甘肅省嘉峪關(guān)市2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

甘肅省嘉峪關(guān)市2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓，過點作圓的最長弦和最短弦，則直線，的斜率之和為A． B． C．1 D．2．已知變量x與y負相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)=1.5，=5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是（）A． B．C． D．3．的值等于（）A． B． C． D．4．下列結(jié)論中錯誤的是（）A．若，則 B．函數(shù)的最小值為2C．函數(shù)的最小值為2 D．若，則函數(shù)5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù)(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1（注：1可以多次出現(xiàn))，則的所有不同值的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．327．如圖是函數(shù)一個周期的圖象，則的值等于A． B． C． D．8．如圖，在正方體中，，分別是中點，則異面直線與所成角大小為（）．A． B． C． D．9．已知等差數(shù)列中，若，則取最小值時的（）A．9 B．8 C．7 D．610．已知向量，滿足，，，則（）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線：與圓交于，兩點，過，分別作的垂線與軸交于，兩點，若，則__________．12．在數(shù)列中，，當時，．則數(shù)列的前項和是_____.13．函數(shù)在的值域是______________.14．已知，則____________________________．15．在數(shù)列中，，則___________.16．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，b=1,則_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知平面平行于三棱錐的底面，等邊所在的平面與底面垂直，且，設(shè)（1）求證：且；（2）求二面角的余弦值.18．如圖，矩形所在平面與以為直徑的圓所在平面垂直，為中點，是圓周上一點，且，，．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)點是線段上的點，且滿足，若直線平面，求實數(shù)的值．19．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，且，求的值.20．某產(chǎn)品具有一定的時效性，在這個時效期內(nèi)，由市場調(diào)查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件；若做廣告宣傳，廣告費為n千元比廣告費為千元時多賣出件。（1）試寫出銷售量與n的函數(shù)關(guān)系式；（2）當時，廠家應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，做幾千元的廣告，才能獲利最大？21．已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得最長弦是直徑，最短弦和直徑垂直，故可計算斜率，并求和.【題目詳解】由題意得，直線經(jīng)過點和圓的圓心弦長最長，則直線的斜率為，由題意可得直線與直線互相垂直時弦長最短，則直線的斜率為，故直線，的斜率之和為．【題目點撥】本題考查了兩直線垂直的斜率關(guān)系，以及圓內(nèi)部的幾何性質(zhì)，屬于簡單題型.2、A【解題分析】

先由變量負相關(guān)，可排除D；再由回歸直線過樣本中心，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為變量x與y負相關(guān)，所以排除D；又回歸直線過樣本中心，A選項，過點，所以A正確；B選項，不過點，所以B不正確；C選項，不過點，所以C不正確；故選A【題目點撥】本題主要考查線性回歸直線，熟記回歸直線的意義即可，屬于?？碱}型.3、D【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式先化簡，再利用差角的余弦公式化簡得解.【題目詳解】由題得原式=.故選D【題目點撥】本題主要考查誘導(dǎo)公式和差角的余弦公式化簡求值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

根據(jù)均值不等式成立的條件逐項分析即可.【題目詳解】對于A，由知，，所以，故選項A本身正確；對于B，，但由于在時不可能成立，所以不等式中的“”實際上取不到，故選項B本身錯誤；對于C，因為，當且僅當，即時，等號成立，故選項C本身正確；對于D，由知，，所以lnx+=-2，故選項D本身正確.故選B.【題目點撥】本題主要考查了均值不等式及不等式取等號的條件，屬于中檔題.5、A【解題分析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【題目詳解】由z（1﹣i）=2，得z=，∴．則z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為（1，﹣1），位于第四象限．故選D．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

由題意：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，我們可以從第六項為1出發(fā)，逐項求出各項的取值，可得的所有不同值的個數(shù).【題目詳解】解：由題意：如果對正整數(shù)(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1，則變換中的第5項一定是2，變換中的第4項一定是4，變換中的第3項可能是1，也可能是8，變換中的第2項可能是2，也可能是16，則的可能是4，也可能是5，也可能是32，故的所有可能的取值為，故選：A.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用及簡單的邏輯推理，屬于中檔題.7、A【解題分析】

利用圖象得到振幅，周期，所以，再由圖象關(guān)于成中心對稱，把原式等價于求的值.【題目詳解】由圖象得：振幅，周期，所以，所以，因為圖象關(guān)于成中心對稱，所以，，所以原式，故選A.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的周期性、對稱性等性質(zhì)，如果算出每個值再相加，會浪費較多時間，且容易出錯，采用對稱性求解，能使問題的求解過程變得更簡潔.8、C【解題分析】

通過中位線定理可以得到在正方體中，可以得到所以這樣找到異面直線與所成角，通過計算求解．【題目詳解】分別是中點，所以有而，因此異面直線與所成角為在正方體中，,所以，故本題選C．【題目點撥】本題考查了異面直線所成的角．9、C【解題分析】

是等差數(shù)列，先根據(jù)已知求出首項和公差，再表示出，由的最小值確定n。【題目詳解】由題得，，解得，那么，當n=7時，取到最小值-49.故選：C【題目點撥】本題考查等差數(shù)列前n項和，是基礎(chǔ)題。10、A【解題分析】

由，求出，代入計算即可．【題目詳解】由題意，則.故答案為A.【題目點撥】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解題分析】

由題，根據(jù)垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長可得答案.【題目詳解】因為，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識知在梯形中，．故答案為4【題目點撥】解決直線與圓的綜合問題時，一方面，要注意運用解析幾何的基本思想方法（即幾何問題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，準確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決．12、【解題分析】

先利用累加法求出數(shù)列的通項公式，然后將數(shù)列的通項裂開，利用裂項求和法求出數(shù)列的前項和.【題目詳解】當時，．所以，，，，，.上述等式全部相加得，.，因此，數(shù)列的前項和為，故答案為：.【題目點撥】本題考查累加法求數(shù)列通項和裂項法求和，解題時要注意累加法求通項和裂項法求和對數(shù)列遞推公式和通項公式的要求，考查運算求解能力，屬于中等題.13、【解題分析】

利用，即可得出．【題目詳解】解：由已知，，又

，

故答案為：．【題目點撥】本題考查了反三角函數(shù)的求值、單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、【解題分析】

分子、分母同除以，將代入化簡即可.【題目詳解】因為，所以,故答案為.【題目點撥】本題主要考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.15、-1【解題分析】

首先根據(jù)，得到是以，的等差數(shù)列.再計算其前項和即可求出，的值.【題目詳解】因為，.所以數(shù)列是以，的等差數(shù)列.所以.所以，，.故答案為：【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的判斷和等差數(shù)列的前項和的計算，屬于簡單題.16、2【解題分析】

根據(jù)條件，利用余弦定理可建立關(guān)于c的方程，即可解出c.【題目詳解】由余弦定理得，即，解得或（舍去）.故填2.【題目點撥】本題主要考查了利用余弦定理求三角形的邊，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（1）【解題分析】

（1）由平面∥平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得，，再由，得到.由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而有.（2）過作于，根據(jù)題意有平面，過D作于H，連結(jié)AH，由三垂線定理知，所以是二面角的平面角.然后在在中，在中，利用三角形相似求得再在求解.【題目詳解】（1）證明：∵平面∥平面，∴，，∵，，又∵平面平面，平面平面，∴平面，平面，∴.（2）過作于，∵為正三角形，∴D為中點，∵平面∴又∵，∴平面.在等邊三角形中，，過D作于H，連結(jié)AH，由三垂線定理知，∴是二面角的平面角.在中，～，，∴，，∴.【題目點撥】本題主要考查幾何體中面面平行的性質(zhì)定理和面面垂直的性質(zhì)定理及二角面角問題，還考查了空間想象，抽象概括，推理論證的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）1【解題分析】

（1）取中點，連接，即為所求角。在中，易得MC，NC的長，MN可在直角三角形中求得。再用余弦定理易求得夾角。（2）連接，連接和交于點，連接，易得，所以為的中位線，所以為中點，所以的值為1?！绢}目詳解】（1）取中點，連接因為為矩形，分別為中點，所以所以異面直線與所成角就是與所成的銳角或直角因為平面平面，平面平面矩形中，，平面所以平面又平面，所以中，，所以又是圓周上點，且，所以中，，由余弦定理可求得所以異面直線與所成角的余弦值為（2）連接，連接和交于點，連接因為直線平面，直線平面，平面平面所以矩形的對角線交點為中點所以為的中位線，所以為中點又，所以的值為1【題目點撥】（1）異面直線所成夾角一般是要平移到一個平面。（2）通過幾何關(guān)系確定未知點的位置，再求解線段長即可。19、(1)最小正周期是(2)【解題分析】

（1）運用輔助角公式化簡得；（2）先計算的值為，構(gòu)造，求出的值.【題目詳解】（1）因為，所以，所以函數(shù)的最小正周期是.（2）因為，所以，因為，所以，所以，則【題目點撥】利用角的配湊法，即進行角的整體代入求值，考查整體思想的運用.20、(1)(2)【解題分析】試題分析：(1)根據(jù)若做廣告宣傳，廣告費為n千元比廣告費為千元時多賣出件，可得，利用疊加法可求得.(2)根據(jù)題意在時,利潤,可利用求最值.試題解析：（1）設(shè)表示廣告費為0元時的銷售量，由題意知，由疊加法可得即為所求。（2）設(shè)當時，