人教版七年級數(shù)學(xué)上冊（第四章 幾何圖形初步）4.3 角（學(xué)習(xí)、上課資料）

4.3角第四章幾何圖形初步4.3.1角逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2角的定義角的表示方法角的單位及換算知識點角的定義知1－講11.

角的定義定義示例組成元素“靜”態(tài)的觀點觀點有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊，角的大小與所畫邊的長短無關(guān)“動”態(tài)的觀點角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形起始位置的邊叫角的始邊，終止位置的邊叫角的終邊知1－講2.

平角與周角射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA

成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖4.3-1；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OB和OA

重合時，所形成的角叫做周角，如圖4.3-2.知1－講特別解讀1.構(gòu)成角的要素是頂點、兩邊，且兩邊都是射線.2.角的大小與所畫邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩邊張開的幅度有關(guān).3.平角的兩邊成一條直線，但不能說平角就是一條直線；周角的兩邊重合形成一條射線，但不能說周角就是一條射線.知1－練例1下列說法：①兩條射線組成的圖形是角；②角的大小與所畫邊的長短有關(guān)；③角的兩邊是兩條射線；④因為平角的兩邊成一條直線，所以一條直線可以看成一個平角.其中，正確說法的個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4知1－練解題秘方：緊扣定義中的關(guān)鍵詞進行辨析.答案：A解：①是錯誤的，因為若兩條射線無公共端點，則構(gòu)成的圖形不是角；②是錯誤的，因為角的大小與所畫邊的長短無關(guān)；③是正確的；④是錯誤的，因為直線和平角是兩個不同的概念，平角有頂點和兩邊，它與直線不同.故有1個說法正確.知1－練1-1.下列說法：①平角就是直線；②兩條射線組成的圖形叫角；③角的大小與所畫邊的的長短無關(guān)；④角的兩邊是兩條線段.其中正確的有()A.0個 B.1個C.2個 D.3個B知1－練1-2.用5倍的放大鏡看10°的角，觀察到角的度數(shù)為()A.10° B.50°C.2° D.

都不對A知2－講知識點2角的幾何符號為“∠”，角的表示方法有以下幾種角的表示方法特別提醒●用數(shù)字或希臘字母表示角時，要在角的內(nèi)部，在靠近角的頂點處加上弧線表示角的范圍，即從哪邊到哪邊.●如無特殊說明，在初中階段所說的角一般都是在0°~180°之間.知2－講表示方法示例記法方法解讀用三個大寫字母表示∠AOB

或∠BOA字母O

表示頂點，要寫在中間，A，B

表示角的兩邊上的點，用該表示法可以表示任何一個角用一個大寫字母表示∠O當(dāng)以某一個字母表示的點為頂點的角只有一個時，可用這個頂點的字母來表示知2－講表示方法示例記法方法解讀用數(shù)字表示∠1在靠近角的頂點處加上弧線，并標(biāo)上數(shù)字或希臘字母.該表示法形象直觀用希臘字母表示∠α注意：角的符號應(yīng)書寫標(biāo)準(zhǔn)，“∠”不可與“<”混淆.知2－練例2如圖4.3-3，寫出符合以下條件的角：(1)能用一個大寫字母表示的角；(2)以A

為頂點的角；(3)小于平角的角.解：∠B，∠C.∠BAC，∠BAD，∠CAD.∠BAC，∠B，∠C，∠1，∠2，∠3，∠4.知2－練解題秘方：先要明確角的表示方法的“適用范圍”，再根據(jù)圖形特點將每個角用合適的方法表示.知2－練2-1.如圖，∠ABC可以表示成∠_____或∠_____，∠α

可以表示成_______，∠2可以表示成________.1B∠ACB∠CAD知3－講知識點31.

角的度量單位度、分、秒是常用的角的度量單位.把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1″.角的單位及換算知3－講

知3－講要點歸納1.角的度、分、秒是60進制的，這和計量時間的時、分、秒是一樣的.2.使用三角尺可以畫出30°，45°，60°，90°等特殊角，使用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角.知3－練例3計算：(1)將57.32°用度、分、秒表示；(2)將10°6′36″用度表示.解題秘方：利用高級單位和低級單位相互轉(zhuǎn)化的方法進行計算.知3－練解：(1)57.32°=57°+0.32°=57°+0.32×60′=57°+19.2′=57°+19′+0.2×60″=57°+19′+12″=57°19′12″.大單位化小單位乘60知3－練

低級單位化高級單位除以60知3－練方法點撥：將度用度、分、秒表示的方法先將度的小數(shù)部分化為分，再將分的小數(shù)部分化為秒；將度、分、秒用度表示的方法：先將秒化為分，再將分化為度.知3－練3-1.下列各式中，正確的角度互化是()A.63.5°=63°50′B.23°12′36″=23.48°C.18°18′18″=18.33°D.22.25°=22°15′D知3－練3-2.如圖，這四個城市相應(yīng)鐘表上時針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)分別是：30°0°120°90°角角度量單位角度的換算定義表示方法4.3角第四章幾何圖形初步4.3.2角的比較與運算逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2角的大小比較角的和、差角平分線知識點角的大小比較知1－講11.

度量法用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.2.

疊合法把要比較的兩個角的頂點重合，把它們的一條邊疊合在一起，通過觀察另一條邊的位置來比較兩個角的大小，如圖4.3-8.知1－講特別提醒：使用疊合法比較角的大小時要注意兩點：(1)重合，即頂點重合，一條邊重合；(2)同側(cè)，即另一條邊放在重合邊的同一側(cè).知1－練例1根據(jù)圖4.3-9，回答下列問題：(1)比較∠FOD

與∠BOD

的大?。?2)比較∠AOD與∠BOD

的大?。?3)借助量角器比較∠AOE

與∠

DOF的大小.解題秘方：利用角的兩種比較大小的方法比較角的大小.知1－練解：(1)∠FOD與∠BOD有重合邊和重合頂點，且射線OF

在∠BOD的內(nèi)部，根據(jù)疊合法可知∠FOD<∠BOD.(2)因為∠AOD

是鈍角，∠BOD是銳角，所以∠AOD>∠BOD.(3)用量角器測量得∠AOE=30°，∠DOF=30°，所以∠AOE=∠DOF.知1－練1-1.用“>”“<”或“=”填空.(1)若∠1=∠2，∠2=∠3，則∠1______∠3；(2)若∠α+∠β=70°，∠β+∠γ=100°，則∠α______∠γ.＝<知2－講知識點2設(shè)有兩個角∠1和∠2(∠1>∠2)，如圖4.3-10①.把∠2移到∠1上，使它們的頂點重合，一條邊重合.角的和、差知2－講(1)兩角的和：當(dāng)∠2在∠1的外部時，它們的另兩邊(

非重合的邊)所成的角就是它們的和，記作：∠BAC=∠1+∠2，如圖4.3-10②.知2－講(2)兩角的差：當(dāng)∠2在∠1的內(nèi)部時，它們的另兩邊(非重合的邊)所成的角就是它們的差，記作：∠GEH=∠1－∠2，如圖4.3-10③.知2－講特別提醒●兩個角的和或差，仍然是一個角，角的和或差的度數(shù)，就是它們度數(shù)的和或差.●在計算兩個角的和或差時要將度與度、分與分、秒與秒分別相加或相減，分、秒相加時逢60要進位，相減時要借1當(dāng)60.知2－練例2計算：(1)27°26′+53°48′；(2)90°－79°18′6″解：27°26′+53°48′=80°74′=81°14′；90°－79°18′6″=89°59′60″－79°18′6″=10°41′54″解題秘方：利用有理數(shù)的運算法則，結(jié)合角的單位的換算和進制進行計算.知2－練2-1.計算下列各題：(1)98°45′36″+71°22′34″；(2)13°24′15″×5；(3)58°34′16″÷4.解：原式＝170°8′10″.原式＝67°1′15″.原式＝14°38′34″.知2－練如圖4.3-11，回答下列問題.(1)∠

AOC是哪兩個角的和？(2)∠AOB是哪兩個角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC

與∠

DOB相等嗎？解題秘方：根據(jù)圖中角的位置關(guān)系得到角的和差關(guān)系.例3知2－練解：(1)∠

AOC=∠AOB+∠BOC.(2)∠AOB=∠AOD－

∠BOD=∠AOC－

∠BOC.(3)∠AOC=∠DOB.因為∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB.知2－練3-1.在所給的：①15°，②65°，③75°，④135°，⑤145°的角中，可以用一副三角尺畫出來的是()A.②④⑤ B.①②④C.①③⑤ D.①③④D知3－講知識點31.

定義一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.角平分線特別解讀●角平分線的“三要素”：(1)是從角的頂點引出的射線；(2)在角的內(nèi)部；(3)將已知角平分.●角的平分線只有一條，而角的n等分線有(n－1)條.知3－講

知3－講2.角的n等分線類似角的平分線，從角的頂點引出的射線，將角分成相等的n個角，叫做角的n等分線，例如角的三等分線、四等分線等.知3－練如圖4.3-13，OC

是∠AOD

的平分線，OE是∠BOD的平分線.例4知3－練解題秘方：利用角平分線的定義及角的和差關(guān)系，將要求的角向已知的角進行轉(zhuǎn)化，找出它們之間的數(shù)量關(guān)系進行解答.知3－練(1)如果∠AOB=130°，那么∠COE

是多少度？

知3－練(2)在(1)的條件下，如果∠DOC=20°，那么∠BOE是多少度？解：由(1)可知∠COE=65°，因為∠DOC=20°，所以∠DOE=∠COE－∠DOC=45°.因為OE

平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE=45°.知3－練4-1.如圖，OC是∠AOB

的平分線，OD是∠BOC的平分線，若∠AOB=120°，則∠AOD

的度數(shù)為()A.30°B.50°C.60°D.90°D知3－練如圖4.3-14，O

為直線AB上一點，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠EOD=90°.例5知3－練(1)求∠BOD的度數(shù)；解題秘方：利用∠BOD=∠BOC+∠DOC求解即可；

知3－練(2)小明發(fā)現(xiàn)OE平分∠BOC，請你通過計算說明理由.解題秘方：分別求出∠COE

和∠BOE的度數(shù)即可.解：因為∠DOE=90°，∠DOC=25°，所以∠COE=∠DOE－

∠DOC=90°－

25°=65°.又因為∠BOE=∠BOD－

∠DOE=155°－

90°=65°，所以∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC.知3－練5-1.如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，則下列結(jié)論正確的有()①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE

平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC.A.4個

B.3個C.2個

D.1個C角的比較與運算角的比較與運算角的比較角的運算度量法疊合法角的和差角的平分線4.3角第四章幾何圖形初步4.3.3余角和補角逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2余角和補角余角、補角的性質(zhì)方位角知識點余角和補角知1－講11.余角如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角.數(shù)學(xué)語言：如果∠1+∠2=90°，就說∠1是∠2的余角，或∠1與∠2互為余角，如圖4.3-22.知1－講2.補角如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角.數(shù)學(xué)語言：如果∠3+∠4=180°，就說∠3是∠4的補角，或∠3與∠4互為補角，如圖4.3-23.知1－講3.

一個角的余角(或補角)可以有多個，但它們的度數(shù)是相等的，互余、互補是指具有一定數(shù)量關(guān)系的兩個角.特別解讀1.互余、互補是指兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，它們是成對出現(xiàn)的.2.互余、互補只與數(shù)量有關(guān)，與位置無關(guān).互余和互補揭示的是兩個角之間的數(shù)量關(guān)系：一個銳角α的余角為90°－α，補角為180°－α.知1－練例1已知一個角的補角比這個角的余角的3倍大10°，求這個角的度數(shù).解題秘方：緊扣余角和補角的定義結(jié)合數(shù)量關(guān)系列方程解答.知1－練解：設(shè)這個角的度數(shù)是x，則這個角的補角為(180°－x)，余角為(90°－x).則(180°－x)－3(90°－x)=10°，解這個方程得x=50°.所以這個角的度數(shù)為50°.知1－練1-1.[中考·武威]若∠A=40°，則∠A

的余角的大小是()A.50°B.60°C.140°D.160°A知1－練1-2.若∠α

與∠β互為補角，∠β

是∠α的2倍，則∠α的度數(shù)為()A.20° B.30°C.40° D.60°D知1－練如圖4.3-24，點O

為直線AB

上一點，∠AOC=∠DOE=90°.解題秘方：由已知條件，結(jié)合互為余角、互為補角的定義解答.例2知1－練解：因為點O為直線AB

上一點，所以∠BOC+∠AOC=180°180°，∠DOE+∠1+∠4=180°(平角的定義).因為∠AOC=∠DOE=90°，所以∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∠1+∠4=90°，所以圖中互余的角有4對，分別是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4.(1)圖中互余的角有幾對？各是哪些？知1－練解：由已知得，∠1+∠BOD=180°，∠4+∠AOE=180°.因為∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3.所以∠3+∠BOD=180°.因為∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，所以∠2=∠4.所以∠2+∠AOE=180°.

°，(2)圖中互補的角有幾對？各是哪些？知1－練又∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC+∠DOE=180°，∠DOE+∠BOC=180°，所以圖中互補的角有7對，分別是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC

和∠BOC，∠AOC

和∠DOE，∠DOE

和∠BOC.知1－練

D知2－講知識點21.

余角的性質(zhì)(1)同角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3.(2)等角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.余角、補角的性質(zhì)知2－講2.

補角的性質(zhì)(1)同角的補角相等.如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3.(2)等角的補角相等.如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.知2－講特別提醒1.

“同角”指同一個角“，等角”指度數(shù)相等的角.2.余角、補角的性質(zhì)是說明兩個角相等的重要依據(jù).知2－練如圖4.3-25，直線AB與∠COD

的兩邊OC，OD

分別相交于點E，F(xiàn)，∠1+∠2=180°.找出圖中與∠2相等的角，并說明理由.例3解題秘方：先找出與∠1和∠2互補的角，然后利用互補的關(guān)系找出與∠2相等的角.知2－練解：因為∠1+∠3=180°，∠1+∠2=180°，所以∠3=∠2.因為∠1+∠4=180°，∠1+∠2=180°，所以∠4=∠2.因為∠2+∠5=180°，∠6+∠5=180°，所以∠2=∠6.所以圖中與∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.同角的補角相等同角的補角相等同角的補角相等知2－練3-1.如圖，O為直線AB上一點，OC平分∠AOB，∠DOE=90°.(1)寫出∠COD的余角；解：∠COD的余角有∠AOD，∠COE.知2－練(2)∠AOD

和∠COE相等嗎？為什么？除90°的角外，還有哪些相等的角？請說明理由；解：相等．因為O為直線AB上一點，OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝90°.所以∠AOD＋∠COD＝90°.又因為∠COE＋∠COD＝90°，所以∠AOD＝∠COE(同角的余角相等)．相等的角還有∠BOE＝∠COD.理由：因為∠COD＋∠COE＝90°，∠BOE＋∠COE＝90°，所以∠BOE＝∠COD.知2－練(3)寫出∠COD的補角.解：∠COD的補角為∠AOE.知2－練如圖4.3-26，已知O是直線AB上的一點，OC是一條射線，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，OE

平分∠BOC

嗎？為什么？解題秘方：緊扣角平分線的定義，利用余角的性質(zhì)說明兩個角相等.例4知2－練解：OE平分∠BOC.理由如下：因為∠DOE=90°，所以∠

DOC+∠COE=90°.又因為∠AOB=180°，所以∠AOD+∠BOE=90°.又因為OD

平分∠AOC，所以∠AOD=∠DOC.所以∠COE=∠BOE，即OE

平分∠

BOC.知2－練4-1.如圖，如果∠AOB=∠COD=90°，那么∠1=∠2，這是根據(jù)()A.

直角都相等B.

等角的余角相等C.

同角的余角相等D.同角的補角相等C知3－講知識點31.

方位角用角度和方向表示方位的角，如圖4.3-27，與地面上的方向順序相同.方位角知3－講2.方位角的描述一般地，方位角是以第一個方向(正南或正北)為角的始邊向第二個方向轉(zhuǎn)動所形成的角.特殊方位角：(1)東北方向表示以正北為角的始邊，向東轉(zhuǎn)45°時的射線的方向，又叫北偏東