案：（2）√

答案：（3）×

答案：（4）√2.觀察下面各等高堆積條形圖，其中兩個分類變量關系最強的是

（

）解析：B

通過等高堆積條形圖可知，選項B中y1，y2的差異最大，故兩個分類變量關系最強.故選B.3.（多選）若在研究吸煙與患肺癌的關系中，通過收集、整理、分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關”的結論，并且有99%以上的把握認為這個結論是成立的，則下列說法中正確的是

（

）A.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為吸煙和患肺癌有關系B.1個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌C.在100個吸煙者中一定有患肺癌的人D.在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有解析：AD

獨立性檢驗的結論是一個統(tǒng)計量，統(tǒng)計的結果只是說明事件發(fā)生的可能性的大小，具體到一個個體，則不一定發(fā)生.4.下面是一個2×2列聯(lián)表：XY合計y1y2x1a2173x2222547合計b46120則表中的a＝

?，b＝

?.

解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.答案：52

745.已知變量X，Y，由它們的樣本數(shù)據(jù)計算得到χ2≈4.328，χ2的部分臨界值表如下：α0.100.050.0250.0100.005xα2.7063.8415.0246.6357.879則最大有

?的把握說變量X，Y有關系（填百分數(shù)）.

解析：因為χ2≈4.328＞3.841＝x0.05，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為變量X，Y有關系.所以最大有95%的把握說變量X，Y有關系.答案：95%02?分類變量與列聯(lián)表1.（多選）根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖，下列敘述正確的是

（

）A.吸煙患肺病的頻率約為0.2B.吸煙不患肺病的頻率約為0.8C.不吸煙患肺病的頻率小于0.05D.吸煙與患肺病無關系解析：ABC

從等高堆積條形圖上可以明顯地看出，吸煙患肺病的頻率遠遠大于不吸煙患肺病的頻率.A、B、C都正確.2.（2023·安陽一模）如下是一個2×2列聯(lián)表，則m＋n＝

?.

XY合計y1y2x1a3545x27bn合計m73s解析：根據(jù)2×2列聯(lián)表可知a＋35＝45，解得a＝10，則m＝a＋7＝17，又由35＋b＝73，解得b＝38，則n＝7＋b＝45，故m＋n＝17＋45＝62.答案：62｜練后悟通｜分類變量的兩種統(tǒng)計表示形式（1）等高堆積條形圖：根據(jù)等高堆積條形圖的高度差判斷兩分類變量是否有關聯(lián)及關聯(lián)強弱；（2）2×2列聯(lián)表：直接利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)進行計算分析，用定量的方式判斷兩分類變量是否有關聯(lián)及關聯(lián)強弱.分類變量關聯(lián)性的判斷【例1】

某科研機構為了研究中年人禿發(fā)與患心臟病是否有關，隨機調查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：患心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2≈15.968，因為χ2＞10.828，則斷定禿發(fā)與患心臟病有關系.那么這種判斷出錯的可能性為

（

）A.0.001B.0.05C.0.025D.0.01解析

因為χ2＞10.828＝x0.001，因此判斷出錯的可能性為0.001，故選A.答案

A｜解題技法｜

如果χ2＞xα，則“X與Y有關系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結論“X與Y有關系”.?

某市政府調查市民收入增減與旅游愿望的關系時，采用獨立性檢驗法抽查了3000人，計算得χ2＝6.023，則市政府斷言市民收入增減與旅游愿望有關系的可信程度是（

）A.90%B.95%C.99%D.99.5%解析：B

由臨界值表，得6.023＞3.841＝x0.05，所以可斷言市民收入增減與旅游愿望有關系的可信程度為95%.獨立性檢驗的應用【例2】

（2022·全國甲卷·改編）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營.為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；

（2）根據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，能否認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關？

α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635解

（2）零假設為H0：甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司無關，列聯(lián)表如下表所示：公司班次是否準點合計準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020260B21030240合計45050500

?

為推行“新課堂”教學法，某化學老師分別用傳統(tǒng)教學和“新課堂”兩種不同的教學方式，在甲、乙兩個平行班級進行教學實驗.為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，結果如下表.記成績不低于70分的為“成績優(yōu)良”.分數(shù)[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并判斷能否依據(jù)小概率值α＝0.05的χ2獨立性檢驗認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”.解：由題意，列聯(lián)表如下：成績班級合計甲班乙班優(yōu)良91625不優(yōu)良11415合計202040

03?1.對甲、乙兩個班級學生的數(shù)學考試成績按照優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計人數(shù)后，得到如下的列聯(lián)表，則χ2約為

（

）班級數(shù)學成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀甲班113445乙班83745合計197190A.0.600B.0.828C.2.712D.6.014

2.為考察A，B兩種藥物預防某疾病的效果，進行藥物實驗，分別得到如下等高堆積條形圖：A.藥物B的預防效果優(yōu)于藥物A的預防效果B.藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果C.藥物A，B對該疾病均有顯著的預防效果D.藥物A，B對該疾病均沒有預防效果解析：B

從等高堆積條形圖可以看出，服用藥物A后未患病的比例比服用藥物B后未患病的比例大得多，預防效果更好.根據(jù)圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是（

）3.兩個分類變量X和Y，值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X與Y有關系的可信程度不小于97.5%，則c＝（

）A.3B.4C.5D.6解析：A

列2×2列聯(lián)表如下：XY合計y1y2x1102131x2cd35合計10＋c21＋d66

4.（多選）千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了A地區(qū)的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表，并計算得到χ2≈19.05，下列小波對A地區(qū)天氣的判斷正確的是（

）日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545C.依據(jù)α＝0.005的獨立性檢驗，認為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關D.依據(jù)α＝0.005的獨立性檢驗，若出現(xiàn)“日落云里走”，則認為夜晚一定會下雨

5.（多選）某大學為了解學生對學校食堂服務的滿意度，隨機調查了50名男生和50名女生，每位學生對食堂的服務給出滿意或不滿意的評價，得到如下所示的列聯(lián)表，經(jīng)計算χ2≈4.762，則可以推斷出（

）滿意不滿意男3020女4010B.調研結果顯示，該學校男生比女生對食堂服務更滿意C.認為男、女生對該食堂服務的評價有差異此推斷犯錯誤的概率不超過0.05D.認為男、女生對該食堂服務的評價有差異此推斷犯錯誤的概率不超過0.01

6.（多選）有兩個分類變量X，Y，其2×2列聯(lián)表如下所示：XY合計y1y2x1a20－a20x215－a30＋a45合計155065其中a，15－a均為大于5的整數(shù)，若依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，認為X，Y有關，則a的值為

（

）A.6B.7C.8D.9

7.如圖是調查某學校高一年級男、女學生是否喜歡徒步運動而得到的等高堆積條形圖，陰影部分表示喜歡徒步的頻率.已知該年級男生500人、女生400人（假設所有學生都參加了調查），現(xiàn)從所有喜歡徒步的學生中按分層隨機抽樣的方法抽取23人，則抽取的男生人數(shù)為

?.

答案：158.某醫(yī)療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出零假設H0：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計算得χ2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知x0.05＝3.841.則下列結論中，正確結論的序號是

?.

①認為“這種血清能起到預防感冒的作用”犯錯誤的概率不超過0.05；②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預防感冒的有效率為95%；④這種血清預防感冒的有效率為5%.解析：χ2≈3.918＞3.841＝x0.05，所以認為“這種血清能起到預防感冒的作用”，這種推斷犯錯誤的概率不超過0.05.要注意我們檢驗的是假設是否成立和該血清預防感冒的有效率是沒有關系的，不是同一個問題，不要混淆.答案：①9.某高?！督y(tǒng)計初步》課程的教師隨機調查了選該課的學生情況，調查數(shù)據(jù)如下表：非統(tǒng)計專業(yè)統(tǒng)計專業(yè)男1310女720為了判斷是否主修統(tǒng)計專業(yè)與性別的關系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算得到χ2≈

?（保留三位小數(shù)），所以判定

?（填“能”或“不能”）在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為是否主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關.

答案：4.844

能10.（2021·全國甲卷·改編）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

（2）依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否以此推斷甲機床的產(chǎn)品質量與乙機床的產(chǎn)品質量有差異？

?

A.25B.45C.60D.75解析：BCD

設男生的人數(shù)為5n（n∈N*），根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下所示：是否喜歡航天性別合計男生女生喜歡航天4n3n7n不喜歡航天n2n3n合計5n5n10n

12.某部門通過隨機調查89名工作人員的休閑方式是讀書還是健身，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別休閑方式合計讀書健身女243155男82634合計325789在犯錯誤的概率不超過

?的前提下認為性別與休閑方式有關系.

答案：0.113.某駕駛員培訓學校為對比了解“科目二”的培訓過程采用大密度集中培訓與周末分散培訓兩種方式的效果，調查了105名學員，統(tǒng)計結果為：接受大密度集中培訓的55名學員中有50名學員一次考試通過，接受周末分散培訓的學員一次考試通過的有30名.根據(jù)統(tǒng)計結果，認為“能否一次考試通過與是否集中培訓有關”犯錯誤的概率不超過

?.

解析：由題意，可得如下2×2列聯(lián)表：考試情況培訓方式合計集中培訓分散培訓一次考試通過503080一次考試未通過52025合計5550105

答案：0.00114.某城市地鐵將于2024年6月開始運營，為此召開了一個價格聽證會，擬定價格后又進行了一次調查，隨機抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下：