壓縮感知技術

壓縮感知技術CompanyLogo壓縮感知技術壓縮感知技術的簡介1壓縮感知技術的產(chǎn)生2壓縮感知技術的理論框架3壓縮感知技術的應用41、壓縮感知技術簡介壓縮感知（CompressiveSensing,orCompressedSampling，簡稱CS），是近幾年流行起來的一個介于數(shù)學和信息科學的新方向，是對Nyquist采樣定理的改進。壓縮感知理論為信號采集技術帶來了革命性的突破，它采用非自適應線性投影來保持信號的原始結構，以遠低于奈奎斯特頻率對信號進行采樣，通過數(shù)值最優(yōu)化問題準確重構出原始信號。

CompanyLogo2、壓縮感知技術的產(chǎn)生傳統(tǒng)的信號獲取和處理過程主要包括采樣、壓縮、傳輸和解壓縮四個部分,如圖1所示.

其采樣過程必須滿足香農(nóng)采樣定理,即采樣頻率不能低于模擬信號頻譜中最高頻率的2倍.CompanyLogo然而對于數(shù)字圖像、視頻的獲取,依照香農(nóng)定理會導致海量采樣數(shù)據(jù),大大增加了存儲和傳輸?shù)拇鷥r.以攝像為例，為了簡化論述，我們把圖像假設成一個長方形陣列，例如一個1024×2048像素的陣列。為了省略彩色的問題，我們就假設只需要黑白圖像，那么每個像素就可以用一個整型的灰度值來計量其亮度（例如用八位整型數(shù)表示0到255，16位表示0到65535）。CompanyLogo2、壓縮感知技術的產(chǎn)生2、壓縮感知技術的產(chǎn)生接下來，按照最最簡化的說法，傳統(tǒng)相機會測量每一個像素的亮度，結果得到的圖片文件就比較大（用8位灰度值就是2MB）。上述的圖片會占掉相機的很多存儲空間，在各種介質之間傳輸?shù)臅r候也要浪費時間。因此相機帶有顯著壓縮圖像的功能就順理成章了。盡管“所有圖片”所構成的空間要占用2MB的“自由度”或者說“熵”，由“有意義的圖片”所構成的空間其實要小得多，尤其是如果人們愿意降低一點圖像質量的話。CompanyLogo2、壓縮感知技術的產(chǎn)生圖像通常都含有大片無細節(jié)部分–比如在風景照里面，將近一半的畫面都可能被單色的天空背景占據(jù)。我們假設提取一個大方塊，比方說100×100像素，其中完全是同一顏色的——假設是全白的吧。無壓縮時，這個方塊要占10000字節(jié)存儲空間（按照8位灰度算）；但是我們可以只記錄這個方塊的維度和坐標，還有填充整個方塊的單一顏色；這樣總共也只要記錄四五個字節(jié)，省下了可觀的空間。不過在現(xiàn)實中，壓縮效果沒有這么好，因為表面看來沒有細節(jié)的地方其實是有著細微的色差的。CompanyLogo2、壓縮感知技術的產(chǎn)生所以，給定一個無細節(jié)方塊，我們記錄其平均色值，就把圖片中這一塊區(qū)域抽象成了單色色塊，只留下微小的殘余誤差。接下來就可以繼續(xù)選取更多色彩可見的方塊，抽象成單色色塊。最后剩下的是亮度（色彩強度）很小的，肉眼無法察覺的細節(jié)。于是就可以拋棄這些剩余的細節(jié)，只需要記錄那些“可見”色塊的大小，位置和亮度。日后則可以反向操作，重建出比原始圖像質量稍低一些，占空間卻小得多的復制圖片。CompanyLogo2、壓縮感知技術的產(chǎn)生總體來講，原始的1024×2048圖像可能含有兩百萬自由度，想要用小波來表示這個圖像的人需要兩百萬個不同小波才能完美重建。但是典型的有意義的圖像，從小波理論的角度看來是非常稀疏的，也就是可壓縮的：可能只需要十萬個小波就已經(jīng)足夠獲取圖像所有的可見細節(jié)了，其余一百九十萬小波只貢獻很少量的，大多數(shù)觀測者基本看不見的“隨機噪聲”。CompanyLogo2、壓縮感知技術的產(chǎn)生如果我們事先知道兩百萬小波系數(shù)里面哪十萬個是重要的，那就可以只計量這十萬個系數(shù)，別的就不管了。（在圖像上設置一種合適的“過濾器”或叫“濾鏡”，然后計量過濾出來的每個像素的色彩強度，是一種可行的系數(shù)計量方法。）但是，相機是不會知道哪個系數(shù)是重要的，所以它只好計量全部兩百萬個像素，把整個圖像轉換成基本小波，找出需要留下的那十萬個主導基本小波，再刪掉其余的。CompanyLogo2、壓縮感知技術的產(chǎn)生上述的算法，需要收集大量數(shù)據(jù)，但是只需要存儲一部分，在消費攝影中是沒有問題的。尤其是隨著數(shù)據(jù)存儲變得很廉價，現(xiàn)在拍一大堆完全不壓縮的照片也無所謂。而且，盡管出了名地耗電，壓縮所需的運算過程仍然算得上輕松。但是，在非消費領域的某些應用中，這種數(shù)據(jù)收集方式并不可行，特別是在傳感器網(wǎng)絡中。如果打算用上千個傳感器來收集數(shù)據(jù)，而這些傳感器需要在固定地點呆上幾個月那么長的時間，那么就需要盡可能地便宜和節(jié)能的傳感器——這首先就排除了那些有強大運算能力的傳感器CompanyLogo2、壓縮感知技術的產(chǎn)生這就是壓縮傳感的用武之地了。其理論依據(jù)是：如果只需要10萬個分量就可以重建絕大部分的圖像，那何必還要做所有的200萬次測量，只做10萬次不就夠了嗎？（在實際應用中，我們會留一個安全余量，比如說測量30萬像素，以應付可能遭遇的所有問題，從干擾到量化噪聲，以及恢復算法的故障。）這樣基本上能使節(jié)能上一個數(shù)量級，這對消費攝影沒什么意義，對傳感器網(wǎng)絡而言卻有實實在在的好處。CompanyLogo2、壓縮感知技術的產(chǎn)生不過相機自己不會預先知道兩百萬小波系數(shù)中需要記錄哪十萬個。要是相機選取了另外10萬（或者30萬），反而把圖片中所有有用的信息都扔掉了怎么辦？解決方法：用非小波的算法來做30萬個測量。實際上最好的測量其實應該是（偽）隨機測量——比如說隨機生成30萬個“濾鏡”圖像并測量真實圖像與每個濾鏡的相關程度。這樣，圖像與濾鏡之間的這些測量結果（也就是“相關性”）很有可能是非常小非常隨機的。CompanyLogo2、壓縮感知技術的產(chǎn)生但是構成圖像的2百萬種可能的小波函數(shù)會在這些隨機的濾鏡的測量下生成自己特有的“特征”，它們每一個都會與某一些濾鏡成正相關，與另一些濾鏡成負相關，但是與更多的濾鏡不相關?？墒牵ㄔ跇O大的概率下）2百萬個特征都各不相同；更有甚者，其中任意十萬個的線性組合仍然是各不相同的（以線性代數(shù)的觀點來看，這是因為一個30萬維線性子空間中任意兩個10萬維的子空間極有可能互不相交）。因此，基本上是有可能從這30萬個隨機數(shù)據(jù)中恢復圖像的（至少是恢復圖像中的10萬個主要細節(jié)）。CompanyLogo2、壓縮感知技術的產(chǎn)生圖像重建:1、如果我們知道了2百萬小波中哪10萬個是有用的，那就可以使用標準的線性代數(shù)方法（高斯消除法，最小二乘法等等）來重建信號。2、如果事先并不知道哪些小波是有用的，可以采用如下兩種方法：匹配追蹤和基追蹤。CompanyLogo匹配追蹤找到一個其標記看上去與收集到的數(shù)據(jù)相關的小波；在數(shù)據(jù)中去除這個標記的所有印跡；不斷重復直到我們能用小波標記“解釋”收集到的所有數(shù)據(jù)。CompanyLogo基追蹤（又名L1模最小化）在所有與錄得數(shù)據(jù)匹配的小波組合中，找到一個“最稀疏的”，也就是其中所有系數(shù)的絕對值總和越小越好。（這種最小化的結果趨向于迫使絕大多數(shù)系數(shù)都消失了。）這種最小化算法可以利用單純形法之類的凸規(guī)劃算法，在合理的時間內(nèi)計算出來。匹配追蹤法通常比較快，而基追蹤算法在考慮到噪聲時則顯得比較準確。CompanyLogo3、壓縮感知技術的理論框架壓縮感知理論與傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理不同,它指出,只要信號是可壓縮的或在某個變換域是稀疏的,那么就可以用一個與變換基不相關的觀測矩陣將變換所得高維信號投影到一個低維空間上,然后通過求解一個優(yōu)化問題就可以從這些少量的投影中以高概率重構出原信號。在該理論框架下,采樣速率不決定于信號的帶寬,而決定于信息在信號中的結構和內(nèi)容.CompanyLogo3、壓縮感知技術的理論框架在壓縮感知理論中,圖像/信號的采樣和壓縮同時以低速率進行,使傳感器的采樣和計算成本大大降低,而信號的恢復過程是一個優(yōu)化計算的過程.因此,該理論指出了將模擬信號直接采樣壓縮為數(shù)字形式的有效途徑,具有直接信息采樣特性.由于從理論上講任何信號都具有可壓縮性,只要能找到其相應的稀疏表示空間,就可以有效地進行壓縮采樣。CompanyLogo3、壓縮感知技術的理論框架CompanyLogo3、壓縮感知技術的理論框架CompanyLogo3、壓縮感知技術的理論框架變換編碼在數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)中,比如數(shù)碼相機,發(fā)揮了重要作用。在這些系統(tǒng)中,采樣速率高但信號是可壓縮的,采樣得到N點采樣信號X;通過

變換后計算出完整的變換系數(shù)集合

確定K個大系數(shù)的位置，然后扔掉N-K個小系數(shù)；對K個大系數(shù)的值和位置進行編碼，從而達到壓縮的目的。

CompanyLogo3、壓縮感知技術的理論框架壓縮感知理論指出,設長度為N的信號X在某組正交基或緊框架上的變換系數(shù)是稀疏的。如果我們用一個與變換基不相關的觀測基

對系數(shù)向量進行線性變換，并得到觀測集合那么就可以利用優(yōu)化求解方法從觀測集合中重構原始信號X。壓縮感知理論是一種新的在采樣的同時實現(xiàn)壓縮目的的理論框架,其壓縮采樣過程如圖2所示.CompanyLogo3、壓縮感知技術的理論框架CompanyLogo3、壓縮感知技術的理論框架壓縮感知理論主要涉及以下幾個方面的內(nèi)容：（1）（2）（3）CompanyLogo4.壓縮感知技術的應用磁共振成像(MRI)。在醫(yī)學上，磁共振的工作原理是做許多次（但次數(shù)仍是有限的）測量（基本上就是對人體圖像進行離散拉東變換（也叫X光變換）），再對數(shù)據(jù)進行加工來生成圖像（在這里就是人體內(nèi)水的密度分布圖像）。由于測量次數(shù)必須很多，整個過程對患者來說太過漫長。壓縮傳感技術可以顯著減少測量次數(shù)，加快成像（甚至有可能做到實時成像，也就是核磁共振的視頻而非靜態(tài)圖像）。此外我們還可以以測量次數(shù)換圖像質量，用與原來一樣的測量次數(shù)可以得到好得多的圖像分辨率。CompanyLogo4.壓縮感知技術的應用天文學。許多天文現(xiàn)象（如脈沖星）具有多種頻率震蕩特性，使其在頻域上是高度稀疏也就是可壓縮的。壓縮傳感技術將使我們能夠在時域內(nèi)測量這些現(xiàn)象（即記錄望遠鏡數(shù)據(jù)）并能夠精確重建原始信號，即使原始數(shù)據(jù)不完整或者干擾嚴重（原因可能是天氣不佳，上機時間不夠，或者就是因為地球自傳使我們得不到全時序的數(shù)據(jù)）。CompanyLogo4.壓