資產(chǎn)組合有效集定理

資產(chǎn)組合的有效集定理資產(chǎn)組合收益與風險的測定1、資產(chǎn)組合的收益資產(chǎn)組合的預期收益是資產(chǎn)組合中所有資產(chǎn)預期收益率的加權(quán)平均。設一項資產(chǎn)組合中含有n項資產(chǎn)，令r表示第i種資產(chǎn)的收益率，w表示第i種資ii產(chǎn)在組合中的比例。則組合P的預期收益率為：E(r)二E(wr+wr???+wr)P 11 22 nn二wE(r)+wE(r)+???+wE(r)1 1 2 2 nnEwE(r)ii其中，刀w=1,i=1,2,…，n。i2、資產(chǎn)組合的風險衡量資產(chǎn)組合風險的工具是證券組合的方差。資產(chǎn)組合的方差不僅和其組成資產(chǎn)的方差有關(guān)，同時還與組成資產(chǎn)之間的相關(guān)程度有關(guān)。對于有n項資產(chǎn)的組合P來說，其總方差為：TOC\o"1-5"\h\zo2=EEwwcov(r，r)；w和w分別表示資產(chǎn)i和資產(chǎn)j的投資權(quán)重P ij ij i j其中當i二j時，cov(r，r)表示資產(chǎn)i收益的方差，^卩cov(r，r)=o2ij iji當iHj時，cov(r，門表示資產(chǎn)i和資產(chǎn)j收益間的協(xié)方差。用公式ijcov(r，r)二E{[r-E(r)][r-E(r)]}ij i i j j協(xié)方差反映了兩個證券收益同時變化的測度。如果cov(r，r)>0，即協(xié)方差為正數(shù)，那么證券i和證券j的收益呈同向變化，即當證券i的收益大于其預期收益E(r)時，證券j的收益也大于它的預期收益。反之，如果cov(r，r)<0，即協(xié)方差為負數(shù)，那么證券i和證券j的收益呈反向變化。 ij為了能更清晰地說明兩個證券之間的相關(guān)程度，通常把協(xié)方差正規(guī)化，使用資產(chǎn)i和資產(chǎn)j收益間的相關(guān)系數(shù)P，用公示表示：ijP=cov(r,r)/o0，其中o和。分別表示證券i和j的標準差,ij ijij i jp的取值范圍為［-1,1］。ij當P=1時，證券i和j是完全正相關(guān)的。ij當P=-1時，證券i和j是完全負相關(guān)的。ij當P=0時，證券i和j之間不存在相關(guān)關(guān)系ij重點關(guān)注由兩種證券構(gòu)成的投資組合：這一投資組合的收益：E(r)=E(wr+wr)=wE(r)+wE(r)P11221122這一投資組合的方差：o2=W202+W202+2wwcov(r,r)P11221212=w2o2+w2o2+2wwpoo1122121212當p=1時，o=wo+wo；此時組合標準差等于組合中單個證券標準差的加權(quán)平均值。當p=0時，o=(w2o2+w2o2)1/212P1122當p=-1時，o=|wo-woI12P1122顯然，投資組合的標準差在p二-1時最小，p=1時最大。1212例：已知證券組合P是由證券1和證券2構(gòu)成，兩種證券的預期收益和標準差分別為E(r)=20%,o=10%；E(r)=25%，o=20%，并且兩種證券的權(quán)重分1122別為w=w=50%，請計算由這兩種證券所構(gòu)成的證券組合P的預期收益率，并分12別計算p=1，p=0，p=-1時證券組合P的標準差。121212答：證券組合P的預期收益率為:E(r)=50%X20%+50%X25%=22.5%P證券組合P的標準差分別為：當P=1時，。二wo+wo=50%X10%+50%X20%=15%TOC\o"1-5"\h\z12 P11 22當P二0時，o=(w2o2+w202)1/2=(50%2X10%2+50%2X20%2)1/211.2%12 P11 22當P=-1時，0=|wo-wo|=|50%X10%-50%X20%|=5%12 P 1 1 2 2需要指出的是，證券組合分散化的效果大小取決于證券之間的相關(guān)系數(shù)隨著相關(guān)系數(shù)從1增加到-1，即證券之間由完全正相關(guān)發(fā)展到完全負相關(guān)，證券組合的標準差減少到最小，分散化效果也在不斷顯現(xiàn)。資產(chǎn)組合的可行集可行集，也叫投資機會集合，是指資本市場上由風險資產(chǎn)可能形成的所有投資組合的總體。我們已經(jīng)知道，對于任何一個單一證券，都可以用期望收益率和標準差來描述，那么在均值——方差平面圖上我們可用相對應的點來表示該證券，其中橫坐標表示該證券的標準差，縱坐標表示該證券的期望收益率。相應的任何一個投資組合也可以用組合的期望收益率和標準差確定出坐標系中的一個點。這一點將隨著組合的權(quán)數(shù)變化而變化，其軌跡將是經(jīng)過A和B的一條連續(xù)曲線，這條曲線是證券A和證券B的組合線。這條組合線就是由證券A和證券B構(gòu)成的可行集，也稱為投資機會集合。可行集上的每一點都表示一個由證券A和證券B構(gòu)成的可能的組合。由2種證券構(gòu)成的可行集——雙曲線的一部分由2種以上證券構(gòu)成的可行集——均值—方差平面上的一個區(qū)域，整個可行集呈雨傘狀，可行集區(qū)域的左側(cè)邊界仍然是雙曲線的一部分。大同煤業(yè)收益 1工商銀行收益11%5%大同煤業(yè)標準差1工商銀行標準差14.93%10.80%大同煤業(yè)與工商銀行相關(guān)系數(shù)—0.82通過設置不同的投資比重，可以得出不同的組合收益率和組合標準差，將這些不同的組合點（標準差、收益率）相連，可以得到一條平滑的凹形曲線——投資機會集合——投資機會集合，又叫可行集?？尚屑瘏⒖甲跃幗滩闹锌尚屑忉尅４笸簶I(yè)比重1工商銀行比重0組合收益率組合標準差11%14.93%0.90.110.4%12.57%0.80.29.8%10.25%0.70.39.2%8.01%0.60.48.6%5.95%0.50.58.0%4.33%0.40.67.4%3.77%0.30.76.8%4.66%0.20.86.2%6.42%0.10.95.6%8.54%015.0%10.80%（三） 可行集與相關(guān)系數(shù)如上所述，可行集左側(cè)邊界曲線通常為雙曲線的一部分?？尚屑髠?cè)邊界曲線向左彎曲的程度取決于證券A、B之間的相關(guān)程度。隨著相關(guān)系數(shù)由1變成-1，可行集左側(cè)邊界曲線變得越來越向左彎曲，這說明隨著相關(guān)系數(shù)的降低，組合的標準差在逐漸減小，組合的風險得到了有效降低。從圖中可以看出當相關(guān)系數(shù)P=1時，可行集左側(cè)邊界曲線是連接證券A和B的一條直線；隨著相關(guān)系數(shù)降到0，可行集左側(cè)邊界曲線開始顯著向左彎曲，變成一條凹形曲線；當相關(guān)系數(shù)為負，可行集左側(cè)邊界曲線進一步向左拉伸。最終當相關(guān)系數(shù)p=-1時，可行集左側(cè)邊界曲線實際上變成了一種折線,組合的標準差甚至可以取到0，此時組合完全沒有風險，得到一個穩(wěn)定的收益率。這正是分散化的魅力所在。這很好理解，當P=-1時，證券A和證券B完全負相關(guān)，一種證券收益率的上漲與另一種證券收益率的下跌相互抵消，從而完全消除了組合的風險。注意：兩種極端情況下的風險資產(chǎn)可行集：1、 當相關(guān)系數(shù)=1，可行集是一條直線。2、 當相關(guān)系數(shù)=-1，投資機會集合是一條折線。此時，最小方差點位于縱軸上，最小標準差=0，此時投資組合可以實現(xiàn)零風險。（四）資產(chǎn)組合的有效集：馬克維茨最重要的結(jié)論——有效邊界請大家思考，可行集上的每一點是否都是有效的投資組合呢？要判斷這一點，我們首先需要對有效加以界定。經(jīng)濟學的一個基本假定：投資者是理性的，他們總是在尋找最優(yōu)決策：在成本一定的情況下，收益最大化在收益一定的情況下，成本最小化同樣地，在金融學中，投資者在進行投資時，也會遵循最優(yōu)化決策：同一風險、最大收益同一收益、最小風險這就是有效的含義。據(jù)此，我們可以看出在由大同煤業(yè)和工商銀行組成的可行集上，并非所有的點都符合這一原則：可行集上最小方差點下方的曲線是無效的。可行集上最小方差點上方的曲線AB遵循了有效的含義一同一風險、收益最大；同一收益、風險最小。所以——可行集上最小方差點上方的曲線，被稱為馬克維茨有效集。關(guān)于馬克維茨有效集也叫馬克維茨有效邊界你需要掌握：1、 從圖形上看，馬克維茨有效集是最小方差點上方的曲線。2、 有效的含義3、 馬克維茨有效集是針對風險資產(chǎn)而言的，因此馬克維茨有效集上的每一點都代表風險資產(chǎn)的有效組合。例如，大同煤業(yè)與工商銀行——風險資產(chǎn)組合；股票與債券——風險資產(chǎn)組合怎樣判斷風險資產(chǎn)？收益率不確定標準差＞04、 馬克維茨有效集的形狀——凹形凹性一一相對于X軸含義：凹形的判斷方法——請參考前面判斷投資者風險類型的方法凹形：將曲線上任意兩點相連，連線低于曲線根據(jù)有效的含義：同一風險、最大收益；同一收益，最小風險投資者總是更偏好均值——方差圖中左上方的點，即更高的收益、更低的風險。所以，將有效邊界AB上的任意兩點L和H連線，點C是LH連線上的一點。其中，點L代表風險資產(chǎn)的一種有效組合，點H代表風險資產(chǎn)的另一種有效組合。由于點C是LH連線上的一點，因此點C是風險資產(chǎn)有效組合L、H所構(gòu)成的一種新的線性組合。例如，E(R)=WXE(R)+WXE(R)CL L H H而點D是馬克維茨有效集AB上的一點，點D與點C的風險水平相同。根據(jù)凹形的含義：曲線上的點高于任意兩點連線上的點，即點D高于點C,因此，E(Rd)>E(Rc)可見，馬克維茨有效集上的點D滿足同一風險、最大收益。同樣地，將點C與馬克維茨有效集AB曲線上的點E相比，點C與點E處于同一收益，但是點E的標準差要小于點C。說明，馬克維茨有效集上的點E滿足同一收益、最小風險。反之，如果馬克維茨有效集呈凸性，則有效邊界上的點不符合同一風險水平下，最大收益；同一收益水平下，最小風險。所以，有效邊界必然呈凹形。無差異曲線與最優(yōu)投資組合1、無差異曲線確定投資組合的有效集后，投資者可根據(jù)自己對風險的個人偏好從這個有效集中選出更適合自己的投資組合。投資者的個人偏好可以用無差異曲線來描述。這里的無差異曲線和消費者效用函數(shù)中的無差異曲線非常類似，是指能為投資者帶來同等效用水平(即滿足程度)的收益和風險的不同組合。風險偏好不同的投資者，其無差異曲線的形狀也不同。盡管如此，絕大多數(shù)投資者的無差異曲線具有凸性，這是因為絕大多數(shù)的投資者都是風險厭惡者。凸性的無差異曲線表明隨著投資風險的上升，投資者要求以越來越多的收益作為承受風險的補償。換言之，投資者越來越難以忍受風險。風險厭惡者的無差異曲線具有以下六個特點：(1)無差異曲線是由左至右向上彎曲的曲線---說明投資者要么喜歡低風險、低收益的組合，要么喜歡高風險、高收益的組合。每個投資者的無差異曲線形成密布整個平面。同時，由于不同的無差異曲線代表不同的滿足程度，因此不同的無差異曲線不會相交。同一條無差異曲線上的組合給投資者帶來的滿意程度相同。不同無差異曲線上的組合給投資者帶來的滿意程度不同。無差異曲線的位置越高，其上的投資組合給投資者帶來的滿意程度就越高。投資者總是更偏好于均值—方差平面上靠近左上方的無差異曲線上的組合，因為它代表著更高的收益和更小的風險。無差異曲線向上彎曲的程度大小反映投資者承受風險的能力強弱。2、最優(yōu)投資組合最優(yōu)投資組合是指一個投資者選擇一個有效的投資組合并且具有最大效用。有效邊界是客觀存在的一條曲線，它告訴我們哪些組合是有效的。但是投資者具體選擇有效邊界上的哪一點進行投資，則取決于投資者的個人主觀偏好。投資者的個人偏好可以通過無差異曲線來反映。因此，在確定最優(yōu)投資組合時，必須同時考慮有效邊界和無差異曲線。對于投資者而言，無差異曲線的位置越高越好，此時投資者可以在更低的風險水平上獲取更高的收益。投資者需要在有效邊界上找到一個具有下述特征的有效組合：相對于其他有效組