2024屆江蘇南京鼓樓區(qū)數(shù)學高一下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆江蘇南京鼓樓區(qū)數(shù)學高一下期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是，在其上用粗實線和粗虛線畫出了某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．2．函數(shù)圖象的一條對稱軸在內(nèi)，則滿足此條件的一個值為（）A． B． C． D．3．將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的一個可能取值為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的最大值為A．4 B．5 C．6 D．75．已知與之間的幾組數(shù)據(jù)如下表則與的線性回歸方程必過()A．點 B．點C．點 D．點6．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，且是函數(shù)的兩個零點，則等于（）A．24 B．32 C．48 D．648．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出()A．5 B．8 C．13 D．219．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，,則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．10．如右圖所示，直線的斜率分別為則A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知x，y滿足，則z＝2x+y的最大值為_____.12．已知，則的值為_____________13．一組數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__________．14．已知為鈍角，且，則__________.15．在等比數(shù)列中，，公比，若，則的值為．16．在圓心為，半徑為的圓內(nèi)接中，角，，的對邊分別為，，，且，則的面積為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．18．在三棱柱中，平面ABC，，，D，E分別為AB，中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：四邊形為平行四邊形；（Ⅲ）求證：平面平面.19．2016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項目．規(guī)劃從2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項目.2016年該項目的凈收入為5百萬元，并預測在相當長的年份里，每年的凈收入均為上一年的基礎上增長．記2016年為第1年，為第1年至此后第年的累計利潤（注：含第年，累計利潤=累計凈收入﹣累計投入，單位：千萬元），且當為正值時，認為該項目贏利．（1）試求的表達式；（2）根據(jù)預測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由．20．已知對任意，恒成立（其中），求的最大值.21．如圖，已知平面平行于三棱錐的底面，等邊所在的平面與底面垂直，且，設（1）求證：且；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

根據(jù)三視圖，還原空間結構體，根據(jù)空間結構體的特征及球、棱錐的體積公式求得總體積．【題目詳解】根據(jù)空間結構體的三視圖，得原空間結構體如下圖所示：該幾何體是由下面半球的和上面四棱錐的組成由三視圖的棱長及半徑關系，可得幾何體的體積為所以選A【題目點撥】本題考查了三視圖的簡單應用，空間結構體的體積求法，屬于中檔題．2、A【解題分析】

求出函數(shù)的對稱軸方程，使得滿足在內(nèi)，解不等式即可求出滿足此條件的一個φ值．【題目詳解】解：函數(shù)圖象的對稱軸方程為：xk∈Z，函數(shù)圖象的一條對稱軸在內(nèi)，所以當k＝0時，φ故選A．【題目點撥】本題是基礎題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，不等式的解法，考查計算能力，能夠充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)解題是學好數(shù)學的前提．3、B【解題分析】

利用函數(shù)y＝Asin（ωx+）的圖象變換可得函數(shù)平移后的解析式，利用其為偶函數(shù)即可求得答案．【題目詳解】令y＝f（x）＝sin（2x+），則f（x）＝sin[2（x）+]＝sin（2x），∵f（x）為偶函數(shù)，∴＝kπ，∴＝kπ，k∈Z，∴當k＝0時，．故的一個可能的值為．故選：B．【題目點撥】本題考查函數(shù)y＝Asin（ωx+）的圖象變換，考查三角函數(shù)的奇偶性的應用，屬于中檔題．4、B【解題分析】試題分析：因為，而，所以當時，取得最大值5，選B.【考點】正弦函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】求解本題易出現(xiàn)的錯誤是認為當時，函數(shù)取得最大值.5、C【解題分析】

根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點，即可得到結論．【題目詳解】，，8根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點，可得與的線性回歸方程必過．故選：C．【題目點撥】本題考查線性回歸方程，解題的關鍵是利用線性回歸方程必過樣本中心點，屬于基礎題．6、C【解題分析】分析：先確定不超過30的素數(shù)，再確定兩個不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.7、D【解題分析】試題分析：依題意可知，，，，所以.即，故，，，.，所以，又可知.,故.考點：函數(shù)的零點、數(shù)列的遞推公式8、C【解題分析】

通過程序一步步分析得到結果，從而得到輸出結果.【題目詳解】開始：，執(zhí)行程序：；；；；，執(zhí)行“否”，輸出的值為13，故選C.【題目點撥】本題主要考查算法框圖的輸出結果，意在考查學生的分析能力及計算能力，難度不大.9、B【解題分析】

先根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)求出原圖形,再分析繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積即可.【題目詳解】根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)可知,原是以為底,高為的等腰三角形.又.故為邊長為2的正三角形.則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體可看做兩個以底面半徑為,高為的圓錐組合而成.故表面積為.故選：B【題目點撥】本題主要考查了斜二測畫法還原幾何圖形與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積求解.需要根據(jù)題意判斷出旋轉(zhuǎn)后的幾何體形狀再用公式求解.屬于中檔題.10、C【解題分析】試題分析：由圖可知，，所以，故選C．考點：直線的斜率．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1.【解題分析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大值即可．【題目詳解】解：，在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是，，，在中滿足的最大值是點，代入得最大值等于1．故答案為：1．【題目點撥】本題是考查線性規(guī)劃問題，本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．12、【解題分析】

利用和差化積公式將兩式化簡，然后兩式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．【題目詳解】由得，，，兩式相除得，，則．【題目點撥】本題主要考查和差化積公式以及二倍角公式的應用．13、6【解題分析】

由題得x=7，再利用中位數(shù)的公式求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【題目詳解】因為數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是7，所以，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．故答案為6【題目點撥】本題主要考查眾數(shù)的概念和中位數(shù)的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.14、.【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.【題目詳解】由為鈍角，且，所以，所以.故答案為：【題目點撥】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關系，同時考查了象限角的三角函數(shù)的符號，屬于基礎題.15、1【解題分析】

因為，，故答案為1．考點：等比數(shù)列的通項公式．16、【解題分析】

已知條件中含有這一表達式，可以聯(lián)想到余弦定理進行條件替換；利用同弧所對圓心角為圓周角的兩倍，先求出角的三角函數(shù)值，再求的正弦值,進而即可得解.【題目詳解】，，在中，代入（1）式得：，整理得：圓周角等于圓心角的兩倍，，（1）當時，，，.（1）當時，，點在的外面，此時，，．【題目點撥】本題對考生的計算能力要求較高，對解三角形和平面幾何知識進行綜合考查.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結果.詳解：解：（1）因為，，所以．因為，所以，因此，．（2）因為為銳角，所以．又因為，所以，因此．因為，所以，因此，．點睛：應用三角公式解決問題的三個變換角度(1)變角：目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結構特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）只需證明，，即可得平面；（Ⅱ）可得四邊形為平行四邊形，，，即可得四邊形為平行四邊形；（Ⅲ）易得平面，即可得平面平面.【題目詳解】（Ⅰ）∵平面，∴，又，，而，∴平面.（Ⅱ）∵、分別為、的中點，∴，，即四邊形為平行四邊形，∴，，∴四邊形為平行四邊形.（Ⅲ）∵，為中點，∴，又∵，且，∴平面，而平面，∴平面平面.【題目點撥】本題考查了空間點、線、面位置關系，屬于基礎題.19、(1)；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由題意知，第一年至此后第年的累計投入為（千萬元），第年至此后第年的累計凈收入為，利用等比數(shù)列數(shù)列的求和公式可得；（2）由，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.試題解析：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計投入為8+2（n﹣1）=2n+6（千萬元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累計凈收入為+×+×+…+×=（千萬元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千萬元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，∴當n≤3時，f（n+1）﹣f（n）＜1，故當n≤2時，f（n）遞減；當n≥2時，f（n+1）﹣f（n）＞1，故當n≥2時，f（n）遞增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利．答：該項目將從2123年開始并持續(xù)贏利；方法二：設f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），則f′（x）=，令f'（x）=1，得=≈=5，∴x≈2．從而當x∈[1，2）時，f'（x）＜1，f（x）遞減；當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞1，f（x）遞增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利．答：該項目將從2123年開始并持續(xù)贏利．20、的最大值為.【解題分析】試題分析：利用二倍角公式，利用換元法，將原不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在區(qū)間上恒成立，利用二次函數(shù)的零點分布進行討論，從而得出的最大值，但是在對時的情況下，主要對二次函數(shù)的對稱軸是否在區(qū)間進行分類討論，再將問題轉(zhuǎn)化為的條件下，求的最大值，試題解析：由題意知，令，，則當，恒成立，開口向上，①當時，，不滿足，恒成立，②當時，則必有（1）當對稱軸時，即，也即時，有，則，，則，當，時，.當對稱軸時，即，也即時，則必有，即，又由（1）知，則由于，故只需成立即可，問題轉(zhuǎn)化為的條件下，求的最大值，然后利用代數(shù)式的結構特點或從題干中的式子出發(fā)，分別利用三角換元法、導數(shù)法以及柯西不等式法來求的最大值.法一：（三角換元）把條件配方得：，，所以，；法二：（導數(shù)）令則即求函數(shù)的導數(shù),橢圓的上半部分；法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：，當且僅當,即及時等號成立.即當時，最大值為2.綜上可知.考點：1.二倍角；2.換元法；3.二次不等式的恒成立問題；4.導數(shù)；5.柯西不等式21、（1）證明見解析；（1）【解題分析】

（1）由平面∥平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得，，再由，得