廣東省廣州市南沙區(qū)第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

廣東省廣州市南沙區(qū)第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．點(diǎn)（4，0）關(guān)于直線5x＋4y＋21＝0的對(duì)稱點(diǎn)是（）．A．（－6，8） B．（－8，－6） C．（6，8） D．（－6，－8）2．（2018年天津卷文）設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A．6 B．19 C．21 D．453．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B． C．-2 D．4．函數(shù)f(x)=x，g(x)=x2-x+2，若存在x1,x2A．12 B．22 C．23 D．325．某防疫站對(duì)學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，與采用分層抽樣的辦法抽取樣本.某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個(gè)容量為200的樣本，樣本中男生103人，則該中學(xué)共有女生（）A．1030人 B．97人 C．950人 D．970人6．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=13A．15 B．59 C．7．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則A． B． C． D．8．已知過點(diǎn)的直線的傾斜角為，則直線的方程為（）A． B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（）A． B． C． D．10．“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則的解析式是______.12．設(shè)α為第二象限角，若sinα=3513．若,則________.14．已知，那么__________．15．已知向量、滿足，，且，則與的夾角為________.16．在上定義運(yùn)算，則不等式的解集為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在△中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且.（1）求的值；（2）若，求的最大值；（3）若，，為的中點(diǎn)，求線段的長度.18．某中學(xué)高二年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班中，需根據(jù)某次數(shù)學(xué)預(yù)賽成績選出某班的5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽決賽，已知這次預(yù)賽他們?nèi)〉玫某煽兊那o葉圖如圖所示，其中甲班5名學(xué)生成績的平均分是83，乙班5名學(xué)生成績的中位數(shù)是1．（1）求出x，y的值，且分別求甲、乙兩個(gè)班中5名學(xué)生成績的方差、，并根據(jù)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該選派哪一個(gè)班的學(xué)生參加決賽？（2）從成績?cè)?5分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名．求至少有1名來自甲班的概率．19．某高校自主招生一次面試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖均收到了不同程度的損壞，其可見部分信息如下，據(jù)此解答下列問題：（1）求參加此次高校自主招生面試的總?cè)藬?shù)、面試成績的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)；（2）若從面試成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生中任選三人進(jìn)行隨機(jī)復(fù)查，求恰好有二人分?jǐn)?shù)在內(nèi)的概率.20．在平面上有一點(diǎn)列、、、、，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上，且點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；（1）求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的表達(dá)式；（2）若對(duì)每個(gè)自然數(shù)，以、、為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形，求的取值范圍；（3）設(shè)，若?。?）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是多少？試說明理由；21．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)N為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊AB上.（1）當(dāng)點(diǎn)M為AB中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）試確定點(diǎn)M的位置，使得平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】試題分析：設(shè)點(diǎn)（4，0）關(guān)于直線5x＋4y＋21＝0的對(duì)稱點(diǎn)是，則點(diǎn)在直線5x＋4y＋21＝0上，將選項(xiàng)代入就可排除A,B,C,答案為D考點(diǎn)：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，排除法的應(yīng)用2、C【解題分析】分析：首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定函數(shù)取得最大值的點(diǎn)，最后求解最大值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.3、B【解題分析】按三角函數(shù)的定義，有.4、B【解題分析】

由題得g(x構(gòu)造h(x)=g(x)-f(x)=x2-2x+2∈【題目詳解】由fx1+f令h(x)=g(x)-f(x)=xhxn=hx1N的最大值為22.故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．5、D【解題分析】由分層抽樣的辦法可知在名學(xué)生中抽取的男生有，故女生人數(shù)為，應(yīng)選答案D．6、B【解題分析】試題分析：由正弦定理得31考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用7、A【解題分析】設(shè)公比為q,則，選A.8、B【解題分析】

由直線的傾斜角求得直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解．【題目詳解】∵直線的傾斜角為，∵直線的斜率，又直線過點(diǎn)，由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線的方程為，即．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)棱長為的正方體挖去一個(gè)圓錐的組合體，正方體體積為，圓錐體積為幾何體的體積為，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響.10、A【解題分析】

數(shù)列是等比數(shù)列與命題是等比數(shù)列是否能互推，然后根據(jù)必要條件、充分條件和充要條件的定義進(jìn)行判斷．【題目詳解】若數(shù)列是等比數(shù)列，則，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，若數(shù)列是等比數(shù)列，則，∴，∴數(shù)列不是等比數(shù)列，∴數(shù)列是等比數(shù)列是數(shù)列是等比數(shù)列的充分非必要條件，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分不必要條件的判斷，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由圖象得出，得出該函數(shù)圖象的最小正周期，可得出，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，結(jié)合該函數(shù)在附近的單調(diào)性求得的表達(dá)式，即可得出函數(shù)的解析式.【題目詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，則，由于函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在附近單調(diào)遞增，所以，，，因此，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用三角函數(shù)的圖象求解析式，一般要結(jié)合圖象依次求出、、的值，在利用對(duì)稱中心求時(shí)，要結(jié)合函數(shù)在對(duì)稱中心附近的單調(diào)性來求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、-【解題分析】

先求出cosα，再利用二倍角公式求sin2α【題目詳解】因?yàn)棣翞榈诙笙藿牵魋inα=所以cosα=所以sin2α故答案為-【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

先求，再代入求值得解.【題目詳解】由題得所以.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14、2017【解題分析】，故，由此得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)解析式的求解方法，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算公式.對(duì)于函數(shù)解析式的求法，有兩種，一種是換元法，另一種的變換法.解析中運(yùn)用的方法就是變換法，即將變換為含有的式子.也可以令.等比數(shù)列求和公式為.15、【解題分析】

直接應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算，求出與的夾角．【題目詳解】設(shè)向量、的夾角為；∵，∴，∵，∴.故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的夾角計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)定義運(yùn)算，把化簡得，求出其解集即可．【題目詳解】因?yàn)?，所以，即，得，解得：故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義，以及解一元二次不等式，考查運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）由三角恒等變換的公式，化簡，代入即可求解.（2）在中，由余弦定理，結(jié)合基本不等式，求得，即可得到答案.（3）設(shè)，在中，由余弦定理，求得，分別在和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.【題目詳解】（1）由題意，在中，，則又由.（2）在中，由余弦定理可得，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以的最大值為.（3）設(shè)，如圖所示，在中，由余弦定理可得，即，即，解得，在中，由余弦定理,可得，……①在中，由余弦定理,可得，……②因?yàn)?，所以，由?②，可得，即，解得，即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，以及合理應(yīng)用正弦定理、余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算、求解能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（3）甲班參加；（4）．【解題分析】

試題分析：（3）由題意知求出x=5，y=4．從而求出乙班學(xué)生的平均數(shù)為83，分別求出S34和S44，根據(jù)甲、乙兩班的平均數(shù)相等，甲班的方差小，得到應(yīng)該選派甲班的學(xué)生參加決賽．（4）成績?cè)?5分及以上的學(xué)生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出隨機(jī)抽取4名，至少有3名來自甲班的概率．試題解析：（3）甲班的平均分為，易知．；又乙班的平均分為，∴；∵，，說明甲班同學(xué)成績更加穩(wěn)定，故應(yīng)選甲班參加．（4）分及以上甲班有人，設(shè)為；乙班有人，設(shè)為，從這人中抽取人的選法有：，共種，其中甲班至少有名學(xué)生的選法有種，則甲班至少有名學(xué)生被抽到的概率為．考點(diǎn)：3．古典概型及其概率計(jì)算公式；4．莖葉圖．19、（1）；；（2）0.6【解題分析】

(1)從分?jǐn)?shù)落在,的頻率為,人數(shù)為2,求出總?cè)藬?shù)的值,從而求出面試成績的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)在,內(nèi)的人數(shù);(2)用列舉法列出所有可能結(jié)果,確定其中符合要求的事件,即可求出概率.【題目詳解】(1)∵分?jǐn)?shù)落在的頻率為,人數(shù)為2,∴,故,∵分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為15人,∴分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人,又∵分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人,∴分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人,面試成績的中位數(shù)為分;(2)由(1)知分?jǐn)?shù)在的有5人,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的有3人,記分?jǐn)?shù)在的5人為1,2,3,4,5號(hào),分?jǐn)?shù)在內(nèi)的3人為1,2,3號(hào),則從這5人中任選3人的基本事件為:123,124,125,134,135,145,234,235,245,345,共10種方式;其中恰有2人的分?jǐn)?shù)在內(nèi)的基本事件為:124,125,134,135,234,235,共6種方式,所以所求概率為.【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分布直方圖和莖葉圖的綜合應(yīng)用,考查古典概型的概率求法,屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）；（3）最大，詳見解析；【解題分析】

(1)易得的橫坐標(biāo)為代入函數(shù)即可得縱坐標(biāo).(2)易得數(shù)列為遞減的數(shù)列,若要組成三角形則,再代入表達(dá)式求解不等式即可.(3)由可知求即可.【題目詳解】(1)由點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形有.故.(2)因?yàn)?故為減函數(shù),故,又以、、為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形,故即.解得或,又,故.(3)由取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù),且,故.故,由題當(dāng)時(shí)數(shù)列取最大項(xiàng).故且,計(jì)算得當(dāng)時(shí)取最大值.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合題型,需要根據(jù)題意找到函數(shù)橫縱坐標(biāo)的