人教版七年級數(shù)學(xué)下冊（第八章 二元一次方程組）8.3實際問題與二元一次方程組（學(xué)習(xí)、上課資料）

8.3實際問題與二元一次方程組第8章二元一次方程組逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標課時講解1課時流程2列二元一次方程組解應(yīng)用題的基本步驟列方程組解應(yīng)用題的常見題型建立二元一次方程組的模型對實際問題進行判斷或方案設(shè)計知識點列二元一次方程組解應(yīng)用題的基本步驟知1－講感悟新知11.基本思想方法：(1)列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化成“已知”的過程；它的關(guān)鍵是把未知量與已知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系列方程組.知1－講感悟新知(2)一般情況下，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相等.知1－講感悟新知2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：(1)審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題；(2)設(shè)：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的兩個未知量(設(shè)元)；(3)找：找出能表示題意的兩個等量關(guān)系；(4)列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程組；(5)解：解這個方程組，求出未知數(shù)的值；(6)答：檢驗所求解是否符合實際意義，寫出答案.知1－講感悟新知特別解讀找等量關(guān)系的方法：1.抓住題目中的關(guān)鍵詞，常見的關(guān)鍵詞有：“比”“是”“等于”等；2.根據(jù)常見的數(shù)量關(guān)系，如體積公式、面積公式等，找等量關(guān)系；3.挖掘題目中的隱含條件，如飛機沿同一航線航行，順風(fēng)航行與逆風(fēng)航行的路程相等；4.借助列表格、畫線段示意圖等方法找等量關(guān)系.感悟新知知1－練某船的載質(zhì)量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸體積為2立方米，要充分利用這艘船的載質(zhì)量和容積，甲、乙兩種貨物應(yīng)各裝多少噸？例1解題秘方：分析題目中已知量和未知量，找準題目中的等量關(guān)系，列出方程組解決問題.感悟新知知1－練解：設(shè)甲種貨物應(yīng)裝x噸，乙種貨物應(yīng)裝y噸.由題意，得

解得答：甲、乙兩種貨物應(yīng)各裝150噸.感悟新知知1－練1-1.某校決定組織全校600名師生去郊游，租用10輛大客車和8輛小客車，恰好全部坐滿.已知每輛大客車的座位數(shù)比每輛小客車多15個.若設(shè)每輛大客車有x

個座位，每輛小客車有y個座位，則可列方程組為________________

.知識點列方程組解應(yīng)用題的常見題型知2－講感悟新知2根據(jù)在實際問題中等量關(guān)系的不同類型，歸納出應(yīng)用題幾種常見題型：(1)和、差、倍、分問題；(2)數(shù)字問題；(3)配套問題；(4)銷售問題；(5)行程問題；(6)百分比問題；(7)古代算術(shù)問題；(8)幾何圖形問題.知2－講感悟新知特別提醒不同類型的問題中都有各自的代表性詞語，如配套問題中的“配套”，銷售問題中的“售價”“標價”“折扣”等等.感悟新知知2－練某中學(xué)七年級甲、乙兩班共有93人，其中參加數(shù)學(xué)課外興趣小組的共有27人，已知甲班有

的學(xué)生、乙班有

的學(xué)生參加數(shù)學(xué)課外興趣小組，求這兩個班各有多少人.例2解題秘方：緊扣人數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是和、差、倍、分關(guān)系，建立已知量與未知量的等量關(guān)系.知2－講感悟新知解：設(shè)甲班有x

人，乙班有y

人，根據(jù)題意，得

解得答：甲班有48人，乙班有45人.感悟新知知2－練2-1.某學(xué)校舉行的知識競賽共有60道題，曾浩同學(xué)答對了x

道題，答錯了y

道題(不答視為答錯)，且答對題數(shù)比答錯題數(shù)的7倍還多4道，那么下面列出的方程組中正確的是()A感悟新知知2－練有一個三位數(shù)，現(xiàn)將最左邊的數(shù)字移到最右邊，則比原來的數(shù)小45；又知原百位數(shù)字的9倍比原三位數(shù)去掉百位數(shù)字后的兩位數(shù)小3，求原三位數(shù).解題秘方：設(shè)出數(shù)位上的數(shù)字，利用數(shù)位上的數(shù)字表示出數(shù)，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程組.例3知2－講感悟新知解：設(shè)原百位數(shù)字為x，原三位數(shù)去掉百位數(shù)字后的兩位數(shù)為y，由題意得解得則4×100+39=439.答：原三位數(shù)為439.感悟新知知2－練3-1.一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是5，若這個兩位數(shù)加上9，所得的兩位數(shù)的數(shù)字順序與原來兩位數(shù)的數(shù)字順序恰好顛倒，求原兩位數(shù).感悟新知知2－練某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2m的某種布料可做衣身3個或衣袖5只，現(xiàn)計劃用132m這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？例4解題秘方：緊緊扣配套規(guī)則列方程，如本題衣身與衣袖(恰好配套)的數(shù)量比是1∶2.知2－講感悟新知解：設(shè)用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.根據(jù)題意，得解得答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.感悟新知知2－練4-1.某車間有技術(shù)工人85人，平均每人每天可加工甲種部件16個或乙種部件10個，2個甲種部件和3個乙種部件配成一套，問：各安排多少人才能使每天加工的甲、乙兩種部件剛好配套？感悟新知知2－練感悟新知知2－練某商場購進甲、乙兩種商品后，甲商品加價50%、乙商品加價40%作為標價，適逢元旦，商場舉辦促銷活動，甲商品打八折銷售，乙商品打八五折銷售.某顧客購買甲、乙商品各1件，共付款538元，已知商場共盈利88元，求甲、乙兩種商品的進價各是多少元.解題秘方：緊扣銷售問題中，每個量的意義及各個量之間的數(shù)量關(guān)系列出方程組，解決問題.例5知2－講感悟新知解：設(shè)甲商品的進價為x

元，乙商品的進價為y

元，根據(jù)題意，得化簡，得解得答：甲商品的進價為250元，乙商品的進價為200元.感悟新知知2－練5-1.一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%，如果按定價打八折出售每件可以盈利10元.問：此商品每件的定價是多少？感悟新知知2－練張明沿公路勻速前進，每隔4min就迎面開來一輛公共汽車，每隔6min就有一輛公共汽車從背后超過他.假定公共汽車的速度不變，而且迎面開來的相鄰兩車的距離和從背后開來的相鄰兩車的距離都是1200m，求張明前進的速度和公共汽車的速度.例6解題秘方：分析相遇或追及問題中兩者運動的路程與相隔路程之間的關(guān)系，列出方程組，解決問題.知2－講感悟新知解：設(shè)張明前進的速度是xm/min，公共汽車的速度是ym/min.根據(jù)題意，得解得答：張明前進的速度是50m/min，公共汽車的速度是250m/min.感悟新知知2－練6-1.育才中學(xué)新建的塑膠操場跑道的一圈長為400m.甲、乙兩名運動員從同一起點同時出發(fā)，相背而跑，40s后首次相遇；從同一起點同時出發(fā)，同向而跑，200s后甲首次追上乙.求甲、乙運動員的速度.感悟新知知2－練感悟新知知2－練某人騎自行車從A地出發(fā)去B地，先以每小時12km的速度下坡，再以每小時9km的速度在平路上行駛至B地，共用55min；回來時他以每小時8km的速度通過平路后，再以每小時4km的速度上坡至A地，共用1.5h.求A，B兩地之間的路程.解題秘方：解決有上、下坡路程的往返問題時，雖然每段路程不變，但速度發(fā)生了改變.根據(jù)時間總量列出方程組解決問題.例7知2－講感悟新知解：設(shè)從A地到B地的下坡路程為xkm，平路路程為ykm.由題意，得解得x+y=3+6=9.答：A，B兩地之間的路程為9km.感悟新知知2－練7-1.小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路，假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80米，上坡路每分鐘走40米，從家里到學(xué)校需10分鐘，從學(xué)校到家里需15分鐘.請問小華家離學(xué)校多遠？感悟新知知2－練感悟新知知2－練A，B兩碼頭相距140km，一艘輪船在其間航行，順水航行用了7h，逆水航行用了10h，求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度.例8解題秘方：本題關(guān)鍵是找到各速度之間的關(guān)系：順速=靜速+水速，逆速=靜速-水速，再結(jié)合公式“路程=速度×?xí)r間”列方程組求解.知2－講感悟新知解：設(shè)輪船在靜水中的速度為xkm/h，水流速度為ykm/h.由題意，得解得答：這艘輪船在靜水中的速度為17km/h，水流速度為3km/h.感悟新知知2－練8-1.一艘輪船從甲地到乙地順流航行需4h，從乙地到甲地逆流航行需6h，那么一只木筏由甲地漂流到乙地需多長時間？感悟新知知2－練感悟新知知2－練在當?shù)剞r(nóng)業(yè)技術(shù)部門的指導(dǎo)下，李明家增加種植菠蘿的投資，使今年的菠蘿喜獲豐收.如圖8.3-1是李明和他的爸爸、媽媽的一段對話.例9感悟新知知2－練請你用所學(xué)過的知識幫助李明算出他家今年菠蘿的收入.解題秘方：緊扣今年與去年的收入和投資之間的數(shù)量關(guān)系解題.知2－講感悟新知解：設(shè)李明家去年種植菠蘿的收入為x

元，投資為y

元.由題意，得解得所以(1+35%)x=1.35×12000=16200.答：李明家今年菠蘿的收入為16200元.感悟新知知2－練9-1.[中考·

泰安]泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購進了A

種茶30盒，B

種茶20盒，共花費6000元；第二次購進時，兩種茶每盒的價格都提高了20%，該店又購進了A

種茶20盒，B

種茶15盒，共花費5100元．求第一次購進的A、B

兩種茶每盒的價格.感悟新知知2－練感悟新知知2－練列方程組解古算題：“巍巍古寺在山林，不知寺內(nèi)幾多僧.三百六十四只碗，看看用盡不差爭.三人共食一碗飯，四人共吃一碗羹.請問先生明算者，算來寺內(nèi)幾多僧？”例10感悟新知知2－練解題秘方：先將古算題用通俗的文字敘述，然后再找等量關(guān)系，列方程組解決問題.此題如果直接將僧人的人數(shù)設(shè)為x，那么求解較復(fù)雜，因此需采用間接設(shè)元法.知2－講感悟新知解：設(shè)飯碗有x只，湯碗有y

只.由題意，得

解得所以3x=3×208=624.答：寺廟內(nèi)共有624位僧人.感悟新知知2－練10-1.[中考·連云港]我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？”其大意是：今有幾個人共同出錢購買一件物品．每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4錢．問人數(shù)、物品價格各是多少？請你求出以上問題中的人數(shù)和物品價格．感悟新知知2－練感悟新知知2－練小敏做拼圖游戲時發(fā)現(xiàn)：8個一樣大小的小長方形恰好可以拼成一個大的長方形，如圖8.3-2所示.小穎看見了，也來試一試，結(jié)果拼成了如圖8.3-3所示的正方形，不過中間留下一個空白，恰好是一個邊長為2cm的小正方形，你能算出每個小長方形的長和寬各是多少嗎？例11感悟新知知2－練解題秘方：根據(jù)拼圖方式找出小長方形的長和寬之間的數(shù)量關(guān)系.知2－講感悟新知解：設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm.依題意，得整理，得①②①－②×3得y=6，將y=6代入②得x=10.因此，這個方程組的解是答：每個小長方形的長為10cm，寬為6cm.感悟新知知2－練11-1.劉強用8個邊長不全相等的正三角形拼成如圖的圖案，其中陰影部分是邊長為1cm的正三角形.試求出圖中正三角形A、正三角形B的邊長分別是多少厘米.感悟新知知2－練知識點建立二元一次方程組的模型對實際問題進行判斷或方案設(shè)計知3－講感悟新知3建立二元一次方程組的模型就是為了解決實際問題.對某個問題要進行判斷或設(shè)計方案時，關(guān)鍵之處在于：(1)要分析解決此問題時需要解決哪幾個未知量，然后根據(jù)需要設(shè)未知數(shù)；(2)方程組的解是否符合實際問題的限制條件.知3－講感悟新知特別提醒設(shè)計方案問題應(yīng)從不同角度去考慮，先考慮多種可能的方案，再根據(jù)結(jié)果合理地選擇方案.感悟新知知3－練我市某超市舉行店慶活動，對甲、乙兩種商品實行打折銷售.打折前，購買3件甲商品和1件乙商品需要190元；購買2件甲商品和3件乙商品需要220元.而店慶期間，購買10件甲商品和10件乙商品僅需735元，這比打折前少花多少錢？例12解題秘方：分析解決問題的關(guān)鍵是求打折前甲、乙兩商品的單價，采取間接設(shè)未知數(shù)的方法解決問題.感悟新知知3－練解：設(shè)打折前，甲商品的單價為x

元，乙商品的單價為y

元，由題意得解得則打折前，購買10件甲商品和10件乙商品需要10×(50+40)=900(元).因為打折后實際花費735元，所以這比打折前少花900－735=165

(元).感悟新知知3－練12-1.某天，一蔬菜經(jīng)營戶用90元錢從蔬菜批發(fā)市場批發(fā)了西紅柿和豆角共40kg到菜市場去賣，西紅柿和豆角這天的批發(fā)價與零售價如下表所示：品名西紅柿豆角批發(fā)價(單位：元/kg)2.51.5零售價(單位：元/kg)3.52.8感悟新知知3－練問：(1)批發(fā)的西紅柿和豆角的質(zhì)量各是多少？(列二元一次方程組求解)感悟新知知3－練(2)他當天賣完這些西紅柿和豆角能賺多少錢？解：他當天賺的錢＝(3.5－2.5)×30＋(2.8－1.5)×10＝43(元)．答：他當天賣完這些西紅柿和豆角能賺43元．感悟新知知3－練某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元.當?shù)匾患夜臼召忂@種蔬菜140噸，該公司的加工生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸；例13感悟新知知3－練如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，并且受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司設(shè)計了三種加工方案：感悟新知知3－練方案一：將蔬菜全部進行粗加工；方案二：盡可能多地對蔬菜進行精加工，并將沒有來得及加工的蔬菜在市場上全部銷售；方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好在15天內(nèi)完成.你認為哪種方案獲利最多？為什么？感悟新知知3－練解題秘方：分別求出三種方案的利潤，進行比較選擇，求利潤時，找出與利潤相關(guān)的未知量去設(shè)未知數(shù).方法點撥解決優(yōu)化方案問題，首先要列舉出所有可能的方案，再按題中的要求分別求出每種方案的具體結(jié)果，從中選擇最優(yōu)方案.感悟新知知3－練解：方案一：獲利為4500×140=630000(元).方案二：獲利為7500×6×15+1000×(140－6×15)=725000(元).方案三：設(shè)將x

噸蔬菜進行精加工，y噸蔬菜進行粗加工.感悟新知知3－練由題意，得