人教版八年級數學下冊（第十八章 平行四邊形）18.2 特殊的平行四邊形（學習、上課資料）

18.2特殊的平行四邊形第18章平行四邊形18.2.1矩形逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2矩形的定義和性質直角三角形斜邊上的中線的性質矩形的判定知識點矩形的定義和性質知1－講感悟新知11.定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.特別提醒●矩形必須具備兩個條件：1.它是一個平行四邊形；2.它有一個角是直角，這兩個條件缺一不可.●由矩形的定義知：矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.矩形的定義可以作為判定一個四邊形是矩形的一種方法.知1－講感悟新知2.性質矩形的性質如下表：圖形性質數學表達式矩形的四個角都是直角∵四邊形ABCD

是矩形，∴∠DAB=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°矩形的對角線相等∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC=OB=OD矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸知1－講感悟新知矩形的一條對角線把矩形分成兩個全等的直角三角形，矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，分成四個面積相等的等腰三角形，因此有關矩形的計算問題經常轉化成直角三角形或等腰三角形來解決.感悟新知知1－練如圖18.2-1，在ABCD

中，點E，F為BC邊上的點，且BE=CF，AF=DE.求證：ABCD是矩形.例1解題秘方：緊扣矩形定義的“兩個條件”進行證明.感悟新知知1－練證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠B+∠C=180°.∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.又∵AF=DE，∴△

ABF≌△DCE(SSS).∴∠B=∠C=90°.∴ABCD是矩形.感悟新知知1－練1-1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC

于點D，分別過點A，D

作AE∥BC，DE∥AB，AE

與DE

相交于點E，連接CE.求證：四邊形ADCE

是矩形.感悟新知知1－練證明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形．∴AE＝BD.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，AD⊥BC.∴AE＝CD，∠ADC＝90°.又∵AE∥CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形且有一個角是直角．∴四邊形ADCE是矩形．感悟新知知1－練如圖18.2-2，在矩形ABCD

中，對角線AC，BD

相交于點O，∠BOC=120°，AB=6.解題秘方：緊扣矩形的“角、對角線的性質”進行計算.例2感悟新知知1－練求：(1)對角線的長；解：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AC=BD，OA=OC=OB=OD.又∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°.∴△AOB

是等邊三角形.∴OA=AB=6.∴BD=AC=2OA=2×6=12.感悟新知知1－練(2)BC

的長；解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠

ABC=90°.∴BC=(3)矩形ABCD的面積.解：S矩形ABCD=AB·BC=6×感悟新知知1－練2-1.[中考·銅仁]如圖，在矩形ABCD中，A(－3，2)，B(3，2)，C(3，－1)，則D的坐標為()A.(－2，－1)B.(4，－1)C.(－3，－2)D.(－3，－1)D感悟新知知1－練2-2.若矩形的對角線長為4cm，一條邊長為2cm，則此矩形的面積為()A.8cm2B.4cm2C.2cm2D.8cm2B知識點直角三角形斜邊上的中線的性質知2－講感悟新知2直角三角形斜邊上的中線的性質定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.數學語言：如圖18.2-3，在Rt△ABC

中，∵∠ACB=90°，AD=BD，∴

CD=

AB(或CD=AD=BD).知2－講感悟新知說明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是根據矩形的兩條對角線相等且互相平分推導出來的.將矩形沿某條對角線剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的模型.知2－講感悟新知特別提醒●直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個面積相等的等腰三角形.●此性質與“直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”都是解決線段倍分關系的重要依據.感悟新知知2－練如圖18.2-4，BD，CE是△ABC

的兩條高，M，N

分別是BC，DE

的中點.求證MN⊥DE.解題秘方：緊扣條件“N

為DE

的中點”和結論“MN⊥DE”，建立等腰三角形“三線合一”模型，結合直角三角形斜邊上中線的性質進行證明.例3知2－講感悟新知證明：如圖18.2-4，連接EM，DM.∵BD，CE

為△ABC

的兩條高，∴

BD⊥AC，CE⊥AB.∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt△BEC中，∵

M為斜邊BC的中點，∴EM=BC.知2－講感悟新知在Rt△CDB中，∵

M為斜邊BC

的中點，∴DM=BC.∴EM=DM.又∵

N為DE

的中點，∴MN⊥DE.感悟新知知2－練3-1.如圖，在△ABC

中，∠C=2∠B，點D為BC上一點且AD⊥AB，點E是BD

的中點，連接AE.感悟新知知2－練(1)求證∠

AEC=∠C；感悟新知知2－練(2)求證BD=2AC；證明：由(1)可知BD＝2AE，∠AEC＝∠C，∴AC＝AE.∴BD＝2AC.感悟新知知2－練(3)若AE=8.5，AD=8，求△

ABE的周長.知識點矩形的判定知3－講感悟新知31.判定定理1對角線相等的平行四邊形是矩形.數學語言：如圖18.2-5，在ABCD

中，AC=BD，∴四邊形ABCD

是矩形.知3－講感悟新知2.判定定理2有三個角是直角的四邊形是矩形.數學語言：如圖18.2-6，在四邊形ABCD

中，∠A=∠B=∠

C=90°，∴四邊形ABCD

是矩形.知3－講感悟新知特別提醒矩形判定的常見思路：1.從角的角度證明.(1)四邊形矩形；(2)平行四邊形矩形；2.從對角線的角度證明.(1)平行四邊形矩形；(2)四邊形矩形.感悟新知知3－練如圖18.2-7，在四邊形ABCD

中，AD∥BC，E，F兩點在邊BC

上，AB∥DE，AF∥DC，且四邊形AEFD

是平行四邊形.例4解題秘方：緊扣“平行四邊形”這一前提，從“對角線相等”入手(或有一直角入手)進行證明.感悟新知知3－練(1)AD

與BC

有何數量關系？請說明理由.解：BC=3AD.理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四邊形ABED

和四邊形AFCD

都是平行四邊形.∴AD=BE，AD=FC.又∵四邊形AEFD

是平行四邊形，∴AD=EF.∴AD=BE=EF=FC.∴BC=3AD.感悟新知知3－練(2)當AB=DC

時，求證：AEFD

是矩形.證明：∵四邊形ABED

和四邊形AFCD

都是平行四邊形，∴DE=AB，AF=DC.∵AB=DC，∴DE=AF.又∵四邊形AEFD

是平行四邊形，∴四邊形AEFD

是矩形.感悟新知知3－練4-1.如圖，在四邊形ABCD

中，對角線AC，BD相交于點O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC.求證：四邊形ABCD是矩形.感悟新知知3－練證明：∵AB∥CD且AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABD＝∠BDC.∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC.∴OA＝OB.∴AC＝BD.∴四邊形ABCD是矩形．感悟新知知3－練如圖18.2-8，ABCD

的四個內角的平分線分別相交于點E，F，G，H.求證：四邊形EFGH

是矩形.解題秘方：題中證明矩形的條件是建立在四邊形基礎上，且都與角相關，可從證直角入手進行判定.例5感悟新知知3－練證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴

AB∥CD.∴∠ABC+∠BCD=180°.∵BG

平分∠ABC，CG

平分∠BCD，∴∠GBC+∠GCB=∠ABC+∠BCD=(∠ABC+∠BCD)=×180°=90°.∴∠BGC=90°.同理可得∠AFB=∠AED=90°，∴∠GFE=∠FEH=∠FGH=90°.∴四邊形EFGH是矩形.感悟新知知3－練5-1.如圖，在△ABC

中，AB=AC，AD，AE

分別是∠BAC

和△BAC

的外角∠BAF的平分線，BE⊥AE.感悟新知知3－練(1)求證DA⊥AE；感悟新知知3－練(2)試判斷四邊形AEBD的形狀，并證明你的結論.解：四邊形AEBD是矩形．證明如下：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°.由(1)知∠DAE＝90°，∴四邊形AEBD是矩形．課堂小結矩形矩形定義直角三角形斜邊上的中線的性質邊的關系角的關系對角線的關系判定性質邊的性質角的性質對角線的性質18.2特殊的平行四邊形第18章平行四邊形18.2.2菱形逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2菱形的定義和性質菱形的判定知識點菱形的定義和性質知1－講感悟新知11.定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.特別提醒(1)菱形的性質與勾股定理聯系，可得對角線與邊之間的關系，即邊長的平方等于兩條對角線一半的平方和；(2)如果菱形的一個內角為60°，那么菱形的兩條邊與較短的對角線構成的三角形為等邊三角形；(3)菱形的面積=底×高=兩條對角線乘積的一半.知1－講感悟新知2.性質菱形的性質如下表：圖形性質數學表達式菱形的四條邊都相等∵四邊形ABCD

是菱形，∴AB=BC=CD=AD菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD

是菱形，∴BD⊥AC，∠DAC=∠BAC，∠ACD=∠ACB，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸知1－講感悟新知3.矩形與菱形的區(qū)別(1)矩形和菱形都是建立在平行四邊形的基礎上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一組鄰邊相等；(2)矩形的兩條對角線把矩形分割成四個面積相等的等腰三角形，而菱形的兩條對角線把菱形分割成四個全等的直角三角形；(3)矩形的對稱軸是兩條過兩組對邊中點的直線，而菱形的對稱軸是兩條對角線所在的直線.感悟新知知1－練如圖18.2-16，在△

ABC中，CD

平分∠ACB

交AB

于點D，DE∥AC

交BC

于點E，DF∥BC

交AC

于點F.四邊形DECF是菱形嗎？為什么？例1解題秘方：緊扣菱形的定義中“兩個條件”進行判斷.感悟新知知1－練解：四邊形DECF是菱形.理由如下：∵

DE∥FC，DF∥EC，∴四邊形DECF

為平行四邊形.∵AC∥DE，∴∠2=∠3.∵CD

平分∠ACB，∴∠1=∠2.∴∠1=∠3.∴DE=EC.∴平行四邊形DECF為菱形.感悟新知知1－練1-1.[中考·丹東]如圖，在平行四邊形ABCD中，點O

是AD

的中點，連接CO并延長交BA

的延長線于點E，連接AC，DE.感悟新知知1－練(1)求證：四邊形ACDE是平行四邊形；證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE.∵點O是AD的中點，∴AO＝DO.感悟新知知1－練(2)若AB=AC，判斷四邊形ACDE的形狀，并說明理由.解：四邊形ACDE是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD.∵AB＝AC，∴CD＝AC.∴四邊形ACDE是菱形．感悟新知知1－練如圖18.2-17，在菱形ABCD

中，E，F

分別是BC，CD上的點，且∠

B=∠EAF=60°，∠BAE=18°.求∠

CEF的度數.解題秘方：緊扣菱形的性質、三角形外角的性質求解.例2感悟新知知1－練解：如圖18.2-17，連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B=60°.∴△ABC和△ACD

為等邊三角形.∴AB=AC，∠B=∠ACF=∠BAC=60°.在菱形中如果出現“30°”“60°”“120°”“一邊等于最短對角線”這些詞語時，往往都指向等邊三角形，我們需用等邊三角形的知識來解決.感悟新知知1－練∵∠EAF=60°，∴∠BAC=∠EAF.∴∠BAE=∠CAF.∴△ABE≌△ACF(ASA).∴AE=AF.又∵∠EAF=60°，∴△EAF

是等邊三角形.∴∠AEF=60°.∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴60°+18°=60°+∠CEF.∴∠CEF=18°.感悟新知知1－練2-1.[中考·南充]如圖，在菱形ABCD中，點E，F分別在AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分別與AC交于點M，N．求證：感悟新知知1－練(1)△ADE≌△CDF.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA=DC，∠

DAE=∠DCF，AB=CB.∵BE=BF，∴AE=CF.在△ADE和△CDF中，∴△ΑDΕ≌△CDF(SAS)感悟新知知1－練(2)ME＝NF.證明：由(1)知△ADE≌△

CDF，∴∠ADM=∠CDN，DE=DF.∵DA=DC，∴∠DAM=∠DCN.∴∠

DMA=∠DNC.∴∠DMN=∠DNM.∴

DM=DN.∴DE－DM=DF－DN.∴ME=NF.感悟新知知1－練如圖18.2-18，在菱形ABCD中，∠

ABC與∠BAD

的度數比為1∶2，菱形ABCD

的周長是48.解題秘方：緊扣菱形的性質和面積公式求解.例3感悟新知知1－練解：∵在菱形ABCD

中，∠

ABC與∠

BAD的度數比為1∶2，∴∠

ABC=60°，∠BAD=120°，AC⊥BD.∴∠ABO=30°.∵菱形ABCD的周長是48，∴AB=BC=DC=AD=12.∴AO=6.∴BO=∴AC=12，BD=12.求：(1)菱形ABCD

的兩條對角線的長度；感悟新知知1－練解：菱形ABCD

的面積為(2)菱形ABCD的面積.感悟新知知1－練3-1.[中考·達州]如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC=24，BD=10，則菱形ABCD的周長為_______．52感悟新知知1－練3-2.[中考·樂山]已知菱形ABCD的兩條對角線AC，BD

的長分別是8cm和6cm，則菱形的面積為______cm2．24知識點菱形的判定知2－講感悟新知21.判定定理1對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.數學語言：如圖18.2-19，在ABCD

中，∵四邊形ABCD

是平行四邊形，AC

⊥BD，∴平行四邊形ABCD

是菱形.知2－講感悟新知2.判定定理2四條邊相等的四邊形是菱形.數學語言：如圖18.2-20，在四邊形ABCD

中，∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD

是菱形.知2－講感悟新知特別提醒●菱形的判定定理和性質定理是互逆定理.●判定菱形的常見思路:可依據題目特點選取不同的方法.感悟新知知2－練如圖18.2-21，在平行四邊形ABCD

中，對角線AC，BD相交于點O，過點O

作直線EF⊥BD，分別交AD，BC

于點E

和點F，連接BE，DF.求證：四邊形BEDF

是菱形.解題秘方：緊扣對角線垂直這一條件，從判定平行四邊形入手判定菱形.例4知2－講感悟新知證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，AD∥BC.∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB.∴△OED≌△OFB(AAS).∴DE=BF.∵DE∥BF，∴四邊形BEDF

是平行四邊形.又∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF

是菱形.感悟新知知2－練4-1.如圖，在三角形紙片ABC

中，AD

是△

ABC的角平分線，把△

ABC進行折疊，使點A

與點D

重合，折痕與AB相交于點E，與AC相交于點F.求證：四邊形AEDF是菱形.知2－講感悟新知證明：設AD與EF相交于點O.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵點A與點D關于直線EF對稱，∴EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°.知2－講感悟新知又∵點A與點D重合，∴AO＝DO.∴EF，AD互相平分．∴四邊形AEDF是平行四邊形．又∵AD⊥EF，∴四邊形AEDF是菱形．感悟新知知2－練如圖18.2-22，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點E，F，G，H分別是AD，BD，BC，AC

的中點.試證明：四邊形EFGH

是菱形.解題秘方：緊扣題中中點條件與線段相等這一特征，從證四條邊相等入手判定菱形.例5知2－講感悟新知證明：∵點E，H分別為AD，AC

的中點，∴EH為△ACD

的中位線.∴EH=CD.同理可得：EF=AB，FG=CD，HG=AB.∵AB=CD，∴EH=EF=FG=HG.∴四邊形EFGH

是菱形.感悟新知知2－練5-1.[中考·岳陽]如圖，點E，F

分別在?ABCD的邊AB，BC

上，AE=CF，連接DE，DF．請從以下三個條件：①∠1=∠2；②

DE=DF；③∠3=∠4中，選擇一個合適的作為已知條件，使?ABCD為菱形．感悟新知知2－練(1)你添加的條件是__________(填序號)；(2)添加了條件后，請證明ABCD

為菱形．①或③證明：添加①.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C.在△ΑDE和△CDF中，∴△ΑDE≌

△CDF(AAS)∴AD=CD.∴?ABCD為菱形，感悟新知知2－練添加③.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C.在△ΑDE和△CDF中，∴△ΑDE≌

△CDF(ASA)∴AD=CD.∴?ABCD為菱形，課堂小結菱形菱形定義軸對稱性判定邊的關系對角線的關系性質邊的性質角的性質對角線的性質18.2特殊的平行四邊形第18章平行四邊形18.2.3正方形逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2正方形的定義正方形的性質正方形的判定知識點正方形的定義知1－講感悟新知11.正方形的定義四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.知1－講感悟新知2.特殊四邊形定義間的關系知1－講感悟新知特別提醒正方形的四條邊都相等，說明正方形既是平行四邊形，又是菱形；正方形的四個角都是直角，說明正方形是矩形，即正方形不僅是平行四邊形，也是矩形和菱形.感悟新知知1－練如圖18.2-32，在△

ABC中，∠ABC=90°，BD

平分∠ABC

交AC

于點D，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分別為點E，F.求證：四邊形BEDF

是正方形.例1解題秘方：緊扣定義中“四條邊都相等，四個角都是直角”進行判定.感悟新知知1－練證明：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∠ABC=90°，∴∠DEB=∠EBF=∠BFD=90°.∴四邊形BEDF

是矩形.∴∠DEB=∠EBF=∠BFD=∠FDE=90°，BE=FD，BF=ED.又∵BD

平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF.∴DE=DF=BF=BE.∴四邊形BEDF是正方形.感悟新知知1－練1-1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE

垂直平分AC，DF⊥BC.當△ABC滿足條件____________________時，四邊形DECF

是正方形.(要求：①不再添加任何輔助線；②只需填一個符合要求的條件)AC＝BC(答案不唯一)知識點正方形的性質知2－講感悟新知21.正方形的性質正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質，即：(1)邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對邊平行；(2)角：四個角都是直角；(3)對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；知2－講感悟新知(4)對稱性：是軸對稱圖形，有4條對稱軸；(5)面積：邊長的平方或對角線長平方的一半.2.特殊四邊形的性質間的關系矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們之間的關系如圖18.2-33所示.知2－講感悟新知特別提醒正方形的特殊性質：1.正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形.2.周長相等的四邊形中，正方形的面積最大.感悟新知知2－練如圖18.2-34，在正方形ABCD中，E

為CD

上一點，F為BC

延長線上一點，CE=CF.例2解題秘方：從正方形中獲取邊、角相等的信息求解.知2－講感悟新知證明：∵四邊形ABCD

是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF(SAS).(1)求證△BCE≌△DCF；知2－講感悟新知解：∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠

ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC－∠CFE=60°－45°=15°.(2)若∠BEC=60°，求∠

EFD的度數.感悟新知知2－練2-1.[中考·隨州]如圖，在平行四邊形ABCD

中，點E，F

分別在邊AB，CD

上，且四邊形BEDF為正方形．感悟新知知2－練(1)求證：AE＝

CF．證明：四邊形BEDF為正方形，∴DF=EB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB.∴DC－DF=AB－EB.∴CF=AE，即AE=CF.感悟新知知2－練(2)已知平行四邊形ABCD

的面積為20，AB=5，求CF

的長．解：∵平行四邊形ABCD的面積為20，AB=5，四邊形BEDF為正方形∴5DE=20，DE=EB.∴DE=EB=4.∴AE=AB－EB=5－4=1.由(1)知AE=CF，∴CF=1.知識點正方形的判定知3－講感悟新知31.判定方法(1)從四邊形出發(fā)：①有四條邊相等，四個角都是直角的四邊形是正方形；②對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形；(2)從平行四邊形出發(fā)：