人教版八年級數(shù)學(xué)上冊（第十三章 軸對稱）13.4 課題學(xué)習 最短路徑問題（學(xué)習、上課資料）

13.4課題學(xué)習最短路徑問題第十三章軸對稱逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2最短路徑問題建橋選址問題知識點最短路徑問題知1－講11.

直線異側(cè)的兩點到直線上一點的距離的和最短的問題如圖13.4-1，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，在直線l上找一點C，使CA＋CB最小，這時點C就是線段AB與直線l的交點.知1－講2.

直線同側(cè)的兩點到直線上一點的距離的和最短的問題如圖13.4-2，點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，在直線l上找一點C，使CA＋CB最小，這時先作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點C(也可以作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點C)，此時點C就是所求作的點.知1－講特別解讀●直線異側(cè)的兩點到直線上一點的距離的和最短的問題是根據(jù)“兩點之間，線段最短”來設(shè)計的.●直線同側(cè)的兩點到直線上一點的距離的和最短的問題依據(jù)兩點：一是對稱軸上任何一點到一組對稱點的距離相等；二是將同側(cè)的兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點，依據(jù)異側(cè)兩點的方法找點.知1－練例1某供電部門準備在輸電主干線l上連接一個分支線路，分支點為M，同時向新落成的A，B兩個居民小區(qū)送電.解題秘方：扣住兩點是在直線同側(cè)還是異側(cè)兩種類型解決.知1－練解：如圖13.4-3，連接AB，與l的交點即為所求的分支點M.(1)如果居民小區(qū)A，B在主干線l的兩側(cè)，如圖13.4-3，那么分支點M在什么地方時總線路最短？知1－練解：如圖13.4-4，作點B關(guān)于l的對稱點B1，連接AB1交l于點M，連接BM，此時AM＋BM最短，則點M即為所求的分支點.(2)如果居民小區(qū)A，B在主干線l的同側(cè)，如圖13.4-4，那么分支點M在什么地方時總線路最短？知1－練方法點撥：解決“一線兩點”型最短路徑問題的方法當兩點在直線異側(cè)時，連接兩點，與直線的交點即為所求作的點；當兩點在直線同側(cè)時，作其中某一點關(guān)于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點即為所求作的點.知1－練1-1.如圖，四邊形OABC為正方形，邊長為3，點A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點D在OA上，且D的坐標為(1，0)，P是OB上的一動點，則“求PD＋PA的最小值”要用到的數(shù)學(xué)依據(jù)是()A.兩點之間，線段最短B.軸對稱的性質(zhì)C.兩點之間，線段最短及軸對稱的性質(zhì)D.以上都不正確C知1－練如圖13.4-5，牧馬營地在點P處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草，再到河邊b處飲水，最后回到營地.請你設(shè)計一條放牧路線，使其所走的總路程最短.例2知1－練解題秘方：要使其所走的總路程最短，可聯(lián)想到“兩點之間，線段最短”，因此需將三條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上，利用軸對稱的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化.知1－練解：如圖13.4-5，作點P關(guān)于直線a的對稱點P1，關(guān)于直線b的對稱點P2，連接P1P2，分別交直線a，b于點A，B，連接PA，PB.由軸對稱的性質(zhì)知，PA＝P1A，PB＝P2B，則先沿PA到點A處吃草，再沿AB到點B處飲水，最后沿BP回到營地，此時PA＋AB＋PB＝P1A＋AB＋P2B＝P1P2，按這樣的路線放牧所走的總路程最短.知1－練方法點撥：解決“兩線一點”型最短路徑問題的方法分別以兩線為對稱軸，作已知點的對稱點，連接兩個對稱點，將最短路徑轉(zhuǎn)化為連接兩個對稱點的線段.知1－練2-1.如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點M，N，當△AMN的周長最小時，求∠AMN＋∠ANM的度數(shù).知1－練解：如圖，分別作點A關(guān)于直線BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，連接AM，AN，則

A′A″的長即為△AMN的周長的最小值．作DA的延長線AH.知1－練∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.知1－練例3如圖13.4-6，山娃星期天從A處趕了幾只羊到草地l1上吃草，然后趕羊到河邊l2處飲水，之后再回到B處的家.假設(shè)山娃趕羊所走的路都是直路，請你為他設(shè)計一條最短的路線，并指明羊吃草與飲水的位置.知1－練解題秘方：要使總路程最短，需要將三條線段想辦法轉(zhuǎn)化到一條線段上，可通過兩次軸對稱構(gòu)造出最短路線.知1－練解：如圖13.4-6，作出點A關(guān)于l1的對稱點E，點B關(guān)于l2的對稱點F，連接EF，分別交l1，l2于點C，點D，連接AC，BD，則A→C→D

→B是山娃所走的最短路線，其中點C是羊吃草的位置，點D是羊飲水的位置.知1－練方法點撥：解決“兩線兩點”型最短路徑問題的方法以兩線為對稱軸，分別作靠近線的點的對稱點，連接兩個對稱點，將最短路徑轉(zhuǎn)化為連接兩個對稱點的線段.知1－練3-1.如圖，已知點P，Q在銳角∠AOB內(nèi)部，分別在邊OA，OB上求作點M，N，使得PM＋MN＋NQ的值最小.知1－練解：如圖，作點P關(guān)于直線OA的對稱點P′，點Q關(guān)于直線OB的對稱點Q′，連接P′Q′，分別交OA，OB于點M，N，則點M，N即為所求．連接PM，QN，此時，PM＋MN＋NQ的值最小，就是P′Q′的長．知2－講知識點建橋選址問題21.

解決“建橋選址”問題，一般用平移的方法，利用平移前后的對應(yīng)線段相等，把未知的線段轉(zhuǎn)換到一條直線上，再結(jié)合“兩點之間，線段最短”解決問題.2.

解決“建橋選址”問題的關(guān)鍵就是要通過平移橋，使除橋外的其他路徑平移后在一條直線上.知2－講特別解讀解決連接河兩邊兩地的最短路徑問題時，可以通過平移橋的方法轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題.知2－練如圖13.4-7，從A地到B地要經(jīng)過一條小河(河的兩岸平行)，現(xiàn)要在河上建一座橋(橋垂直于河的兩岸)，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？例4知2－練解題秘方：如圖13.4-8，從A到B要走的路線為A→M→N→B，因為河寬MN不變，所以要使路程最短，只要AM＋BN最小即可；由平移MN到AC可知，連接B，C的線段長是AM＋BN的最小值，此時BC與GH的交點N為橋的一端，MN就是所建的橋的位置.知2－練解：(1)如圖13.4-8，過點A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬；(2)連接BC，與河岸GH相交于點N，過點N作NM⊥EF于點M，則MN為所建橋的位置.知2－練4-1.如圖，要求只挖一條水渠把水送到A，B兩地，請你