祖暅原理與幾何體的體積 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第四冊

11.1空間幾何體11.1.6祖暅原理與幾何體的體積新授課1.了解祖暅原理，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題；2.理解柱、錐、臺、球的體積公式的推導(dǎo)方法；3.掌握柱、錐、臺和球的體積公式，會用體積公式求簡單幾何體的體積.知識點1：祖暅原理問題1：同一摞書，當(dāng)改變擺放書的形狀時(如圖所示)，這摞書的總體積是否會改變？由此能得到有關(guān)體積的什么結(jié)論？概念生成祖暅原理：冪勢既同，則積不容異.水平截面面積高如圖所示，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等.知識點2：柱體、椎體、臺體與圓的體積1.柱體的體積：棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體.柱體被平行于底面的平面所截時，得到的截面與底面全等，因此截面面積一定等于底面面積；由祖暅原理可知，等底面積、等高的兩個柱體，體積相等；則柱體的體積計算公式為V柱體

=Sh（S為柱體的底面積，h為高）

問題2：如圖所示的直三棱柱可以分成3個三棱錐，所得到的3個三棱錐的體積之間有什么關(guān)系？由此能得到三棱錐的體積計算公式嗎？一般地，如果錐體的底面積為S，高為h，則錐體的體積計算公式為

例1：如圖所示，在長方體ABCD

–A′B′C′D′

中，求棱錐D′–A′CD的體積與長方體的體積之比典例剖析ABCDA′B′C′D′3.臺體的體積：棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體.

臺體可看成錐體截去一個小錐體得到，故臺體的體積可以通過計算錐體的體積之差來得到.

設(shè)臺體的上、下底面面積分別為S1，S2，且大、小椎體的高分別為H，h則有：

例2：已知四棱臺上、下底面面積分別為S1，S2，而且高為h，求這個棱臺的體積.B1ABCDD1A1C1O1OP

B1ABCDD1A1C1O1OP

一般地，如果臺體的上、下底面面積分別為S1，S2，高為h，則臺體的體積計算公式為：歸納總結(jié)問題3：如圖所示是底面積和高都相等的兩個幾何體，右邊是半球，左邊是圓柱被挖去一個倒立的圓錐剩余的部分，用平行于半球與圓柱底面的平面去截這兩個幾何體，所得截面分別是什么形狀？兩個截面面積大小關(guān)系怎樣？由此你能得到球的體積公式嗎？4.球的體積：一般地，如果球的半徑為R，那么球的體積計算公式為：

RO例2：如圖，某鐵制零件由一個正四棱柱和一個球組成，已知正四棱柱底面邊長與球的直徑均為1cm，正四棱柱的高為2cm，現(xiàn)有這種零件一盒共50kg，取鐵的密度為7.8g/cm3，π≈3.14.（1）估計有多少個這樣的零件；（2）如果要給這盒零件的每個零件表面涂上一種特殊的材料，則需要能涂多少平方厘米的材料.（球與接口處的面積不計，結(jié)果精確到1cm2）？

（2）如果要給這盒零件的每個零件表面涂上一種特殊的材料，則需要能涂多少平方厘米