2022屆高三二輪練習卷 數(shù)學（九）空間幾何體的結構特征、表面積和體積 學生版

專題九專題九空間幾何體的結構特征、表面積和體積XXXXXXXXX1．柱、錐、臺的表面積和體積1．已知一個圓錐的體積為，其側面積是底面積的2倍，則其底面半徑為（）A． B．3 C． D．2．祖暅（公元世紀，祖沖之之子），是我國齊梁時代的數(shù)學家，他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異．”這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．如圖將底面直徑皆為，高皆為的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面上，用平行于平面且與距離為的平面截兩個幾何體得到及兩截面，可以證明總成立．據(jù)此，短軸長為，長半軸為的橢半球體的體積是（）A． B． C． D．3．阿基米德（公元前287年~公元前212年），偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家和物理學家．他發(fā)現(xiàn)“圓柱內切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結論．已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內切球體積為（）A． B． C． D．4．在棱長為2的正方體中，，，，分別為棱，，，的中點，將該正方體挖去兩個四分之一圓錐，得到如圖所示的幾何體，則該幾何體的體積為___________．5．如圖，該幾何體是由正方體截去八個一樣的四面體得到的，若被截的正方體棱長為2，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．6．三棱錐的底面是邊長為3的正三角形，，，則三棱錐的體積等于（）A． B． C． D．7．已知正三棱錐的高為9，平行于底面的平面截三棱錐得到正三棱錐和棱臺，若正三棱錐的高為3，，則正三棱錐的體積是________，棱臺的體積是________．8．如圖，一個裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內，容器與地面所成的角為，液面呈橢圓形，橢圓長軸上的頂點，到容器底部的距離分別是12和18，則容器內液體的體積是（）A． B． C． D．9．在直角中，是斜邊上一點，與繞邊所在直線旋轉一周得到的幾何體體積分別為，，若，則（）A． B． C． D．10．我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．如圖，陰影部分是由雙曲線與它的漸近線以及直線所圍成的圖形，將此圖形繞y軸旋轉一周，得到一個旋轉體，如用與x軸相距為，且垂直于y軸的平面，截這個旋轉體，則截面圖形的面積為______；這個旋轉體的體積為______．11．已知正方體的棱長為，點、分別在、上，，．動點在側面內（包含邊界）運動，且滿足直線平面，則點在側面的軌跡的長度為_____________，三棱錐的體積為_____________．2．幾何體外接球、內切球問題1．已知正四棱錐的底面邊長為，側棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（）A．16π B． C．8π D．2．已知一個圓錐形飲料杯的側面展開圖為半圓，銷售商在杯內裝入部分飲料后，放入一個實心冰球使其恰好淹沒在飲料中，則該冰球與飲料的體積比為（）A． B． C． D．3．在如圖所示的棱長為2的正方體中，作與正方體體對角線垂直的平面，（1）三棱錐的外接球的表面積為___________；（2）平面與正方體的截面面積最大值為___________．4．已知四面體ABCD，平面平面ABC，，，，且四面體ABCD外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_________．5．已知正方體的棱長為6，則過，，三點的平面與該正方體內切球截面的面積為（）A．3π B．6π C．9π D．12π6．已知以正方體6個表面的中心為頂點，形成一個八面體，該八面體的內切球的體積與正方體的外接球的體積比為（）A． B． C． D．7．已知平面垂直于平面，四邊形為菱形，，，，，三棱錐的頂點都在球O上，則球O的表面積為（）A． B． C． D．8．（多選）已知三棱錐的所有棱長都為2，且球O為三棱錐的外接球，點M是線段BD上靠近D點的四等分點，過點M作平面截球O得到的截面面積為S，則S的可能取值為（）A． B． C． D．9．（多選）在中，，且，，若將沿AC邊上的中線BD折起，使得平面平面BCD．點E在由此得到的四面體ABCD的棱AC上運動，則下列結論正確的為（）A．B．四面體ABCD的體積為C．存在點E使得的面積為D．四面體ABCD的外接球表面積為

答案與解析答案與解析1．柱、錐、臺的表面積和體積1．【答案】C【解析】設底面半徑為，高為，母線為，如圖所示：則圓錐的體積，所以，即，，則，又，所以，故，故選C．2．【答案】A【解析】由題意可知，短軸長為，長半軸為的橢半球體的體積為，故選A．3．【答案】D【解析】設圓柱的底面半徑為，則其母線長為，因為圓柱的表面積公式，所以，解得，因為圓柱的體積公式為，所以，由題知，圓柱內切球的體積是圓柱體積的，所以所求圓柱內切球的體積為，故選D．4．【答案】【解析】因為該幾何體為正方體挖去兩個四分之一圓錐，所以圓錐，，，故答案為．5．【答案】B【解析】根據(jù)題意，該幾何體的表面積分成兩部分，一部分是6個完全相同的正方形，另一部分是8個完全相同的等邊三角形，6個完全相同的正方形的面積之和為：，8個完全相同的等邊三角形的面積之和為，故該幾何體的表面積為，故選B．6．【答案】A【解析】將三棱錐翻轉一下，如圖所示，因為，所以，所以為直角三角形，由斜線長相等，則射影長相等，可得點A在平面內的射影為直角三角形的外心，所以為直角斜邊的中點，且平面，則為三棱錐的高，由勾股定理可得，所以三棱錐的體積，故選A．7．【答案】，【解析】如圖所示，由棱臺的性質可知，且，所以，即，且，即，所以，，，故答案為，．8．【答案】C【解析】如圖為圓柱的軸截面圖，過M作容器壁的垂線，垂足為F，因為MN平行于地面，故，橢圓長軸上的頂點，到容器底部的距離分別是12和18，故，在中，，即圓柱的底面半徑為，所以容器內液體的體積等于一個底面半徑為，高為的圓柱體積的一半，即為，故選C．9．【答案】D【解析】令，，，因為，所以，，所以，，所以，∴，故選D．10．【答案】，【解析】（1）該雙曲線的漸近線為，則直線，與漸近線交于點，，與雙曲線交于點，，則旋轉體的截面應為一個圓環(huán)，其內徑，外徑，故截面積為，同理可得，作直線，也可得截面積為．（2）根據(jù)祖暅原理，該旋轉體的體積與底面積為，高為的圓柱的體積相等，故其體積為．故答案為；．11．【答案】，【解析】在棱、分別取點、使得，，連接，取的中點，連接、，因為且，由題意可知且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，所以，平面，同理可證四邊形、均為平行四邊形，則，因為平面，平面，故平面，，故平面平面，當時，平面，則平面，所以，點在側面內的軌跡為線段，且，又因為，故四邊形為矩形，則，，所以，．平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，，．故答案為；．2．幾何體外接球、內切球問題1．【答案】B【解析】在正四棱錐中，連接AC，BD，，連接，如圖，則有平面，為側棱PA與底面ABCD所成的角，即，于是得，因此，頂點P，A，B，C，D在以為球心，2為半徑的球面上，即點O與重合，所以球O的體積是，故選B．2．【答案】C【解析】設飲料圓錐面的底面半徑為r，母線長為l，由側面展開圖是半圓，故，圓錐的高，故圓錐的體積為，設冰球的半徑為R，則，體積為．所以冰球與飲料的體積比為，故選C．3．【答案】，【解析】三棱錐的外接球即是正方體的外接球，正方體的外接球直徑為，所以外接球表面積為．正方體中，，面，同理可證面，同理可證面，由于垂直平面，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面與中間的且過棱的中點的正六邊形，且邊長為，所以其面積為．故答案為，．4．【答案】【解析】如圖所示，取AB的中點H，連接DH，因為平面平面ABC，平面平面，，所以平面ABC，所以，又因為，所以平面ABD，可將其補成直三棱柱，∵，，∴，的外接圓半徑為，因為四面體ABCD外接球的表面積為，所以外接球半徑，所以，∴，∴．故答案為．5．【答案】B【解析】如圖正方體中，過，，三點的平面與正方體切于，且分別是的中點，正方體內切球為，連接，則互相垂直，且，所以，則過，，三點的截面為球內過這三點的截面圓，截面圓的半徑為，其面積為，故選B．6．【答案】C【解析】考慮八面體的上半部分為正四棱錐，如圖：設正方體棱長為2，則底面正四邊形邊長為，設M為內切球的球心，側面正三角形邊長為，故側面上的高為，設T為八面體的內切球與面PEF的切點，則T落在PN上，連接MT，則，故，即有，即，又，，設正八面體內切球半徑為r，故，又正方體外接球直徑為正方體的體對角線長，故外接球半徑為，設八面體的內切球的體積與正方體的外接球的體積分別為，故，故選C．7．【答案】A【解析】空間中到兩點距離相等的點的集合為平面，所以球心平面，在平面上到兩點距離相等的點的集合為線段的垂直平分線，取線段的中點為，∵，∴，由余弦定理得，，∴，故為線段的垂直平分線，所以球心直線，取的中點為，以為原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，設，，，O是球心，只需要使，即，解得，所以，所以，故選A．8．【答案】BC【解析】因為三棱錐是正四面體，棱長為2，所以將其放置于正方體中，可得正方體的外接球就是三棱錐的外接球，因為三棱錐的棱長為2，所以正方體的棱長為，可得外接球直徑為，所以，所以截面面積的最大值為，因為點M是線段BD上的點，所以當球心到截面的距離最大時，截面面積最小，此時球心到截面的距離為，為等腰三角形，過點作的垂線，垂足為，由，得，所以，則所得截面半徑的最小值為，所以截面面積的最小值為，所以截面面積的范圍為，故選BC．9．【答案】BCD【解析】對于A：取的中點，連接，因為，所以，又平面平面BCD，所以平面，則，若，則，所以平面，則，顯然不可能，故選項A錯誤；對于B：考查三棱錐的體積，易知的面積為，在平面中，過作的垂線，