2024屆北京市東城區(qū)第五中學高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆北京市東城區(qū)第五中學高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等比數(shù)列中，，，，則等于()A． B． C． D．2．不等式>0的解集是（）A．（－，0）（1，+） B．（－，0）C．（1，+） D．（0，1）3．袋中有個大小相同的小球，其中個白球，個紅球，個黑球，現(xiàn)在從中任意取一個，則取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為（）A． B． C． D．4．設滿足約束條件，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．105．在等差數(shù)列中，如果，則數(shù)列前9項的和為()A．297 B．144 C．99 D．666．已知等差數(shù)列中，若，則取最小值時的（）A．9 B．8 C．7 D．67．終邊在軸上的角的集合（）A． B．C． D．8．在投資生產(chǎn)產(chǎn)品時，每生產(chǎn)需要資金200萬，需場地，可獲得300萬；投資生產(chǎn)產(chǎn)品時，每生產(chǎn)需要資金300萬，需場地，可獲得200萬，現(xiàn)某單位可使用資金1400萬，場地，則投資這兩種產(chǎn)品，最大可獲利()A．1350萬 B．1475萬 C．1800萬 D．2100萬9．某學校有教師200人，男學生1200人，女學生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從全體師生中抽取一個容量為n的樣本，若女學生一共抽取了80人，則n的值為（）A．193 B．192 C．191 D．19010．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線，圓O：上到直線的距離等于2的點有________個。12．若A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三點共線則m的值為________.13．的值為___________．14．已知向量為單位向量，向量，且，則向量的夾角為__________．15．等差數(shù)列前項和為，已知，，則_____．16．設，且，則的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知為第三象限角，．(1)化簡(2)若，求的值18．某研究機構(gòu)對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù).x681012y2356（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）判斷該高三學生的記憶力x和判斷力是正相關(guān)還是負相關(guān)；并預測判斷力為4的同學的記憶力.（參考公式：）19．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a＝7，b＝8，．（1）求邊AB的長；（2）求△ABC的面積．21．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點．（1）若，證明：函數(shù)必有局部對稱點；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在上有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

直接利用等比數(shù)列公式計算得到答案.【題目詳解】故選：C【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的計算，屬于簡單題.2、A【解題分析】

由題意可得，，求解即可.【題目詳解】，解得或，故解集為（－，0）（1，+），故選A.【題目點撥】本題考查了分式不等式的解法，考查了計算能力，屬于基礎題.3、D【解題分析】

利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【題目詳解】從袋中個球中任取一個球，取出的球恰好是一個紅色或黑色小球的基本事件數(shù)為，因此，取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為，故選D.【題目點撥】本題考查古典概型概率的計算，解題時要確定出全部基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，并利用古典概型的概率公式進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.4、B【解題分析】

結(jié)合題意畫出可行域，然后運用線性規(guī)劃知識來求解【題目詳解】如圖由題意得到可行域，改寫目標函數(shù)得，當取到點時得到最小值，即故選【題目點撥】本題考查了運用線性規(guī)劃求解最值問題，一般步驟：畫出可行域，改寫目標函數(shù)，求出最值，需要掌握解題方法5、C【解題分析】試題分析：，，∴a4=13,a6=9,S9==99考點：等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和點評：本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和，掌握相關(guān)公式及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6、C【解題分析】

是等差數(shù)列，先根據(jù)已知求出首項和公差，再表示出，由的最小值確定n?！绢}目詳解】由題得，，解得，那么，當n=7時，取到最小值-49.故選：C【題目點撥】本題考查等差數(shù)列前n項和，是基礎題。7、D【解題分析】

根據(jù)軸線角的定義即可求解.【題目詳解】A項，是終邊在軸正半軸的角的集合；B項，是終邊在軸的角的集合；C項，是終邊在軸正半軸的角的集合；D項，是終邊在軸的角的集合；綜上，D正確.故選:D【題目點撥】本題主要考查了軸線角的判斷，屬于基礎題.8、B【解題分析】

設生產(chǎn)產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)產(chǎn)品百噸，利潤為百萬元，先分析題意，找出相關(guān)量之間的不等關(guān)系，即滿足的約束條件，由約束條件畫出可行域；要求應作怎樣的組合投資，可使獲利最大，即求可行域中的最優(yōu)解，在線性規(guī)劃的解答題中建議使用直線平移法求出最優(yōu)解，即將目標函數(shù)看成是一條直線，分析目標函數(shù)與直線截距的關(guān)系，進而求出最優(yōu)解．【題目詳解】設生產(chǎn)產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)產(chǎn)品百噸，利潤為百萬元則約束條件為：，作出不等式組所表示的平面區(qū)域：目標函數(shù)為.由解得.使目標函數(shù)為化為要使得最大，即需要直線在軸的截距最大即可.由圖可知當直線過點時截距最大.此時應作生產(chǎn)產(chǎn)品3.25百噸，生產(chǎn)產(chǎn)品2.5百噸的組合投資，可使獲利最大．

故選：B．【題目點撥】在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現(xiàn)實問題中．屬于中檔題.9、B【解題分析】

按分層抽樣的定義，按比例計算．【題目詳解】由題意，解得．故選：B.【題目點撥】本題考查分層抽樣，屬于簡單題．10、D【解題分析】對于選項A,因為，所以，所以即，所以選項A錯誤；對于選項B，，所以，選項B錯誤；對于選項C，，當時，，當，，故選項C錯誤；對于選項D，，所以，又，所以，所以，選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3；【解題分析】

根據(jù)圓心到直線的距離和半徑之間的長度關(guān)系，可通過圖形確定所求點的個數(shù).【題目詳解】由圓的方程可知，圓心坐標為，半徑圓心到直線的距離：如上圖所示，此時，則到直線距離為的點有：，共個本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系求解圓上點到直線距離為定值的點的個數(shù)，關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓心到直線的距離確定直線的大致位置，從而根據(jù)半徑長度確定點的個數(shù).12、-3【解題分析】

根據(jù)三點共線與斜率的關(guān)系即可得出．【題目詳解】kAB=-2-33-(-2)=-1，k∵A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三點共線，∴﹣1=-3-m6，解得m＝故答案為-3．【題目點撥】本題考查了三點共線與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．13、【解題分析】

=14、【解題分析】因為，所以，所以，所以，則.15、1【解題分析】

首先根據(jù)、即可求出和，從而求出?！绢}目詳解】，①，②①②得，，即，∴，即，∴，故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查了解方程，以及等差數(shù)列的性質(zhì)和前項和。其中等差數(shù)列的性質(zhì):若則比較?？?，需理解掌握。16、【解題分析】

通過可求得x的取值范圍，接著利用反正弦函數(shù)的定義可得的取值范圍.【題目詳解】，，即.由反正弦函數(shù)的定義可得，即的取值范圍為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，反正弦函數(shù)的定義，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解題分析】利用指數(shù)運算、指對互化、對數(shù)運算求解試題分析：（1）（2）由，得．又已知為第三象限角，所以，所以，所以=………………10分考點：本題主要考查了誘導公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及三角函數(shù)符號的判定．點評：解決此類問題的關(guān)鍵是掌握誘導公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及三角函數(shù)符好的判定方法．誘導公式的記憶應結(jié)合圖形記憶較好，難度一般．18、（1）（2）該高三學生的記憶力x和判斷力是正相關(guān)；判斷力為4的同學的記憶力約為9【解題分析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)和公式計算回歸方程的系數(shù)，注意回歸直線過中心點，得回歸方程；（2）根據(jù)回歸系數(shù)的正負可得正相關(guān)還是負相關(guān)，令代入可得估計值．【題目詳解】（1），，，，，，故線性回歸方程為.（2）因為，故可以判斷，該高三學生的記憶力x和判斷力是正相關(guān)；由回歸直線方程預測，判斷力為4的同學的記憶力約為9.【題目點撥】本題考查求線性回歸直線方程，考查變量的相關(guān)性及回歸方程的應用．回歸方程中的系數(shù)的正負說明兩數(shù)據(jù)的正負相關(guān)，系數(shù)為正，則為正相關(guān)，系數(shù)為負，則為負相關(guān)．19、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為首項和公差表示，解方程組可求得基本量的值，從而確定通項公式；（2）首先化簡數(shù)列的通項公式，結(jié)合特點采用分組求和法求解試題解析：（1）∵數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，.∴，解得，∴.（2）∵，考點：數(shù)列求通項公式及數(shù)列求和20、(1)AB的長為1．(2)6．【解題分析】

（1）利用余弦定理解方程，解方程求得的長.（2）根據(jù)的值，求得的值，由三角形面積公式，求得三角形的面積.【題目詳解】（1）∵a＝7，b＝8，．∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：64＝49+c2﹣2，可得：c2+2c﹣15＝0，∴解得：c＝1，或﹣5（舍去），可得：AB的長為1．（2）∵，B∈（0，π），∴sinB，又a＝7，c＝1，∴S△ABCacsinB6．【題目點撥】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查運算求解能力，屬于基礎題.21、（1）見解析；（2）；（3）【解題分析】

試題分析：(1)利用題中所給的定義，通過二次函數(shù)的判別式大于0，證明二次函數(shù)有局部對稱點；(2)利用方程有解