冪函數(shù) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第二冊

4.4冪函數(shù)新授課1.掌握冪函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)；2.能利用冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決綜合問題．知識點(diǎn)1：冪函數(shù)的概念觀察：下列問題中的函數(shù)解析式有什么共同特征？（1）如果小紅以1元/kg的價格購買了某種蔬菜

wkg，那么她需要支付

p=w元，這里

p是

w的函數(shù)；（2）如果正方形的邊長為

a，那么正方形的面積

S=a2，這里

S是

a的函數(shù)；（3）如果立方體的棱長為

b，那么立方體的體積

V=b3，這里

V是

b的函數(shù)；（4）如果一個正方形場地的面積為

S，那么正方形的邊長

c=，這里

c是

S的函數(shù)；（5）如果某人

t

s內(nèi)騎車行進(jìn)了1km，那么他騎車的平均速度

v=，即

v=t-1，這里

v是

t的函數(shù).將自變量全部用

x來表示，函數(shù)值用

y來表示，則上述函數(shù)關(guān)系可寫為：上述問題中涉及的函數(shù)，都是形如

y=

xα的函數(shù).y=

xy=

x2y=

x3y=

x

-1y=

一般地，函數(shù)

y=xα

稱為冪函數(shù)，其中

x是自變量，α是常數(shù).概念生成練一練下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的是_________.①

；②y=3x3；③y=2x+1；④

；⑤y=x3；⑥.

注：冪函數(shù)

y=xα

中

xα的系數(shù)一定為

1，且

xα后面沒有其他項.①⑤⑥知識點(diǎn)2：冪函數(shù)的性質(zhì)與圖像問題1：判斷

-4，-3，-2，-1，

，0，

，1，2，3，4

這些數(shù)中，哪些在函數(shù)

的定義域內(nèi)，求出對應(yīng)函數(shù)值，并填寫下表(只需填在定義域內(nèi)的數(shù)及對應(yīng)的函數(shù)值)，由此猜測這個函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，并說明理由.x由于

，由此可知

的性質(zhì)有：（1）定義域是

；

（2）值域是

；（3）奇偶性是

；

（4）單調(diào)性是

.[0，+∞)非奇非偶函數(shù)增函數(shù)[0，+∞)12340120

根據(jù)以上信息可知，函數(shù)

圖像上的點(diǎn)，除了原點(diǎn)，其余點(diǎn)都在第一象限，通過描點(diǎn)，可作出其圖像，如下圖所示：yOx11xyOy

=

x

-1y

=

xy

=

x2問題2：給出研究函數(shù)

y

=

x3

的性質(zhì)與圖像的方法，并用該方法得出這個函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域是_______；

（2）值域是_______；（3）奇偶性是_______；

（4）單調(diào)性是_______；（5）如圖，已作出函數(shù)

y

=

x

-1，y

=

x，y

=

x2

的圖像，

請在其中作出函數(shù)

y

=

x3

圖像.R奇函數(shù)增函數(shù)Ry

=

x3思考：結(jié)合上述兩個問題，說說冪函數(shù)

y=xα

都有哪些共同特征？冪函數(shù)

y=xα

的一般性質(zhì)歸納總結(jié)（1）所有的冪函數(shù)在

(0，+∞)

都有定義，由此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都通過點(diǎn)

(1，1)；（2）α>

0

時：冪函數(shù)的圖像通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間

[0，+∞)

上是增函數(shù)；（3）α<

0

時：冪函數(shù)的圖像不過原點(diǎn)，并且在區(qū)間

(0，+∞)

上是減函數(shù).xyOy

=

x

-1y

=

xy

=

x2y

=

x3典例剖析解：（1）因為冪函數(shù)

y=x1.1在區(qū)間[0，+∞)上是增函數(shù)，且2.3<2.5，

所以

2.31.1<2.51.1；例1：比較下列各題中兩個值的大?。海?）2.31.1

和2.51.1；

（2）

和.（2）因為冪函數(shù)

在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù)，且

a2+2≥2，所以.練一練利用冪函數(shù)的性質(zhì)，比較

(-1.2)3與

(-1.1)3的大小.解：冪函數(shù)

y=x3的定義域為

R，且在

R上單調(diào)遞增，

又因為-1.2＜-1.1，所以

(-1.2)3<(-1.1)3.小結(jié)：冪函數(shù)

y=xα

中

α相同時，先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再根據(jù)自變量的大小，比較函數(shù)值的大小.典例剖析解：因為

，所以函數(shù)的定義域為實數(shù)集

R；

記

，則

，

所以函數(shù)

是偶函數(shù)；因此，函數(shù)的圖像關(guān)于

y

軸對稱；

通過列表描點(diǎn)，可先做出

在

x∈[0，+∞)時函數(shù)圖像，

再根據(jù)對稱性，做出它在

x∈(-∞，0]時的圖像；例2：討論函數(shù)

的定義域、奇偶性，通過描點(diǎn)作出它的圖像，并根據(jù)圖像說明函數(shù)的單調(diào)性.如圖所示，是函數(shù)

的函數(shù)圖像；由圖可知，函數(shù)

在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-∞，0]上單調(diào)遞減.知識點(diǎn)3：用信息技術(shù)作冪函數(shù)的圖像在GeoGebra中，只要輸入冪函數(shù)的表達(dá)式，就可以得到對應(yīng)的圖像，如圖所示是用GeoGebra作出的f(x)=x