線性控制理論總復習(2012)

主要學習內(nèi)容Ch1緒論Ch2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

Ch3線性系統(tǒng)的運動分析Ch4線性系統(tǒng)的能控性和能觀性Ch5系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性Ch6線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合1一．系統(tǒng)數(shù)學描述的兩種基本類型(※)

1、輸入—輸出描述（外部描述）(1)用傳遞函數(shù)、微分方程等表征；(2)是系統(tǒng)的外部描述；(3)是對系統(tǒng)的不完全描述。第2章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2、狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）

(1)用狀態(tài)空間表達式表征；(2)是系統(tǒng)的內(nèi)部描述；(3)是對系統(tǒng)的完全描述。2二、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立建立狀態(tài)空間表達式的方法主要有兩種：根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間表達式由系統(tǒng)輸入輸出描述建立狀態(tài)空間表達式(※)能控標準型實現(xiàn)(※)能觀測標準型實現(xiàn)(※)對角型實現(xiàn)（了解）約當規(guī)范型實現(xiàn)（了解）3三、傳遞函數(shù)矩陣的計算（※）設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：在初始條件為零時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣表達式為：（※）41.非奇異線性變換的不變特性

非奇異線性變換后系統(tǒng)特征值不變、傳遞函數(shù)矩陣不變、能控性不變、能觀測性、穩(wěn)定性不變.2.線性系統(tǒng)等價狀態(tài)空間描述3.狀態(tài)方程的對角規(guī)范形和約當規(guī)范形四、

線性定常系統(tǒng)的坐標變換5五、組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（※）

組合系統(tǒng)：由兩個或兩個以上的子系統(tǒng)按一定方式相互聯(lián)接而構(gòu)成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)?；镜幕ヂ?lián)方式有三種：并聯(lián)、串聯(lián)和反饋三種組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣(※)6第3章線性系統(tǒng)的運動分析一．線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：當t0=0時，可將其表為即對于線性定常系統(tǒng)來說，它的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)。

7二．線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)和計算（※）1．性質(zhì)：（7條）（※）2．的計算方法（※）1）定義法（最常用）3）拉氏反變換法（※）2）特征值法8三．線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程解x(t)的計算（※）

(求線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng))1．積分法：

2．拉氏變換法：9第4章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)（※）1．秩判據(jù)2．PBH秩判據(jù)3．對角線規(guī)范型判據(jù)4．約當規(guī)范型判據(jù)103．對角線規(guī)范型判據(jù)（※）當矩陣A的特征值為兩兩相異時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：其對角線規(guī)范型中，不包含元素全為零的行。11當系統(tǒng)矩陣A有重特征值時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：由其導出的約當規(guī)范型中，中與同一特征值的各約當塊對應(yīng)的各子塊的最后一行組成的矩陣是行線性無關(guān)的。4．約當規(guī)范型判據(jù)12二．線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)（※）1．秩判據(jù)2．PBH秩判據(jù)3．對角線規(guī)范型判據(jù)4．約當規(guī)范型判據(jù)133.對角線規(guī)范型判據(jù)（※）當矩陣A的特征值為兩兩相異時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：其對角線規(guī)范型中，不包含元素全為零的列。144.約當規(guī)范型判據(jù)當系統(tǒng)矩陣A有重特征值時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：由其導出的約當規(guī)范型中，中與同一特征值的各約當塊對應(yīng)的各子塊的第一列組成的矩陣是列線性無關(guān)的。15三、能控性指數(shù)和能觀性指數(shù)

1.能控性指數(shù)：對完全能控線性定常系統(tǒng)其中：x為n維狀態(tài)向量；u為p維輸入向量；設(shè)k為正整數(shù)，定義如下(n×kp)矩陣：定義系統(tǒng)的能控性指數(shù)為：說明：對矩陣Qk將k依次由1增加直到有rankQk=n

，則此時的k就是能控性指數(shù)μ

。

16結(jié)論1：對完全能控多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r，若為矩陣A的最小多項式的次數(shù)，則系統(tǒng)能控性指數(shù)滿足如下估計：

2.能觀測性指數(shù)：對完全能觀測的線性定常系統(tǒng)其中：x為n維狀態(tài)向量；y為q維輸出向量；設(shè)k為正整數(shù)，定義如下(kq×n)矩陣：17定義系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)為：說明：對矩陣將k依次由1增加直到有，則此時的k就是能控性指數(shù)ν

。

18

結(jié)論2：對完全能觀測多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸出維數(shù)為q，設(shè)rankC=m，若為矩陣A的最小多項式的次數(shù)，則系統(tǒng)能觀測性指數(shù)還滿足如下估計19

考慮連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)

線性時變系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：式中：—協(xié)狀態(tài),n維行向量；—輸出,p維行向量；

—輸入，q維行向量。（1）（2）四、對偶性1.對偶系統(tǒng)20說明：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的對偶性：

線性時變系統(tǒng)的完全能控等同于其對偶系統(tǒng)的完全能觀測，線性時變系統(tǒng)的完全能觀測等同于其對偶系統(tǒng)的完全能控，即∑完全能控∑d完全能觀測

∑完全能觀測∑d完全能控2.對偶原理211.能控規(guī)范形的定義：

對完全能控的單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式其中：

則稱此狀態(tài)空間描述為能控規(guī)范形。五.能控能觀規(guī)范形(重點在SISO)22結(jié)論：對于完全能控的單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)其中：A為n×n常陣，b，c分別為n維列向量和n維行向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項式為引入非奇異線性變換陣P：2.化SISO能控系統(tǒng)為能控規(guī)范形23作變換，即可導出能控規(guī)范形為：式中：其中：243.能觀測規(guī)范形的定義：

對完全能觀測的單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式其中：

則稱此狀態(tài)空間描述為能觀測規(guī)范形。25結(jié)論：對于完全能觀測的單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)其中：A為n×n常陣，b，c分別為n維列向量和n維行向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項式為引入非奇異線性變換陣Q：4.化SISO能觀測系統(tǒng)為能觀測規(guī)范形26作變換，即可導出能觀測規(guī)范形為：式中：其中：27

結(jié)論：對不完全能控的系統(tǒng)，rankQc=k<n，引入線性非奇異變換，即可導出系統(tǒng)按能控性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范表達式P矩陣如何確定？六、連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解1.線性定常系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解281）從能控性判別陣Qc中任意的選取k個線性無關(guān)的列向量，記為。2）在n維實數(shù)空間中任意選取盡可能簡單的(n-k)個列向量（注：所謂盡可能簡單是指這(n-k)個列向量中有盡可能多的元素為零，非零元素取值為1），記為，使它們和線性無關(guān)。這樣就可以構(gòu)成n×n非奇異變換矩陣非奇異變換矩陣P-1的構(gòu)造方法29

結(jié)論：對不完全能觀的系統(tǒng)，rankQo=m<n，引入線性非奇異變換，即可導出系統(tǒng)按能觀性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范表達式F矩陣如何確定？2.線性定常系統(tǒng)按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解30從Qo中任意的選取m個線性無關(guān)的行向量，記為。非奇異變換矩陣F的構(gòu)造方法2.在n維實數(shù)空間中任意選取盡可能簡單的(n-m)個n維行向量，使它們和線性無關(guān)。構(gòu)成n×n非奇異變換矩陣31七.最小實現(xiàn)（補充）1．最小實現(xiàn)的定義：傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個維數(shù)最低的實現(xiàn)，稱為G(s)的最小實現(xiàn)或不可約簡實現(xiàn)。3．定理1：設(shè)(A,B,C)為傳遞函數(shù)矩陣的一個n維實現(xiàn)，則其為最小實現(xiàn)的充要條件是{A,B}可控且{A,C}可觀測。323.設(shè)單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)(A,b,c)的傳遞函數(shù)為：式中：是系統(tǒng)的特征多項式；

，其中adj(sI-A)為特征矩陣sI-A的伴隨矩陣。定理2：系統(tǒng)實現(xiàn)(A,b,c)為最小實現(xiàn)，即為可控且可觀測的充要條件是，與互質(zhì)。注3：對MIMO系統(tǒng)，與互質(zhì)是(A,B,C)為最小實現(xiàn)的充分條件。33一、線性定常系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系第5章系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性既能控又能觀時34二、李雅普諾夫第二法主要定理1.結(jié)論5.11(定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1)對于定常系統(tǒng)其中f(0)=0，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù)V(x),V(0)=0，并且對于狀態(tài)空間X中的一切非零點x滿足如下條件：

1）V(x)為正定；

2）為負定；

3）當時，。則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。352.結(jié)論5.12(定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2)對于定常系統(tǒng)其中f(0)=0，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù)V(x),V(0)=0，并且對于狀態(tài)空間X中的一切非零點x滿足如下條件：

1）V(x)為正定；

2）為負半定；

3）對于任意非零；

4）當時，。則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。36結(jié)論5.22/5.23[特征值判據(jù)]：考慮線性定常自治系統(tǒng)系統(tǒng)的每一個平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有非正(負或零)實部，且實部為零的特征值是A的最小多項式的單根。系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負實部。三、線性時不變系統(tǒng)的特征值穩(wěn)定判據(jù)(sI-A)-1中所有元素的最小公分母37結(jié)論5.24（※）線性定常系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，對于任意給定的一個正定對稱矩陣Q，李亞普諾夫矩陣方程有唯一正定對稱矩陣解P。注意：使用中常選取Q陣為單位陣或正定對角陣。

四、線性時不變系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定判據(jù)38第6章線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合一.兩種常用反饋結(jié)構(gòu)1.狀態(tài)反饋：2.輸出反饋：39二.反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)性能的影響(※)1.對系統(tǒng)可控性和可觀測性的影響結(jié)論6.1/6.2：狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性，但可能改變系統(tǒng)的可觀測性。結(jié)論6.3：輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測性。結(jié)論